第五章 留数及其应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,复变函数,与积分变换,主讲：王兴波教授,佛山科学技术学院,大学数学多媒体课件,参考用书,复变函数与积分变换,华中科技大学数学系,高等教育出版社,2003.6,复变函数与积分变换学习辅导与习题全解,华中科大,高等教育出版社,复变函数,西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社,1996.5,2026/5/26 周二,2,目 录,第二章 解析函数,第三章 复变函数的积分,第四章 解析函数的级数表示,第五章 留数及其应用,第六章 傅立叶变换,第七章 拉普拉斯变换,第一章 复数与复变函数,2026/5/26 周二,3,第五章,留数及其应用,本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物，为此先对解析函数的孤立奇点进行分类,2026/5/26 周二,4,第五章,留数及其应用,5.1,孤立奇点,5.2 留数,5.3 留数在定积分计算中的应用,本章小结,思考题,2026/5/26 周二,5,第一节 孤立奇点,一、奇点的分类,定义：,2026/5/26 周二,6,孤立奇点分类,：,(1)主部消失,(2)主部仅含有限项,(3)主部含有无限多项，,解析部分,主要部分,2026/5/26 周二,7例,1,解：,2026/5/26 周二,8,二、可去奇点,2026/5/26 周二,9,?,?,?,2026/5/26 周二,10,三、极点,2026/5/26 周二,11,2026/5/26 周二,12,2026/5/26 周二,13,例,2,解：,2026/5/26 周二,14,四、本性奇点,2026/5/26 周二,15,例,3,解：,2026/5/26 周二,16,2026/5/26 周二,17,例,4,解：,2026/5/26 周二,18,例,5,解：,2026/5/26 周二,19,五、函数的零点与极点的关系,定理1,2026/5/26 周二,20,证明：,2026/5/26 周二,21,例,6,解：,定理2,证明：,2026/5/26 周二,22,2026/5/26 周二,23,例,7,（通过零点阶数判断极点阶数）,解：,2026/5/26 周二,24,例,8,解：,法二：,2026/5/26 周二,25,六、函数在无穷远点的性态,分析：,2026/5/26 周二,26,2026/5/26 周二,27,这样，对无穷远点来说，它的特性与其洛朗级数之间的关系就,跟有限远点一样，不过只是把,正幂项与负幂项的作用互相对调,就是,2026/5/26 周二,28,2026/5/26 周二,29,2026/5/26 周二,30,例,9,说明：,解：,2026/5/26 周二,31例,10,例,11,解：,解：,2026/5/26 周二,32,例,12,解：,例,13,解：,2026/5/26 周二,33,例,14,解：,2026/5/26 周二,34,例,15,解：,2026/5/26 周二,35,例,16,解：,2026/5/26 周二,36,2026/5/26 周二,37,第二节,留数,一、留数的概念及留数定理,留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇,点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等有着密切的联系,1留数概念,2026/5/26 周二,38,2026/5/26 周二,39,留数定义：,说明：,例,1,解：,2026/5/26 周二,40,例,2,解：,例,3,解：,2026/5/26 周二,41,定理1,证明：,2026/5/26 周二,42,二、函数在极点的留数,法则1：,证明：,结论：先知道奇点的类型，对求留数有时更为有利.,2026/5/26 周二,43,例,4,解：,2026/5/26 周二,44,法则2：,证明：,由法则1：,2026/5/26 周二,45,例,5,解：,例,6,解：,2026/5/26 周二,46,法则3：,证明：,2026/5/26 周二,47,例,7,解：,例,8,解：,2026/5/26 周二,48,例,9,解：,2026/5/26 周二,49,例,10,解：,再往下计算比较繁琐！,2026/5/26 周二,50,2026/5/26 周二,51,三、函数在无穷远点的留数,2026/5/26 周二,52,定理2,证明：,2026/5/26 周二,53,法则4：,证明：,2026/5/26 周二,54,例,11,解：,2026/5/26 周二,55,例,12,解：,例,13,解：,2026/5/26 周二,56,第三节,留数在定积分计算中的应用,留数定理为某些类型积分的计算提供了有效的方法应用留数,定理计算实变函数的定积分的方法称为,围道积分法,围道积分法就,是把求实变函数的积分化为复变函数沿着围线的积分，然后利用留,数定理，使沿着围线的积分计算，归结为留数计算要使用留数计,算，需要两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关；其次，定,积分可化为某个沿闭路的积分其实质就是用复积分来计算实积分，,这一方法对有些不易求得的定积分和广义积分常常比较有用现在,就几个特殊类型举例说明,2026/5/26 周二,57,一、,2026/5/26 周二,58,例,1,解：,2026/5/26 周二,59,2026/5/26 周二,60,二、,2026/5/26 周二,61,2026/5/26 周二,62,例,2,解：,2026/5/26 周二,63,三、,2026/5/26 周二,64,2026/5/26 周二,65,例,3,解：,2026/5/26 周二,66,例,4,解：,2026/5/26 周二,67,四、函数在实轴上有奇点的积分,例,5,解：,2026/5/26 周二,68,例,6,证明：,2026/5/26 周二,69,2026/5/26 周二,70,