1、理学院,在数学分析及实际问题中,往往要计算一些定积分或反常积分,.,而这些积分中被积函数,有时原函数不能用初等函数来表示,或者即使可以求出原函数,计算也常常比较复杂,.,因此需要寻求新的计算方法,.,例如，可以考虑把实积分转化为复积分,以便利用复积分理论,.,而留数理论正是这方面的重要工具,.,留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物,除提供计算积分的新方法外,本身也是复变函数论的重要理论,.,本章先叙述留数的一般理论,然后介绍在积分计算中的应用,最后给出辐角原理和儒歇定理,.,第六章 留数理论及其应用,1,、留数的定义及留数定理,2,、留数的求法,3,、函数在无穷远点的留数,1,留 数,设,
2、为,的一个孤立奇点，,内的洛朗级数为,:,在,.,内包含,的任一条正向简单闭曲线,.,的某去心邻域,1,、留数的定义及留数定理,0,0,(,柯西积分定理,),定义,6.1,定理,6.1(,留数定理,),在区域,D,内除有限个孤,外处处解析,C,是,D,内包围诸奇,点的一条正向简单闭曲线,那末,立奇点,函数,证,如图，,由复合闭路定理知,.,.,.,证毕,两边同时除以 ，则,说明,:,留数定理将沿封闭曲线,C,积分转化为求,被积函数在,C,内各孤立奇点处的留数之和,.,.,.,.,(1),如果,为,的可去奇点,成洛朗级数求,(2),如果,为,的本性奇点,展开,则需将,2,、留数的求法,如果 为
3、的 阶极点,定理,6.2,证,那末,+(,含有 正幂的项,),，,证毕,如果 为 的一阶极点,那末,推论,6.3,推论,6.4,定理,6.5,如果,设,及,在,都解析，,证,那末,为,的一阶极点,则有,为 的一阶极点,例,4,求,在,的留数,.,分析,由定理,6.2,得,计算较麻烦,.,利用洛朗展开式求,较方便,:,解,说明,:,如 为,n,级极点，当,n,较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求,来计算留数,.,在实际计算中应灵活运用计算规则,.,解,是,的四阶极点,.,在,内将,展成洛朗级数,:,注意积分路线取顺时针方向,记作,定义,6.2,设函数,在圆环域,内解析，,为圆环域内绕原点
4、的任何一条正向简单闭曲线，,留数的概念可以推广到无穷远点的情形,3,、函数在无穷远点的留数,证,由留数定义有,:,定理,6.6,如果函数,在扩充复平面内只有有限个,孤立奇点,那么,在所有各奇点,(,包括,点,),的,留数总和必等于零,.,证毕,.,.,.,.,.,.,.,说明,:,由定理,6.6,得,(,留数定理,),计算积分,计算无穷远点的留数,.,优点,:,使积分计算进一步得到简化,.,(,避免了计算诸有限点处的留数,),现取正向简单闭曲线,为半径足够大的,正向圆周,:,于是有,证,内除,在,外无其他奇点,.,例,7,计算积分,C,为正向圆周,:,函数,在,的外部,除,点外没有,其他奇点,.,解,根据定理,6.2,与公式,(6.7):,与以下解法作比较,:,被积函数,有四个一阶极点,都,在圆周,的内部,所以,由定理,6.5,可见,利用无穷远点的留数计算更简单,.,例,8,计算积分,解,由留数定理知,由于,与,1,在,|,z,|=2,的内部,所以,作 业,:,
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