第六节 曲线的凹向与拐点.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版标题样式,微积分讲义,设计制作,王新心,5/26/2026,4.6,曲线的凹向与拐点,（一）曲线的凹向,（二）,曲线的拐点,5/26/2026,（一）曲线的凹向,第四章 中值定理与导数的应用,但情况却不同。,同样由到单调增，,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,任意一点的切线均在,曲线的上方,任意一点的切线均在,曲线的下方,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,【,定义,4.2,】,若在某区间内，,曲线弧位于,其任意一点的切线的上方，,则称曲线在这个区,间内是,上凹的,；,若在某区间内，,曲线弧位于其,任意一点的切线的下方，,则称曲线在这个区间,内是,下凹的,；,有些教材中将上凹的弧称为,凹弧,；,的弧称为,凸弧。,将下凹,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,续，,(1),若恒有,【,定义,4.2,】,若函数某区间上连,则称的图形在区间内是凹弧；,(2),若恒有,则称的图形在区间内是凸弧。,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,二阶导数，,【,定理,4.7,】,设函数在区间具有,(1),如果时，,恒有，,则曲线在内上凹；,(2),如果时，,恒有，,则曲线在内下凹。,那么,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,几何解释,当时，,单调增加，,即由小变大，,所以曲线上凹。,同理当时，,曲线下凹。,5/26/2026,（二）,曲线的拐点,第四章 中值定理与导数的应用,【,定义,4.3,】,曲线上（下）凹与下（上）,凹的分界点称为曲线的,拐点,。,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,例,1,求曲线的凹向与拐点,解,令,得,拐点,拐点,曲线在区间和上凹；,在区间下凹；,拐点为。,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,两种特殊情况,(1),在点处一阶导数存在而二阶导数不,存在时，,二阶导,若在的适当小的左右邻域内，,数存在且符合相反，,则是拐点；,若符号,则不是拐点。,(2),在点处函数连续，,不存在时，,二阶,若在的适当小的左右邻域内，,导数存在且符合相反，,则是拐点；,若符,则不是拐点。,而一、二阶导数均,相同，,号相同，,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,例,2,求曲线的凹向与拐点,解,不存在,当时，,拐点,曲线在区间下凹；,在区间,拐点为。,不存在,上凹；,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,例,3,求曲线的凹向与拐点,解,均不存在,当时，,拐点,曲线在区间上凹；,在区间,拐点为。,下凹；,5/26/2026,内容小结,曲线凹凸与拐点的判别,作业,P198 32-34,第四章 中值定理与导数的应用,曲线,在上凹,+,曲线,在下凹,拐点,曲线上、下凹的分界点。,5/26/2026,备用题,第四章 中值定理与导数的应用,1.,曲线的上凹区间是,下凹区间是,拐点为,提示,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,2.,求证曲线有位于一直线的三个,证明,拐点。,令得,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,因为,经检验三个拐点为,所以三个拐点共线。,证毕,.,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,3.,证明当时，,证令,有,则,所以是下凹函数,即,证毕,.,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,所以函数图形为凹弧并且单调增。,解,此题的关键是画图，,4.,设函数具有二阶导数，,且,为自变量在点处的增量，,分别为在点处的增量和微分，,则（）,若,与,（,2006,）,由于,选,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,解,5.,设，,则（）,（,2004,）,是的极值点，但不是曲线的拐点,不是的极值点，但是曲线的拐点,是的极值点，且是曲线的拐点,不是的极值点，不是曲线的拐点,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,所以是极值点。,所以是拐点。,选,5/26/2026,第四章 中值定理与导数的应用,单调减且下凹，,解,由于函数是偶函数，,6.,若,（,2006,）,在内,则在内有（）,在内单调增且下凹，,利用图形，,在内，,即,选,5/26/2026,