ch7.4 幂级数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,在函数项级数中,有一类十分特殊的级数,它的每一,项都是,x,的幂函数,即,.,一,.,幂级数的概念,7.4,幂级数,定义,4,的级数,分别称为,称为幂级数的系数,.,项级数为幂级数,.,我们称这种函数,x,的幂级数,与,(,x-x,0,),的幂级数,.,其中,1,注,1,因经变换后,幂级数,(1),与,(2),可相互转化,故下面主要讨论形式,(1),的幂级数,.,同常数项级数相类似,有如下定义,:,称函数,为幂级数,并称函数,为幂级数,注,2,对于任何幂级数,2,定义,4,若幂级数,收敛,则称,x,0,为幂级数,(1),的,若幂级数,发散,则称,x,0,为幂级数,(1),在幂级数 中,称全部收敛点构成的,集,合为,幂级数,(1),的收敛区域,.,幂级数发散区域,.,为,幂级数的和函数,.,并记为,收敛点,.,的发散点,.,称全部发散点构成的集合为,注,3,对于任何幂级数在其收敛域内任取一点,均可得一,个收敛的数项级数,从而有一个确定的和,.,故在幂级数的,收敛域上,幂级数的和是一个,关于,x,的函数,这个函数称,3,的收敛域为,D,则对收敛域中任意,注,5,怎样确定幂级数 的收敛域呢,?,若幂级数 满足,则由比值判别法有,则绝对收敛,;,发散,;,注,4,若幂级,数,的,x,恒有,4,敛散性待定则幂级数 的收敛区域为,长为半径且有可能,0,绝对收敛,敛散待定,敛散待定,发散,发散,x,即是一个以原点为中心,以,的区域,.,包含端点,5,定义,5,称区间,的收敛区间,为幂级数,记为,R.,则有,称数,为幂级数,的收敛半径，,注,6,求幂级数 的收敛域的步骤是,:,(1),求出收敛半径,得收敛区间为,(-R,R).,6,(2),判断,x,=,R,时,幂级数 和,(3),写出幂级数 的收敛区域,.,注,7,(1),当,R=0,时,幂级数,(2),当,R,=+,时,幂级数,(3),幂级数 的收敛半径满足,的敛散性,;,只在,x,=0,收敛,.,此时收敛区间为,(-,+).,对于一切,x均收敛,0R+.,7,例,17,求下列幂级数的收敛半径及收敛域,:,下面考察,x,=,1,时幂级数,(1),的敛散性,:,当,x,=1,时,幂级数,(1),变为,当,x,=-1,时,幂级数,(1),变为,故原级数收敛域为,1,1.,是绝对收敛的,;,是收敛的,;,8,故原级数收敛域为,(,).,注,8,我们所说的,“求幂级数的收敛半径及收敛区域”,都是,如,对标准幂级数,而言的,;,但形,非标准幂级数,下步骤求收敛半径和收敛区域,:,直接用上述方法求,收敛半径和收敛区间,却不能,而只能是采用如,第,(3),题请同学们课后做,.,R=2,收敛域,-2,2),9,第一步,:,用变量代换把它们化为标准幂级数,如令变量代换,第二步,:,求变换后的新的标准幂级数的收敛半径及,收敛区间,;,第三步,:,将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点回代到变量代换中去,求出原级数的收敛区域,.,或正项级数的判断方法去判断,10,例,18,求下列幂级数的收敛半径及收敛域,:,则原级数变为,则此幂级数的收敛区间为,(,-,1,1).,而当,t,=-1,时,级数 收敛,;,而当,t,=1,时,级数 发散,.,故当,-,1,2,x,+11,时,即,-1,x,0,时,级数,收敛,.,11,即原级数收敛域为,-1,0),则原级数变为,由,(1),知,则此幂级数的收敛区间为,-,1,1).,时,原幂级数收敛,.,即原级数收敛区间为,-2,2),收敛半径为,收敛半径为,R,=2.,12,系数之比的,极限求收敛半径，直接用正项级数的比值法求收敛区间,.,时,原级数收敛,.,故原级数收敛半径为,当 时,原级数化为,即原级数收敛域为,当,发散,.,缺奇次幂，所以不能用,13,则原级数化为,故原级数收敛半径为,时,原级数化为,即原级数收敛域为,当,发散,.,14,请同学们课后求下列幂级数的收敛域,:,15,的和函数,二,.,幂级数的运算性质,下面仅仅列出各条性质,略加说明,而不予证明,.,性质,1,若幂级数,的收敛半径为,R,1,幂级数,的收敛半径为,R,2,则在区间,(,-R,+R,),内,时,有,讨论幂级数的性质,指的是幂级数,在求解具体问题时,这些运算起着十分,重,s,(,x,),的性质,.,同一般函数类似,幂级数也有加减乘除微分,与积分等运算,.,要的作用,.,收敛,且当,16,注,9,两个收敛的幂级数在它们较小的收敛区间上可以,逐,项相加,.,性质,2,(,和函数的连续性,),的收敛半径为,R,则其和函数,S,(,x,),设幂级数,内连续,注,10,此性质说明极限符号,lim,与无穷和符号,可交换,性质,3,(,逐项微分,),在,设幂级数,的和函数为,S,(,x,),收敛半径为,R,17,则,S,(,x,),在,(,R,R,),内可微,且,性质,4,(,逐项积分,),设幂级数,的和函数为,S,x,),收敛半径为,R,则,S,(,x,),在,(,R,R,),内可积,且,18,注,11,和函数在收敛区间内,积分符号和无穷和符号可交换次序,.,可逐项求导,逐项积分且求导,积分后所得幂级数的收敛半径仍为,R,即求导运算符号与,注,12,幂级数 经逐项求导和逐项积分后所得的,新,幂级数在,x,=,R,处的收敛问题,一般有,(1),若 在,x,=,R,或,x,=-,R,处收敛,则逐项求导后,的新幂级数,但逐项求导后的,新幂级数,如幂级数,在,x,=,1,处都收敛,在,x,=1,处却发散,;,不一定仍在,x,=,R,或,x,=-,R,处收敛,.,19,(2),若 在,x,=,R,或,x,=-R,处收敛,则逐项积分,后,必在,x,=,R,或,x,=-,R,处收敛,.,的新幂级数,则级数,在,x,=,R,或,x,=-,R,(3),如果逐项求导后的新幂级数在,x,=,R,或,x,=-,R,处收敛,处也,成立,.,注,14,以下利用已知的几何级数,来求一些幂级数的和函数,.,请同学们记住这些结论,!,20,例,19,求下列级数的和函数,并给出和函数的定义域,:,与几何级数比较知,上式是几何级数逐项求导所得,(-1,x,1),21,与几何级数,上式是几何级数逐项积分所得,(-1,x,1),比较知,由几何级数,22,23,例,20,求下列幂级数的收敛域及和函数,:,解 设,(-1,x,1),则此幂级数的收敛区间为,(,-,1,1).,而当,x,=,1,时,级数,故收敛区域为,(,-,1,1).,发散,.,24,将原级数逐项积分有,再将级数,S,1,(,x,),逐项积分有,对上式两端求导有,对此式两端再求导有,(-1,x,1),25,所以幂级数的收敛域为,-,1,1.,则当,时，有,两端求导有,26,例,21,求下列数项级数的和,:,注,15,数项级数的和可利用幂级数来求,其关键是寻求,解 考虑幂级数 的和函数,:,相应的幂级数,;,的数项级数的和为其和函数的某一特殊值,.,并且这个幂级数的和函数容易求得,所求,27,(-1,x,1),两端求导数得,两端求积分得,28,29,