复变函数与积分变换课堂PPT第四章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,四,章,级数,1,复数项级数,2,幂级数,3,泰勒级数,4,洛朗级数,1,数学分析中的级数理论很容易推广到复函数上来，,并得到某些系统的结论。不仅如此，级数可作为研究,解析函数的一个重要工具，将解析函数表示为幂级数。,是泰勒定理由实情形的推广，是研究解析函数的另一,重要方法,(,注意前一章是用复积分方法研究,),。,2,1,复数项级数,1.,复数列的极限,2.,级数概念,3,1.,复数列的极限,此时也称复数列,n,收敛,于,。,则,称为复数列,n,当,n,时的,极限,记作,设,为一复数列,其中,n,=,a,n,+,ib,n,又,设,a,=,a,+,ib,为一确定的复数。如果任意给定,相应,地能找到一个正数,使,在,n,N,时成立,定理一,复数列,收敛于,的,充要条件,是,4,定理一,复数列,收敛于,的,充要条件,是,找到一个正数,N,当,n,N,时,则,，同理,所以,则对于任意给定的,就能,证,如果,5,从而有,所以,存在,N,，当,n,N,时，有,则任给,0,反之,如果,定理一,复数列,收敛于,的,充要条件,是,证,6,2.,级数概念,称为,无穷级数,其最前面,n,项的和,称为级数的,部分和,。,级数,称为,发散,。,设,为一复数列,表达式,如果部分和数列,s,n,收敛,则级数,称为,收敛,，且,极限,称为,级数的和,。如果数列,不收敛，则,7,都收敛。,证,因,级数,定理二,和,收敛的,充要条件,是级数,的部分和,由定理一,s,n,有极限存在的充要条件,是,s,n,和,n,的极限存在,即级数,都收敛。,和,其中,和,分别为,8,定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级,和,数的审敛问题。而由实数项级数,收敛的,和,必要条件,要条件是,立即可得,，从而推出复数项级数,收敛的必,9,成立。,，可知级数,都收敛，因而,和,及,也都收敛，则,是收敛的。而又因,，因此,或,如果,收敛，则,也收敛，且不等,定理三,由于,，而,证,式,10,非绝对收敛的收敛级数称为,条件收敛级数,。,定义,如果,收敛，则称级数,绝对收敛,。,由于,，因此,，,所以当,绝对收敛时，,也绝对收敛，因此,与,绝对收敛的,充要条件,是,绝对收敛。,和,11,例,1,考察级数,的敛散性。,解,因,发散，虽,收敛，仍断定原级数发散。,收敛也可用正项级数的判定法来判定。,的各项都是非负的实数,所以它的,另外,因为,12,例,2,下列数列是否收敛,?,如果收敛,求出其极限。,解,1),因,，故,而,所以数列,收敛，且有,2),由于,a,n,=,n,cos,in,=,n,ch,n=n,(,e,n,+e,-n,)/2,因此,当,n,时,a,n,。所以,a,n,发散。,13,例,下列数列是否收敛,?,如果收敛,求出其极限。,解,14,例,3,下列级数是否收敛,?,是否绝对收敛,?,解,1),收敛,故原级数发散。,发散；,敛,故原级数收敛,且为绝对收敛。,为条件收敛,所以原级数非绝对收敛。,3),因,收敛；,也收敛,故原级数收敛。但因,2),因,由正项级数的比值审敛法知,收,15,例,下列级数是否收敛,?,是否绝对收敛,?,解,1),3),2),16,2,幂级数,1.,幂级数概念,2.,收敛圆与收敛半径,3.,收敛半径的求法,4.,幂级数的运算和性质,17,1.,幂级数的概念,称为,复变函数项级数,。最前面,n,项的和,设,称为这级数的,部分和,。,区域,D,内有定义。表达式,为一复变函数序列,其中各项在,存在,则称复变函数项级数在,z,0,收敛,而,s,(,z,0,),称为它的,和,。,如果对于,D,内的某一点,z,0,极限,18,若级数在,D,内处处收敛,则和一定是,z,的一个函数,s,(,z,),：,s,(z,),称为级数,的,和函数,。,这种级数称为,幂级数,。,级数的特殊情形,:,如果令,或,当,f,n,(,z,)=,c,n,-1,(,z,-,a,),n,-1,或,f,n,(,z,)=,c,n,-1,z,n,-1,时,就得到函数项的,形式,为了方便,今后常就讨论第二式。