TU-4.10 布洛赫电子在恒定磁场中电子的运动-54.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2013-05-31,#,4.10,布洛赫电子在恒定磁场中的准经典运动,4.10,在恒定磁场中电子的运动：,一,.,恒定磁场中的准经典运动,二,.,自由电子的量子理论,三,.,霍尔效应,四,.,回旋,共振,讨论,晶体电子在恒定磁场中的运动，是分析晶体许多,重要,物理效应的理论基础，有两种方法：准经典近似和求解,含磁场,的,Schrdinger,方程，前一方法所得结果物理图像清晰,，但,有一定的局限性。正确地解释这些现象是能带论的成功,之作，,而,这些,现象,也能成为,能带论最有力的实验证据。,一,.,恒定磁场中的准经典运动,依然沿用准经典运动的两个基本方程：,只,考虑磁场中的行为，公式中没有电场力，,只有,Lorentz,力，磁场对电子的作用和电场不同，它不,作功不,改变电子的能量。,该公式表明，在只涉及外力时,，晶体,动量起着普通动量的作用，,我们假定只在,z,方向,有磁场,，先在波矢空间下讨论,Bloch,电子的行为。,表明，沿,磁场,方向,k,的分量不随时间而变，,即在,k,空间中，电子在垂直于磁场,B,的平面内运动,；又,由于,Lorentz,力不做功,，,F,v,，所以电子的能量,E,(,k,),不随时,间而变，即电子在等能面上运动,。综合以上两点，可以看出,：,电子,在,k,空间中,的运动轨迹是垂直于,磁场的平面与等能面,的交线，,即电子在垂,直于磁场的等能线上,运动。,一般情形等能,线形状是很复杂的。,也可从公式,出发直接说明此点：,上式表明：磁场作用下，电子在,k,空间运动，其位移,d,k,垂直,于,v,和,B,所决定的平面，,d,k,垂直于,B,，这意味着电子,的轨道,处于与磁场垂直的平面内，,d,k,还垂直于,v,，因为,v,垂直,于,k,空间的等能面，这意味着,d,k,处在这个等能面内，,综合,上述两点可以确定：电子沿着垂直于磁场的等能线做,旋转运动,，且对磁场而言是反时针旋转,。,电子沿等能线运动，,既不从磁场吸收能量,，也不把能量传递给,磁场，这与电磁学中,电荷和磁场相互作用,的规律是一致的。,所以，电子,在,k,空间中的运动是循环的，经过一段,时间后,又回到出发的那一点。按照上式：,电子回旋运动,周期,(,推,),：,v,取,垂直于磁场的分量。,回旋,运动圆频率,（,Cyclotron frequency),：,这里，微分,dk,是沿回路周边取的，一般情况形状复杂，,对于自由电子：,有：,或：,电子的运动轨道为圆,，如下图,在等能线上，,k,const,.,磁场作用下,自由电子,在,k,空间中的运动轨道,是圆。其回旋频率：,从前面讨论中可以看出：,Bloch,电子在磁场中虽然也在做回旋运动，但由于其等能,面的,复杂,变化，,其运动轨迹要,复杂得多,因而,其旋频率,的表达式需要具体积分求出。在能带底和能带顶,，情况,变得简单，可以给出类似自由电子的表达式：,m,*,是,Bloch,电子的有效质量,.,由上面自由电子的公式可以给出,：磁场,沿,z,轴方向，,有：（推导）,在实空间中，沿磁场方向,，,v,z,是,常数，即做匀速运动,，电子,的运动轨迹为一螺旋线。,实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（,z,方向），电子作,匀速运动,，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运动。,回转频率：,对于晶体中的,电,子,解为,在主轴坐标系中有,若磁场方向取在,z,轴方向，,B,B,Z,，,即可写出其,相应,的准经典运动方程。,这与普通物理中的结果是一致的。,二、自由电子,的轨道量子化,在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为：,当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为,A,为磁场的矢势，,B,=,A,若磁场,B,沿,z,方向，则,可选取,A,=,(,By,0,0,),由于哈密顿算符中不含,x,和,z,，,波函数可以,写成,代入,波动方程,根据量子力学，,H,和,p,x,、,p,z,有共同本征态。