概率论-7期望方差中心极限.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,r.v.,的平均取值,数学期望,r.v.,取值平均偏离均值的情况,方差,描述两,r.v.,间的某种关系的数,协方差,与,相关系数,本,章,内,容,随机变量某一方面的概率特性,都可用数字来描写,分布函数能完整地描述,r.v,.,的统计特性,但实际应用中并不都需要知道分布函数,而只需知道,r.v,.,的某些特征,.,如,:,判断棉花质量时,既看纤维的平均长度,又要看纤维长度与平均长度的偏离程度。平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好,;,考察一射手的水平,既要看,平均环数,是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动,是否小,.,可见,与,r.v,.,有关的某些数值,虽不能完整地描述,r.v,.,但能清晰地描述,r.v,.,在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义,.,4.1,随机变量的数学期望,例,1,某一班级有,N,个学生,进行数学期终考试,成绩统计如下,:,学生成绩,X,得,X,分的人数,N,1,N,2,N,k,P,N,1,/,N,N,2,/,N,N,k,/,N,求全班数学的平均成绩,.(,其中,N,1,+,N,2,+,+,N,k,=,N,),一、数学期望的定义,1.,离散型,r.v.,数学期望的定义,由此可以看出,随机变量的均值是这个随机变量取得一切可能数值与相应概率乘积的总和,也是以相应的概率为权重的加权平均,.,定义,1.,设,X,为离散,r.v.,其分布为,若无穷级数 绝对收敛,则称其和为,X,的,数学期望，,记作,E,(,X,),即,解 设,X,为获奖的数值,则,X,的分布律为,例,2,在有奖销售彩票活动中,每张彩票面值,2,元,一千万张设有一等奖,20,名,奖金,20,万或红旗轿车；二等奖,1000,名,奖金,3000,元或,25,寸彩电；三等奖,2000,名,奖金,1000,元或洗衣机；四等奖,100,万名,奖金,2,元,问买一张彩票获奖,(,收益,),的数学期望是多少？,X,0,2,1000,3000,20,0000,P,1-10011/100000000,100/1000,2/10000,1/10000,20/10000000,EX,=200000,20/10000000+3000,1/10000,+1000,2/10000+2,100/1000,=1.1000,(1),分别化验每个人的血,共需化验,n,次；,(2),分组化验,k,个人的血混在一起化验,若,结果为阴性,则只需化验一次,;,若为阳性,则,对,k,个人的血逐个化验,找出有病者,此时,k,个人的血需化验,k+,1,次,.,设每人血液化验呈阳性的概率为,p,且,每人化验结果是相互独立的,.,试说明选择哪,一方案较经济,.,例,3,为普查某种疾病,n,个人需验血,.,验血方案有如下两种：,解,只须计算方案,(2),所需化验次数的期望,.,为简单计,不妨设,n,是,k,的倍数，共分成,n/k,组,.,设第,i,组需化验的次数为,X,i,则,X,i,P,1,k+,1,若,则,E,(,X,),n,例如,当,时,选择方案,(2),较经济,.,例,4,X B,(,n,p,),求,E,(,X,),.,解,特例,若,Y B,(1,p,)(,两点分布,),则,E,(,Y,)=,p,=,np,=,np,例,5,X P,(,),求,E,(,X,),.,例,6,甲乙两个射手的技术统计如下：,P,甲,X,8 9 10,0.3 0.1 0.6,P,乙,Y,8 9 10,0.2 0.5 0.3,甲、乙两个射手谁的水平高？