,这是第二式的,则上式就成为,19,定理一,(,阿贝尔,Abel,定理,),z,0,x,y,O,若级数,在,收敛，则对满足,的,z,，级数必绝对收敛，如果在,级数发散，则对满足,的,z,，级数必发散。,同高等数学中的幂级数一样，复变幂级数也有所谓,幂级数的收敛定理。,证,因,收敛，则,则存在,使对所有的,n,有,如果,，则,而,20,由于,为公比小于,1,的等比级数，故收敛，因此,亦收敛，从而级数,是绝对收敛的。,如果级数,发散，且如果。,用反证法,，设级数,结论可导出,收敛，与所设矛盾，因此只能是,发散。,反而收敛，则根据前面的,21,2.,收敛圆和收敛半径,利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一,个幂级数来说,它的收敛情况不外乎,三种,：,i),对所有的正实数都是收敛的。这时,根据阿贝尔,定理可知级数在复平面内处处绝对收敛。,ii),对所有的正实数除,z,=0,外都是发散的。这时,级数,在复平面内除原点外处处发散。,iii),既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散,的正实数。设,时,级数发散。当,由小逐渐变大时,(,正实数,),时,级数收敛,(,正实数,),一个以原点为中心,R,为半径的圆周,C,R,。,必定逐渐接近,22,显然,a,1,，所以原级数在收敛圆,上是处处收敛的。,30,例,2,求下列幂级数的收敛半径,(,并讨论在收敛圆周上的情形,),；,(,并讨论,z,=0,2,时的情形,),1),2),3),解,2),级数收敛；当,z,=2,时，原级数成为,也有级数的发散点。,，即,R,=,1,。,这个例子表明，在收敛圆周上即有级数的收敛点，,上，当,z,=0,时，原级数成为,在收敛圆,发散。,31,例,2,求下列幂级数的收敛半径,(,并讨论在收敛圆周上的情形,),；,(,并讨论,z,=0,2,时的情形,),；,1),2),3),解,3),因为,故收敛半径为,，所以,32,2),上，当,z,=0,时，原级数成为,，级数收敛；当,z,=2,上即有级数的收敛点，也有级数的发散点。,，即,R,=1,。在收敛圆,时，原级数成为,发散。这个例子表明，在收敛圆周,3),因为,故收敛半径为因为这是一个,p,级数，,p,=3 1,，所以原级数在收敛圆,上是处处收敛的。,，所以,33,例,求下列幂级数的收敛半径,1),2),3),解,1),4),5),34,例,求下列幂级数的收敛半径,1),2),3),解,2),4),5),35,例,求下列幂级数的收敛半径,解,3),1),2),3),4),5),36,例,求下列幂级数的收敛半径,解,4),1),2),3),4),5),37,例,求下列幂级数的收敛半径,1),2),3),解,5),4),5),38,4.,幂级数的运算和性质,在以原点为中心,r,1,r,2,中较小的一个为半径的圆内,这两,个,幂级数可以象多项式那样进行相加,相减,相乘,所得到,的幂级数的和函数分别就是,f,(,z,),与,g,(,z,),的和,差与积。在,象实变幂级数一样,复变幂级数也能进行有理运算。,具体说来，设,中较小的一个，也就是,各种情形，所得到的幂级数的收敛半径大于或等于,r,1,与,r,2,39,为了说明两个幂级数经过运算后所得的幂级数的收敛半,径确定可以大于,r,1,与,r,2,中较小的一个,下面举一个例子。,例,3,设有幂级数,与,，求,的收敛半径。,40,例,3,设有幂级数,与,，求,的收敛半径。,解,但级数,容易验证，,与,的收敛半径都等于,1,的收敛半径,的公共收敛圆域,自身的收敛圆域大于,这就是说,，但应注意，使等式,与,41,例3,设有幂级数,与,，求,的收敛半径。,解,的公共收敛圆域,自身的收敛圆域大于,这就是说,，但应注意，使等式,与,成立的收敛圆域仍应为,，不能扩大。,42,更为重要的是代换,(,复合,),运算,就是：,把函数展开成幂级数时,有着广泛的应用。,如果当,时,又设在,内,g,(,z,),解析且满足,则当,时，,。这个代换运算,在,43,例,4,把函数,表成形如,的幂级数，其中,a,与,b,是不相等的复常数。,解,把函数,写成如下形式：,当,时，有,44,例,4,把函数,表成形如,的幂级数，其中,a,与,b,是不相等的复常数。