,设,为其共同本征态，有,上式是中心位置在,y,=,y,0,，振动圆频率为,c,的线性谐振子。,其中,解,为,N,n,为归一化因子，,H,n,(,y,),为厄密多项式。,相应的能量本征值为,即：,根据量子理论，电子在垂直于磁场平面内的,匀速圆周运动,对应于一种简谐振动，其能量是量子化的。我们将,这种,量子化的能级称为朗道能级（,Landau level,）,。,公式说明沿磁场方向电子,保持自由运动，在垂直磁,场的,x-y,平面上，电子运动,是量子化的，从准连续的,变为：,在这种情况下,，电子的能,量由准连续的能谱变成一,维的分立的磁次能带，,每,条次能带都成抛物线形状,，如右图所示。,于是，磁场中的能态,密度曲线和磁场为零,时的能态密度曲线相,比发生了巨大变化，,形成了一系列的峰值,，相邻两峰之间的能,量差,是 。能,态,密度变化的这种特点,深刻地影响了晶体的,物理性质。,De,Haas,Van,Alphen,效应就是这,一性质的具体反映。,4.11,布洛赫电子在相互垂直的电场和磁场中的运动,三、霍尔,（,Hall,）,效应,将,一通电的导体放在磁场中，若磁场方向与电流,方向垂直,，那么，在第三个方向上会产生电位差，这种现象,称为,Hall,效应。,背景知识：,E.H.Hall,在,1879,年试图确定磁场对载流导线的作用到底,作用于,导线上还是（按照现代的说法）作用在导线内的电子上面。“,if,the current,of electricity in a fixed conductor is itself attracted by a magnet,the current,should be drawn to one side of the wire,and therefore the,resistance experienced,should be increased”,。,Hall,没有测出额外的电阻,磁致,电阻,，但是,“The magnet may tend to deflect the current without being able,to do,so.It is evident that in this case there would exist a state of stress in,the conductor,the electricity pressing,as it were,toward one side of,the wire,“State,of stress”,，就是我们现在所熟知的横向电势差（,Hall,电压,，,Hall,voltage,）,我们先采用自由电子模型说明：,在如下图所示配置下，导体中电荷,e,受的洛伦兹力：,在,-y,方向产生电场,E,H,，平衡时应有：,在外,磁场的作用下，原来在,-x,方向漂移的电子,受到,Lorentz,力作用发生向下的偏转，电子积累在晶体,下（后）表面，产生,净负电荷，同时,上（前）表面,因缺少电子而出现净正电荷,，于是,，这些正负表面电荷形成了霍尔电场。,定义：,为,霍尔系数,（,Hall,coefficient,）,霍尔,电场与电流密度和磁场强度乘积成正比，其比例,系数,为霍尔系数。所以,霍尔效应成为测量晶体电子浓度,的权威,方法,。,测量,了很多金属的霍尔系数，和自由电子论预计的,理论计算,值相符，但也有一些金属霍尔系数理论和实验值,不符（,见下页表），甚至符号也相反，存在正电荷导电的判断,已在,能带论中得到解释。从公式不难看出，载流子浓度越低,，,Hall,系数就越大，霍尔效应就越明显，因此，霍尔效应在,半导体,的研究和应有中有重要价值，,由霍尔系数的测定可以,直接,确定半导体中载流子的浓度，它的符号可以确定,载流子的类型,，是电子导电还是空穴导电,。,半导体,的霍尔效应也可以用于磁场测量。