,设连续,r.v.,X,的,d.f.,为,f,(,x,),若广义积分,绝对收敛,则称此积分为,X,的数学期望,记作,E,(,X,),即,数学期望的本质,加权平均,它是一个数,不是,r.v,.,定义,2,、连续型,r.v.,数学期望,例,7,X,U,(,a,b,),求,E,(,X,).,例,8,X,服从指数分布,求,E,(,X,).,例,9,X N,(,2,),求,E,(,X,),.,解,概率积分,注,常见,r.v.,的数学期望,分布,期望,概率分布,参数为,p,的,0-1,分布,p,B,(,n,p,),np,P,(,),分布,期望,概率密度,区间,(,a,b,),上的,均匀分布,Exp,(,),N,(,2,),注,不是所有的,r.v.,都有数学期望,例如：柯西,(Cauchy),分布的密度函数为,但,发散,它的数学期望不存在,!,EX1,：,设随机变量,X,的分布律为,解,:,求随机变量,Y,=,X,2,的数学期望,X,P,k,-1 0 1,Y,P,k,1 0,二、,r.v,.,函数,Y=,g,(,X,),的数学期望,设离散,r.v.,X,的概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则,绝对收敛,则,设连续,r.v.,的,p.d.f.,为,f,(,x,),若广义积分,注：,若,g,(,x,)=,x,则根据定理,1,，有,这与定义是一致的。,定理,1.,1.,E,(,C,)=,C,2.,E,(,aX,)=,a E,(,X,),3.,E,(,X+Y,)=,E,(,X,)+,E,(,Y,),4.,当,X,Y,独立时，,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,).,常数,线性性质,三、数学期望的性质,逆命题不成立，即,若,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,),，,X,Y,不一定独立,证,2:,设,Xf(x),则,证,3:,设,(X,Y)f(x,y),证,4:,设,(,X,Y)f(x,y,),，,X,Y,独立,数学期望的应用,应用,1,据统计,65,岁的人在,10,年内正常死亡的概率为,解,0.98,因事故死亡概率为,0.02.,保险公司开办老人事,故死亡保险,参加者需交纳保险费,100,元,.,若,10,年内,因事故死亡公司赔偿,a,元,应如何定,a,才能使公司,可期望获益,;,若有,1000,人投保,公司期望总获益多少,?,设,X,i,表示公司从第,i,个投保者身上所得,的收益,i,=11000.,则,X,i,0.98 0.02,100,100,由,题设,公司每笔赔偿小于,5000,元,能使公司获益,.,公司期望总收益为,若公司每笔赔偿,3000,元,能使公司期望,总获益,40000,元,.,应用,2,市场上对某种产品每年需求量为,X,吨，,X U,2000,4000,每出售一吨可赚,3,万元,售不出去，则每吨需仓库保管费,1,万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？,解,设每年生产,y,吨的利润为,Y,显然，,2000,y,4000,显然,，,故,y=,3500,时,E,(,Y,),最大,E,(,Y,)=8250,万元,应用,3,设由自动线加工的某种零件的内径,X,(mm),N,(,1,).,已知销售每个零件的利润,T,(,元,),与销售零件的内径,X,有如下的关系：,问平均直径,为何值时,销售一个零件的平均利润最大？,解,即,可以验证，,零件的平均利润最大,.,故,时,销售一个,几个重要的,r.v.,函数的数学期望,X,的,k,阶原点矩,X,的,k,阶绝对原点矩,X,的,k,阶中心矩,X,的,方差,附录,X,Y,的,k+l,阶混合原点矩,X,Y,的,k+l,阶混合中心矩,X,Y,的,二阶原点矩,X,Y,的,二阶混合中心矩,X,Y,的协方差,X,Y,的,相关系数,作业：,P81,4,，,5,，,7,，,9,，,10,概率积分,因为：,返回,方差,随机变量的数学期望体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征,.,但在一些场合，仅仅知道平均值是不够的,.,如某零件真实长度为,a,现用甲、乙两台仪器各测量,10,次,将测量结果,X,用坐标上的点表示如图：,哪台仪器好一些,?,乙仪器测量结果,甲仪器测量结果,较好,测量结果的均值都是,a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击,10,发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢,?