,解,设,从而可得,，那么当,时，上式右端的级数收敛，,45,例,4,把函数,表成形如,的幂级数，其中,a,与,b,是不相等的复常数。,解,设,，那么当,时，上式右端的级数收敛，,且其和为,且。因为,z,=,b,时，,阿贝尔定理知，当,级数发散，即上式右端的级数,O,x,y,a,b,当,|,z,-,a,|,b,-,a,|=,R,时,级数收敛,上式右端的级数发散，故由,时，,的收敛半径为,46,本题的解题步骤为,：首先把函数作代数变形，,使其分母中出现量,再按照展开式为已知的函数,的形式写成,，其中,。然后把,展开式中的,z,换成,g,(,z,),。,47,例,把函数,分别表成形如,和,的幂级数，并求其收敛半径。,解,(1),把函数,而,时，即,展开成形如,的幂级数，即,48,例,把函数,分别表成形如,和,的幂级数，并求其收敛半径。,解,(2),把函数,而,时，即,展开成形如,的幂级数，,即,49,定理四,设幂级数,的收敛半径为,R,，则,1),它的和函数,是收敛圆,的解析函数。,2),f,(,z,),在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导,内,得到，即,3),f,(,z,),在收敛圆内可以逐项积分,即,或,复变幂函数也象实变幂级数一样，在其收敛圆内具,有下列性质：,50,例,求下列幂级数的收敛半径及其和函数,1),2),3),解,1),2),51,例,求下列幂级数的收敛半径及其和函数,1),2),3),解,3),52,例,求下列幂级数的收敛半径及其和函数1),2),3),解,1),4),2),3),4),53,3,泰勒级数,54,设函数,f,(,z,),在区域,D,内解析,而,z,0,K,z,r,z,z,0,为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于,D,把,上一节中证明了一个幂级数的和函数在收敛域内,部是一个解析函数。这节来研究：任何一个解析函数,是否能用幂级数来表达？这个问题不但具有理论意义，,而且很有实用价值。,为,D,内以,它记作,K,又设,z,为,K,内任一,点。于是按柯西积分公式有,55,其中,K,取正方向,且有,由于积分变量,取在圆周,K,上，点,z,在,K,的内部，所以,，且有,56,代入柯西积分公式得,由解析函数高阶导数公式上式可写成,57,其中,在,K,内成立,即,f,(,z,),可在,K,内用幂级数表达。为此令,显然，,q,与积分变量,z,无关,且,0,q,1,。由于,K,含于,D,如果能证明,在,K,内成立，由上式可得,58,f,(,z,),在,D,内解析,从而在,K,上连续,则在,K,上有界,因此在,K,上存在正实数,M,使,|,f,(,z,)|,M,。则,因此,下面的公式在,K,内成立。,59,称为,f,(,z,),在,z,0,的,泰勒展开式,它右端的级数称为,f,(,z,),在,z,0,处的,泰勒级数,。,如果,z,0,到,D,的边界上各点的最短距离为,d,则展开式,在圆域,|,z,-,z,0,|,d,内成立。但这时对,f,(,z,),在,z,0,的泰勒级数来,说,它的收敛半径,R,至少等于,d,因为凡满足,|,z,-,z,0,|,d,的,z,必能使公式成立,即,R,d,。,从以上的讨论，可得到下面的定理,(,泰勒展开定理,),60,成立，其中,定理,(,泰勒展开定理,),D,内的一点,d,为,z,0,到,D,的边界上各点的最短距离,则,当,|,z,-,z,0,|,d,时,设,f,(,z,),在区域,D,内解析,z,0,为,从以上的讨论，可得到下面的定理,(,泰勒展开定理,),61,如果,f,(,z,),在,z,0,解析,则使,f,(,z,),在,z,0,的泰勒展开式成立,O,x,y,z0,a,的圆域的半径,R,等于从,z,0,到,f,(,z,),距,z,0,最近一个奇点,a,的距,离,即,R,=|,a,-,z,0,|,。这是因为,f,(,z,),在收敛圆内解析,故奇点,a,不可能在收敛圆内。又因为奇点,a,不可能在收敛圆外,不然收敛半径还可以扩大,因此奇点,a,只能在收敛,圆周上。,62,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的。