,当,晶体中同时有两种导电载流子存在时，比如能带有,交迭,，导电电子存在于上面的能带，空穴存在于下面的能带,，可以,证明其霍尔系数：,其中,R,e,e,，,R,h,h,分别为电子和空穴各自的霍尔,系数和,电导率。显然霍尔系数的符号可正可负，取决于,电子和,空穴贡献的相对大小。这就是有些多价金属（,例如,Zn,Cd,),表现出正霍尔系数值的原因。,上述,磁场输运过程的讨论中有一个推论值得注意，即,x,方向,的电流本身并不受磁场的影响，其电阻与磁场无关，,其原因,在于影响,x,方向电流的,Lorentz,力与霍尔电场力平衡,，相互,抵消了，使得电子沿水平方向流经样品时，“无视”该,磁场,的存在,。,磁致电阻为零。但实验结果并不是这样，虽然,很多,金属的磁致电阻都不大，但并不为零,。,一些铁磁金属还,会有,较大的数值。近十几年来，发现了一些磁致电阻特别大,的材料,，并获得了巨大应用。,霍尔效应和磁致电阻,P186,霍尔效应,在恒定电场,E,和磁场,B,中，自由电子的运动方程,设,B,平行于,z,轴，,E,在,xy,平面内,在稳定情况,下,（时间导数为零）,：,回旋频率,；,，电子两次碰撞之间的平均自由时间，也就是弛豫时间。,霍尔效应,由,，得到在,xy,平面内电流密度与电场的关系,：没有磁场情况下的电导率,得到,如果,考虑,一个位于纵向电场,Ex,和横向磁场,Bz,中的棒形样品,：霍尔场,霍尔效应,定义霍耳角,H,的正切函数为霍耳,电,场,E,H,与平行电流方向电场,定义霍尔系数为垂直于电流方向的电场分量除以电流密度与磁场的乘积,得到,磁场并不改变样品的电阻率，磁致电阻为零。,与实验情况不同的原因是自由电子气的漂移速度理论忽略了能带结构,双能带模型（磁致电阻）,假定存在两种类型的载流子，每种载流子分别满足下述运动方程,磁场,B,平行于,z,轴，电场,E,在,xy,平面内,xy,平面,内的总电流，其分量可写为,是电导率,低磁场近似,在低磁场下,，令,因此,霍尔系数,为每种载流子单独存在的霍尔系数,高磁场近似,在高磁场下,霍尔系数,是载流子的总密度,高磁场下两种载流子的个性表现不出来,磁致电阻,由,得到电阻率,：两类电子的迁移率,磁致电阻,与不存在磁场时的电阻率,进行比较,外磁场下金属的电阻总是增大,的,？,在低磁场情况下,在高磁场极限下,开轨道和磁致电阻,高磁场情况下，总电流改写为,其中,磁致电阻,如果所有轨道都是闭轨道,而对于开,轨道,晶体电子在固定磁场和交变电场的运动行为,四、电子,回旋共振（,electron cyclotron resonance),将,一晶片垂直置于磁场中，若沿磁场方向输入一,频率,为,的交变电场，电子做回旋运动，如图所示,：,当,=,c,时，电子回旋与,电场,同步，电子吸收电场,能量达到极大，这种现象,称为,电子回旋共振,。从量,子理论的观点，,电子吸收,了电场的能量，相当于实,现了电子在朗道能级间的,跃迁。,测量回旋共振的频,率,c,，即可算出电子（或,空穴）的有效质量,m*,。,电子,回旋共振不仅可以测量载流子的有效质量,m,*，,还可以,根据出射波的偏振方向来判断电场的能量是被电子,还是被,空穴吸收的。,在,自由电子情形，可以算出,：当,B,=1KGs,时，,f,c,=2.8 GHz,（千兆赫）属于,微波波段,。,根据回旋共振吸收,曲线,确定出回旋频率,代入,公式即可计算出,有效,质量，,其精度,取决于,交变场频率和,磁场的,测量精度。,右图是吸收系数与频率关系图,电子,回旋共振常被广泛地用来测定半导体导带底,电子,或价带顶空穴的有效质量，研究其能带结构,。,在,半导体的导带底或价带顶附近，其等能面一般,为椭球面,，在主轴坐标系中，有,当发生电子回旋共振时，,这里，,m,*为电子回旋共振的有效质量，与外加磁场的,方向,有关。,其中，,、,、,为磁场在主轴坐标系中的方向余弦,。,由于,电子在运动过程中会受到声子、晶格缺陷以及,杂质,的散射，因此，,为了能观察到回旋共振现象，必须,满足,c,1,，其中,是电子在相邻两次碰撞间的平均自由时间,。通常,，实验都必须在极低温度（液,He,温度）下，选用高纯,的单晶,样品，以提高,值，同时加强磁场以提高,c,。近年来,，利用,红外激光为交变讯号源，可以观测到非常清晰的共振线。