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,乙较好,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近,.,为此需引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度,.,这就是我们这一讲要介绍的,方差,衡量随机变量取值,波动程度,的一个数字特征,.,如何定义？,引例,甲、乙两射手各发,6,发子弹,击中的环数分别为：,甲,10,7,9,8,10,6,乙,8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？,再比较稳定程度,甲,:,乙,:,乙比甲技术稳定，故乙技术较好,.,解,首先比较平均环数,甲,8.3,乙,=8.3,甲,10,7,9,8,10,6,乙,8,7,10,9,8,8,进一步比较平均偏离平均值的程度,甲,乙,E,X-E,(,X,),2,若,E,X-E,(,X,),2,存在,则称其为随机,称,为,X,的,均方差,或,标准差,.,定义,即,D,(,X,)=,E,X-E,(,X,),2,变量,X,的,方差,记为,D,(,X,),或,Var,(,X,),两者量纲相同,D,(,X,),描述,r.v.,X,的取值偏离平均值,的平均偏离程度,数,4.2,方差,一、方差的定义,若,X,为离散型,r.v.,，,分布律为,若,X,为连续型,r.v.,概率密度为,f,(,x,),计算方差的常用公式：,证,:,r.v.,X,的取值为,x,i,P,X=x,i,=1/,n,2.,EX,的取值相当于物理学上作一条直线，使所有的点均匀分布在直线的两边,;,1.,方差,非负，即,DX,0,；,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,x,7,x,n,1 2 3 4 5 6 7,n,EX,3.,DX,的取值相当于平均误差；,4.,DX,=0,的,充分必要条件为,r.v.,X,的取值为常数,.,例,1,：设随机变量,X,的概率密度为,1),求,D,（,X,）,2),求,1.,D,(,c,)=0,2.,D,(,cX,)=,c,2,D,(,X,),D,(,c,1,X+c,2,)=,c,1,2,D,X,),3.,特别地，若,X,Y,相互独立，则,二、方差的性质,证,1:,证,2:,证,3:,当,X,Y,相互独立时，,而,推论,:,若,X,1,X,n,相互独立,a,1,a,2,a,n,b,为常数,.,则,若,X,Y,相互独立,4.,对任意常数,C,D,(,X,),E,(,X C,),2,当且仅当,C=E,(,X,),时等号成立,D,(,X,),=0,P,(,X=E,(,X,)=1,称为,X,依概率,1,等于常数,E,(,X,),证,4:,当,C=E,(,X,),时，显然等号成立；,当,C,E,(,X,),时，,4.,对任意常数,C,D,(,X,),E,(,XC,),2,当且仅当,C=EX,),时等号成立,常数,a,1.,二项分布,B,(,n,p,),：,二、几个重要,r.v.,的方差,设,第,i,次试验事件,A,发生,第,i,次试验事件,A,不发生,则,服从两点分布的随机变量,其方差为,pq,2.,泊松分布,P,(,),：,3.,均匀,分布,U,(,a,b,),：,4.,指数分布,Exp,(,),：,5.,正态,分布,N,(,2,),常见随机变量的方差,分布,方差,概率分布,参数为,p,的,0-1,分布,p,(1,-p,),B,(,n,p,),np,(1-,p,),P,(,),分布,方差,概率密度,区间,(,a,b,),上,的均匀分布,Exp,(,),N,(,2,),则,正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，,独立,，,c,i,为常数，,例,4,已知,X,服从正态分布,E,(,X,)=1.7,D,(,X,)=3,Y=,1,2,X,求,Y,的密度函数,.,解,在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布,.,标准化随机变量,设随机变量,X,的期望,E,(,X,),、,方差,D,(,X,),都存在,且,D,(,X,),0,则称,为,X,的标准化随机变量,.,显然，,例,8,已知,X,的,d.f,.,为,其中,A,B,是常数，且,E,(,X,)=0.5.,求,A,B,;(2),设,Y=X,2,求,E,(,Y,),D,(,Y,),解,(1),(2),作业：,P87,13,，,14,，,16,，,18,5.2,中心极限定理,在客观实际中有许多,随机变量,，它们是由,大量相互独立的随机因素的综合效应所形成的，,而其中的每一个单个因素在总的效应中所起的,作用都是微小的。