,这是因为,假设,f,(,z,),在,z,0,用另外的方法展开为泰勒级,则,f,(,z,0,)=,a,0,.,而,于是,f,(,z,0,)=,a,1,.,级数：,同理可得,63,由此可见，任何解析函数展开成幂级数的结果就,是泰勒级数，因而是唯一的。,利用泰勒展开式,也可以直接通过计算系数,:,把,f,(,z,),在,z,0,展开成幂级数,这被称作,直接展开法,例如,故有,求,e,z,在,z,=0,处的泰勒展开式,由于,(,e,z,),(,n,),=,e,z,(,e,z,),(,n,),|,z,=0,=1,(,n,=0,1,2,.),64,因为,e,z,在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成,立,收敛半径为,。,同样,可求得,sin,z,与,cos,z,在,z,=0,的泰勒展开式,:,因为,sin,z,与,cos,z,在复平面上处处解析,所以这些等式也,在复平面内处处成立。,65,除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,(,定理四,),以唯一,性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为,间接展开法,。例如,sin,z,在,z,=0,的泰勒展开式也可以用,间接展开法得出：,66,例,1,把函数,展开成,z,的幂级数。,解,由于函数,有一个奇点,，而在,内处处解析，所以可在,内展开成,z,的幂级数。,将上式两边求导，即得所求的展开式,因为,67,解,ln(1+,z,),在从,解析的,而,例,2,求,ln(1+,z,),的主值在,z,=0,处的泰勒展开式。,向左沿负实轴剪开的平面内是,是它的奇点,所以可在,|,z,|1,展开为,z,的,因为,，逐项积分得,幂级数。,68,-1,O,R,=1,x,y,即,这就是所求的泰勒展开式。,例,2,求,ln(1+,z,),的主值在,z,=0,处的泰勒展开式。,解,ln(1+,z,),在从,69,解法,1,例,3,求幂级数,用待定系数法展开。由于,可知,f,(,z,),满足微分方程,为复数,),的主值支：,在,z,=0,处的泰勒展开式。,显然,f,(,z,),在从,-,1,起向左沿负实轴剪开的复平面内解,析，因此必能在,|,z,|1,内展开成,z,的幂级数。,70,设,把它代入上列微分方程，得,即,71,所以所求的展开式为,，得,比较上式两端,z,的同次幂的系数并注意,72,解法,2,直接从,算出泰勒展开式的系数。,为了方便设,求导，得,所以,即,继续求导得,73,总之,把复变函数展开成幂级数的方法与实变函数的,情形基本一样。,最后要指出，幂级数,在收敛圆,内的和函数是解析函数；反过来，在圆域,析的函数,f,(,z,),必能在,展开成幂级数,f,(,z,),在,解析跟,f,(,z,),在,的邻域内可以展开成幂级数,是两种等价的说法。,内解,。所以，,于是得所求的展开式。,令,z,=0,，得,74,例,把下列函数展开成,z,的幂级数，并指出它们,解,又,的收敛半径。,故,75,例,把下列函数展开成,z,的幂级数，并指出它们,解,的收敛半径。,76,例,把下列函数展开成,z,的幂级数，并指出它们,解,的收敛半径。,77,例,把下列函数展开成,z,的幂级数，并指出它们,解,的收敛半径。,78,例,求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出,解,它们的收敛半径。,79,例,求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出,解,它们的收敛半径。,80,例,求下列函数在指定点处的泰勒展开式，并指出,解,它们的收敛半径。,81,4,洛朗级数,82,一个以,z,0,为中心的圆域内解析的函数,f,(,z,),可以在,首先讨论下列形式的级数,:,该圆域内展开成,则在,z,0,的邻域内就不能用,将讨论在以,z,0,为中心的圆环域内的解析函数的级数,的幂级数。如果,f,(,z,),在,z,0,不解析,的幂级数表示。本节中,表示法。,83,可将其分为两部分考虑,(,正幂项部分,),(,负幂项部分,),只有在正幂项和负幂项都收敛才认为第一式收敛,于它们的和。