,能带结构,的几种实验方法,介绍性质,能带结构的实验方法,从前面的讨论中已经知道，通过晶体的能带结构,，能够,理解晶体的各种物理性质，虽然已经有了许多计算晶体,能带的,方法，但必须得到实验的验证才行。能够证明晶体中出现能带的实验是很多的，且已经发展了多种测定晶体能带结构的实验方法，不但有效地验证了能带计算模型和方法的符合程度，而且也成为探知晶体能带结构，理解晶体性质的重要手段。能带实验研究依然要从晶体的热、电、磁及光学性质的测量入手，经常使用的实验方法有：电子热容测量；软,X,射线的发射与吸收；光吸收与磁光吸收；回旋共振与,Azbel-Kaner,共振；反常趋肤效应；,De Hass-van Alphen,效应；磁场电效应（磁致电阻效应）；超声衰减；磁声几何效应,等。,一、软,X,射线的发射与吸收,二、光吸收,三、角,分辨光电子能谱（,ARPES,）,四、扫描隧道显微镜（略）,一,.,软,X,射线发射谱,：,当,晶体被一束高能电子轰击时，低能带的一些电子,被激发,，会留下一些空能级，如果电子从价带或导带落入,这些,空能级，就会发射出一个软,X,射线范围的光子，记录,下这些,光子的能量范围和强度变化即可探知价带或导带,电子分布,情况。,K,：外层电子,落入空,的,1s,态而,发射的,X,射线；,L1,：外层电子,落入,2s,态所发射的,X,射线,；,L2,：外层电子,落入,2p,态所发射的,X,射线。,发射谱的强度：,I N(E),跃迁,几率（跃迁几率随能量变化比较小）,二,.,光吸收,紫外光,技术测定能带结构原理图如下所示：当光束射到金,属上时，电子从费米能级以下跃迁到较高的一个能带，这种带,间吸收可以用光学方法来观察，并获得能带形状的信息。,因为结果涉及到,两个能带，所以,但只能先知道一,个能带的形状，,才能探知另一个,能带情况。大多,数金属的吸收频,率位于紫外区。,三、角,分辨光电子能谱,角分辨光电子能谱,(Angle resolved photoemission spectroscopy,简称,ARPES),利用光电效应研究固体的电子结构。,1887,年由德国物理学家赫兹发现，一束光照射在样品表面，当入射光频率高于特定阈值,(,功函数,),时，表面附近的电子会脱离样品，成为自由电子，这就是光电效应。,在一些,ARPES,实验中，采用稀有气体电离或者同步辐射作为光源。光电子在真空飞行的过程中，被一个接受角度很小的能量分析器收集计数。,The ARPES Apparatus at SSRL,(Stanford Synchrotron Radiation Lightsource),Photon energies of 12-30 eV,Angular resolution of,Energy resolution of 2-10 MeV,怎么测能量,目前应用最广的分析器测量光电子数与其出射角,(,即电子动量,),和出射动能的函数关系。利用动能守恒定律和动量守恒定律，我们可以计算出样品中电子的动能及动量。其中，能量守恒定率为：在这一过程中，系统的能量是守恒的：光电子的动能，材料的功函数以及电子的束缚能之和等于入射光子的能量。,其中，,为入射光能量，,为出射光电子动能，,为材料功函数,(,发生光电效应的最小光子能量,),，,E,B,为电子束缚能。我们的主要目的是得到样品中电子束缚能与电子动量的函数关系。,怎么测动量,垂直于样品表面方向上晶体平移对称性被破坏，导致在此方向上动量不再守恒。因此我们只能得到固体中的电子在平行于样品表面方向上动量分量。光子的动量很小，与电子动量相比可以忽略。所以，按照图中的几何关系，平行于样品表面方向的动量守恒定律可表示为：,角分辨光电子谱通过测量不同出射角度的光电子的动能，就可以得到电子在固体中平行于样品表面的动量分量。其中,P,|,为平行于样品表面的选定方向上的动量分量,k,|,为固体中电子的波矢,m,e,为电子质量,E,kin,为电子的动能,电子出射角度。,能量与动量对应起来,将得到的能量与动量对应起来，就可以得到晶体中电子的色散关系。同时，,ARPES,也可以得到能态密度曲线和动量密度曲线，,