这类随机变量往往,近似地服,从正态分布,。在概率论中，论证随机变量和的,极限分布是正态分布的一系列定理统称为,中心,极限定理,。下面介绍常用的三个中心极限定理。,定理,1(,同分布,的中心极限定理,列维,-,林德伯格定理,),设随机变量,X,1,X,2,X,n,相互独立同分布,且具有有限的数学期望 和方差,则随机变量,的分布函数,F,n,(,x,),对任意,x,，满足,注,:,作为定理,1,的推广,，我们有下面的定理,定理,2,（李雅普诺夫定理）设随机变量,X,1,X,2,X,n,相互独立,，且具有有限的数,学期望和方差：,若每个,X,i,对总和,X,i,影响不大，,记,的分布函数 对任意的,x,，,满足,则随机变量,定理,2,表明,不论各个随机变量 具有怎样的分布,只要满足定理,2,条件,它们的和 当,n,很大时,就近似地服从正态分布,在很多问题中,所考虑的随机变量都可表示成若干独立的随机变量之和,.,它们往往近似地服从正态分布,.,在后面将学的数理统计中,我们会看到,中心极限定理是大样本统计推断的理论基础。,作为,定理,1,的特殊情况,，我们给出下面的定理,定理,3,（德莫佛,拉普拉斯定理）设随机,证,X,可以看作,n,个,相互独立,服从,相同,(0-1),分布,的随机变量,X,1,X,2,X,n,之和,:,X,=,X,1,+,X,2,+,+,X,n,其中,由于,则定理,1,中的 化为 ，,故由定理,1,可得上述结论。,变量,X,服从二项分布,B,(,n,p,),则有,定理,3,表明,当,n,充分大时,二项分布,B,(,n,p,),可近似地用正态分布,N,(,np,),来代替,.,下面举两个关于中心极限定理的应用的例子。,因此,当,X,B,(,n,p,),且,n,充分大时,有,(,其中,q,=1-,p,),解 设,一,袋味精净重,X,i,克,一箱味精的净重为,X,克,则,例,1:,用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为,100,克,标准差为,10,克,一箱内装有,400,袋味精,求一箱味精净重大于,40500,克的概率,.,例,2,对敌阵地集中射击,每次集中射击的命中数的概率分布相同,数学期望为,2,方差为,1,求集中射击,100,次有,180,颗到,220,颗炮弹命中目标的概率,.,解,:,设,X,i,为第,i,次,集中射击时的命中数,X,为,100,次射击时总的命中数,则,(1),X,1,X,2,X,100,独立同分布,(2),(3),例,3,某单位有,240,台电话机,每台电话机约有,5%,的时间要使用外线通话,设各电话机使用外线是相互独立的,问这个单位需要按装多少条外线才能以,99%,以上的概率保证每台电话机需要外线时不占线。,解 将每台电话机是否使用外线看作一次独立试验,240,台电话机是否使用外线看作,240,次贝努利试验,.,设,X,为同时使用外线的电话机台数,m,为需安装的外线条数,则,X,B,(240,0.05),，,m,满足,查表可,得,:,故,故取,m,=17,例,4,设电路供电网中有,10000,盏灯,夜晚每一盏灯开着的概率都是,0.7,，假定各灯开、关是相互独立的，计算同时开着的灯数在,68007200,之间的概率,.,解 设同时开着的灯数为,X,则,作业：,P102,4,，,7,例,设一货轮在某海区航行，已知每遭,受一次波浪的冲击，纵摇角度大于 的概率,为 。若货轮在航行中遭受了,90000,次波,浪冲击，问其中有,29500,至,30500,次纵摇角,度大于 的概率是多少？,解 可将货轮每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并认为实验是独立的。在,90000,次波浪冲击中，纵摇角度大于,6,的次数记为,X,，,所求概率为,显然，要直接计算是困难的。可以利用德莫,的二项分布，其分布列为,佛,拉普拉斯定理来求它的近似值。即有,则,X,为一随机变量，它服从,将 代入有,