,84,z,0,R,1,R,2,这是,正幂项是一幂级数,设它的收敛半径,为,R,2,对负幂项,如果令,时,时，在圆环域,负幂项才收敛,因此,只有,的幂级数,设收敛半径为,R,令,R,1,=1/,R,则当,原级数才收敛。,就得到,85,例如级数,中的负幂项级数,即,(,a,与,b,为复常数,),，当,时收,幂级数在收敛圆内的许多性质,负幂项级数在收敛,圆环域内也具有。,敛,而正幂项级数,当,时收敛。所以当,时原级数在圆环域,收敛。当,时原级数,处处发散。,86,的收敛区域。例,1,求级数,解,当,时，有,，则,当,时，有,，则,所以级数的收敛区域为：,87,例如,可以证明,负幂项级数在收敛域内其和函数,是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导。,现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展,开成级数,?,先看下例。,函数,在,z,=0,及,z,=1,都不解析，但在圆环,内都是解析的先研究,的情,及,域,形，,幂级数在收敛圆内的许多性质,负幂项级数在收敛,圆环域内也具有。,88,函数,在,z,=0,及,z,=1,都不解析，但在圆环,内都是解析的先研究,的情,及,由此可见，,f,(,z,),在,内是可以展开为级数的。,域,形，,其次,在圆环域：,内也可以展开为级数：,89,其次,在圆环域：,内处处解析的函数,f,(,z,),可能展开成,形如上面的级数，事实上我们有下面的定理。,x,1,O,y,内也可以展开为级数：,从以上讨论可知，函数,f,(,z,),是可以展开成为级数的，,只是这些级数含有,负幂的项,罢了。据此推想，在圆环,域,90,定理,设,f,(,z,),在圆环域,这里,C,为在圆环域内绕,z,0,的任何一条闭曲线。,其中,内解析,则,证,设,z,为圆环域内的任一点,R,1,R,2,z,r,K,1,z,R,K,2,z,z,0,圆周,K,1,与,K,2,K,2,半径,R,大于,K,1,半,径,r,且使,z,在,K,1,与,K,2,之间。,在圆环域内作以z,0,为中心的正向,91,其中,R,1,R,2,z,r,K,1,z,R,K,2,z,z,0,由柯西积分公式得,92,内，所以,对第一个积分，,上，,z,在,在,.,又由于,在,上连续，因此存在一个常数,M,，使得,，跟泰勒展开式一样，可以推得,93,第二个积分,。由于,在,上，点,z,在,。因此,的外部，所以,94,其中,现在需要证明,所以,在,外部成立。令,，因此有,则,95,因此有,因此有,96,上面级数的系数由不同的式子表出。如果在圆环域,内取绕,z,0,的任何一条正向简单闭曲线,C,，则根据闭路变形,原理,这两个式子可表示为：,其中,97,(4.4.5),称为,f,(,z,),在以z,0,为中心的圆环域：,内的,洛朗,(Laurent),展开式,它右端的级,数称为,f,(,z,),在此圆环域内的,洛朗级数,。级数中正整次幂,和负整次幂分别称为洛朗级数的,解析部分,和,主要部分,。,C,z,0,R,1,R,2,98,另外，一个在某圆环域内解析的函数展开为含有,正，负幂项的级数是唯一的，这个级数就是,f,(,z,),的洛,事实上，假定,f,(,z,),在圆环域,种方法展成由正负幂项组成的级数：,内用某,并设,C,为圆环域内任何一条正向简单闭曲线,为,C,上,一点，那么,朗级数。,99,这就是得到前面的级数的系数。,从而,上面定理给出了将一个圆环域内解析的函数展开,成洛朗级数的一般方法。但这方法计算系数很麻烦。,例如要把,在以,z,=0,为中心的圆环域,以,去乘上式两边，且,p,为任一整数，并沿,C,沿,分，得,100,内展开成洛朗级数时，若用公式计算,c,n,算，那么有,其中,C,为圆环域内的任意一条简单闭曲线。,当,，即,，由于,在圆环域内解析，,故由柯西,-,古萨基本定理知，,，即,。,由高阶导数公式知,故有,当,101,若根据正、负整次幂项组成的级数的唯一性，可以用,别可以用别的方法，特别是代数运算，代换，求导和,积分等方法去展开,那么将会简便得多，像上例,两种方法相比，其繁简程度不可同日而语。因此，以,后在求函数的洛朗展开式时，通常不用公式去求系数，,而像求函数的泰勒展开式那样采用间接展开法。,102,x,y,O,1,x,y,O,1,2,x,y,O,2,在圆环域：,例,1,函数,iii)2|,z,|+,；,i)0|,z,|1,；,ii)1|,z,|2,；,内处处解析,试把,f,(,z,),在这些区域内展开成洛朗级数。,103,解,先把,f,(,z,),用部分分式表示：,i),在,0|,z,|1,内；由于,|,z,|1,，从而,，所以,结果中不含有,z,的负幂项，原因在于,在,z,=0,处是解析的。,104,ii),在,1|,z,|2,内，由于,，则,，又因为,从而有,，因此有,解,先把,f,(,z,),用部分分式表示：,105,iii),在2|,z,|+,内，由于,所以,，并因此有,，所以有,解,先把,f,(,z,),用部分分式表示：,106,在圆环域：,例,函数,iii)0|,z,-2,|1,；,i)0|,z,-1,|1,；,ii)1|,z,-1,|+,；,内处处解析,试把,f,(,z,),在这些区域内展开成洛朗级数。,iv)1|,z,-2,|+,；,解,先把,f,(,z,),用部分分式表示：,107,解,先把,f,(,z,),用部分分式表示：,i),在,0|,z,-1|1,内，由于,|,z,-1|1,，所以,108,ii),在,1|,z,-1|+,内，由于,，则,，有,解,先把,f,(,z,),用部分分式表示：,109,iii),在,0|,z,-2|1,内，由于,，则,解,先把,f,(,z,),用部分分式表示：,110,iv),在,1|,z,-2|+,内，由于,，则,，有,解,先把,f,(,z,),用部分分式表示：,111,例,2,把,解,因原函数在区域内处处解析，又,内展开成洛朗级数。,在,所以把上式中的,z,代换成有,，即得所求的洛朗展开式：,112,在以,z,=0,为中心、由,例,求函数,它的奇点互相隔开的不同圆环域内的洛朗展开式。,解,(1),在,|,z,|1,内展开，得,113,在以,z,=0,为中心、由,例,求函数,它的奇点互相隔开的不同圆环域内的洛朗展开式。,解,(2),在,1|,z,|3,内展开得,114,在以,z,=0,为中心、由,例,求函数,它的奇点互相隔开的不同圆环域内的洛朗展开式。,解,(3),在,3|,z,|+,内展开，得,115,函数可以在以,z,0,为中心的,(,由奇点隔开的,),不同圆环,域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展,开式,(,包括泰勒展开式作为它的特例,),。我们不要把这种,情形与洛朗展开式的唯一性相混淆。,所谓洛朗展开式的,唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开,式是唯一的。另外，在展开式的收敛圆环域的内圆周上,注意：一个函数,f,(,z,),可以在奇点展开为洛朗级数，,也可在非奇点展开。,有,f,(,z,),的奇点，外圆周上也有,f,(,z,),的奇点，或者外圆周,的半径为无穷大。,116,域,(,包括圆域,),内的展开式有三个：,O,-,i,i,例如在,为洛朗级数。,处展开,和,在复平面内有两个奇点：,与,分别在以,i,为中心的,圆周：,与,上。因此,f,(,z,),在以,i,为中心的圆环,1),在,中的泰勒展开式；,2),在,中的洛朗展开式；,中的洛朗展开式；,3),在,上。因此,f,(,z,),在以,-,i,为中心的圆环域内展开式有,在复平面内有一个奇点：,z,=0,在以,为中心圆周,二个：,117,特别的，当洛朗级数的系数公式,可利用,Laurent,系数计算积分,),。,闭曲线，,f,(,z,),在此圆环域内解析。所以计算积分可转化,时，有,1),在,中的洛朗展开式；,2),在,中的洛朗展开式。,中,或,(,即,其中,C,为圆环域,内的任何一条简单闭,为求被积函数洛朗展开式中,z,的负一次幂项的系数,c,-1,。,118,函数,在圆环域,由此可见,例,1,求积分,解,内处处,解析，且,在此圆环域内，所以,f,(,z,),在此圆环域内洛,朗展开式的系数,c,-,1,乘以,即为所求积分的值。,，从而,119,函数,内解析，,在此圆,例,2,求积分,解,在,环域,内，,把它在圆环域内展开得,故,c,-,1,=-,2,所以，原式,120,例,3,求积分,解,。,朗系数为,内解析，其洛,在,则,例,4,求积分,解,内解析，洛朗级数为,在,则,其洛朗系为,121,