概率论与数理统计(协方差及相关系数、矩).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,4.3,协方差及相关系数、矩,对于二维随机变量,(,X,，,Y,),，除了讨论,X,与,Y,的数学期望和方差外，还需讨论描述,X,与,Y,之间相互关系的数字特征：协方差和相关系数,4.3.1,协方差,由,4.2.2,中方差的性质,(3),知,若随机变量,X,与,Y,相互独立,则,D,(,X,+,Y,)=,D,(,X,)+,D,(,Y,),也就是说,当随机变量,X,与,Y,相互独立时,有,E,X,E,(,X,),Y,E,(,Y,)=0,成立,这意味着当,E,X,E,(,X,),Y,E,(,Y,),0,时,X,与,Y,不相互独立,由此可见这个量的重要性,4.3.1,协方差,定义,4.4,设有二维随机变量,(,X,，,Y,),，如果,E,X,E,(,X,),Y,E,(,Y,),存在，则称其为随机变量,X,与,Y,的,协方差,记为,Cov,(,X,，,Y,),，即,Cov,(,X,，,Y,)=,E,X,E,(,X,),Y,E,(,Y,),这样，上节中方差的性质,(3),可改写为,D,(,X,+,Y,)=,D,(,X,)+,D,(,Y,)+2,Cov,(,X,，,Y,),由,(4.9),式及,(4.10),式知协方差的表达式可以表示为,Cov,(,X,，,Y,)=,E,(,XY,),E,(,X,),E,(,Y),常利用这个式子来计算协方差,Cov,(,X,，,Y,),.,4.3.1,协方差,由协方差定义，不难知道协方差还具有以下几条性质：,(1),(2),(3),，,a,，,b,为常数；,(4),(5),当随机变量,X,与,Y,相互独立时，有,Cov,(,X,，,Y,)=0,4.3.1,协方差,【,例,4.22】,设随机变量,(,X,，,Y,),具有概率密度,其中区域,G,由曲线与围成，如图,4-4,所示，,求,Cov,(,X,，,Y,),及,D,(,X,+,Y,),解：,4.3.1,协方差,4.3,协方差及相关系数、矩,4.3.2,相关系数,定义,4.5,称,为随机变量,X,与,Y,的,相关系数,相关系数,XY,是一个无量纲的量,XY,常简记为,【,例,4.23】,在例,4-22,中，求相关系数,XY,解：,因为,所以,4.3.2,相关系数,4.3.2,相关系数,下面不加证明地给出相关系数的两条性质：,(1)|,XY,|,1,；,(2)|,XY,|=1,的充要条件是，存在常数,a,，,b,，,使,P,Y,=,aX,+,b,=1,定义,4.6,若,XY,=0,，称,X,与,Y,不相关,0,XY,1,，称,X,与,Y,正相关，,1,XY,0,，称,X,与,Y,负相关,事实上,相关系数,XY,是,X,与,Y,线性关系强弱的一个度量,X,与,Y,的线性关系程度随着,|,XY,|,的减小而减弱,当,|,XY,|=1,时,X,与,Y,的线性关系最强，,当,XY,=0,时，意味,X,与,Y,的不存在线性关系，即,X,与,Y,不相关,.,4.3.2,相关系数,由协方差的性质,(5),当随机变量,X,与,Y,相互独立时，有,Cov,(,X,，,Y,)=0,易知,定理,4.3,若,X,与,Y,相互独立，则,XY,=0,，即,X,与,Y,不相关，反之不真,这意味着，,X,与,Y,不相关仅指,X,与,Y,之间不存在线性关系，并不能说明,X,与,Y,不具有其他关系,4.3.2,相关系数,【,例,4.24】,设随机变量,Z,服从,(,，,),上的均匀分布，又,X,=,sin,Z,，,Y,=,cosZ,，试求相关系数,XY,解：,由于,因而,Cov,(,X,，,Y,)=0,，,XY,=0,相关系数,XY,=0,，说明随机变量,X,与,Y,不相关，,但是，由于 ，所以,X,与,Y,不独立,4.3.3,矩,矩的概念在后面的数理统计部分有重要应用,定义,4.7,设,X,和,Y,是随机变量，若,E,(,X,k,),，,k,=1,，,2,，,存在，称其为,X,的,k,阶原点矩,，简称,k,阶矩,；,若 存在，称其为,X,的,k,阶中心矩,；,若 存在，称其为,X,和,Y,的,k,+,l,阶混合矩,；,若 存在，称它为,X,和,Y,的,k,+,l,阶混合中心矩,4.3.3,矩,(1),X,的,k,阶原点矩,:,E,(,X,k,),，,k,=1,，,2,，,(2),X,的,k,阶中心矩,:,(3),X,和,Y,的,k,+,l,阶混合矩,:,(4),X,和,Y,的,k,+,l,阶混合中心矩,:,显然，,X,的数学期望,E,(,X,),是,X,的一阶原点矩，,X,的方差,D,(,X,),是,X,的二阶中心矩，,X,和,Y,的协方差,Cov,(,X,Y,)=0,是,X,和,Y,的二阶混合中心矩,【,实验,4-2】,设,X,和,Y,分别表示在一分钟内通过某收费站的小汽车数量和卡车数量，,X,和,Y,的联合分布律如下：,(1),期望,E,(,X,),、,E,(,Y,),、,E,(,XY,),(2)方差,D,(,X,),、,D,(,Y,),(3),协方差,Cov,(,X,，,Y,),(4),相关系数,XY,Y,X,0,1,2,3,4,0,0.05,0.04,0.01,0,0,1,0.05,0.1,0.03,0.02,0,2,0.03,0.05,0.15,0.05,0.02,3,0,0.02,0.08,0.1,0.05,4,0,0,0.02,0.05,0.08,实验准备：,(1),函数,SUMPRODUCT,的使用格式：,SUMPRODUCT(array1,array2,array3,.),功能：返回多个区域,array1,array2,array3,.,对应数值乘积之和,(2),函数,MMULT,的使用格式：,MMULT(array1,array2),功能：返回两数组的矩阵乘积结果矩阵的行数与,array1,的行数相同，列数与,array2,的列数相同,实验步骤：,(1),整理数据如图,4-5,所示,图,4-5,整理数据,(2),计算边缘概率,P,X=x,i,和,P,Y=,y,j,在单元格,G2,中输入公式：,=SUM(B2:F2),，并将其复制到单元格区域,G3:G6,在单元格,B7,中输入公式：,=SUM(B2:B6),，并将其复制到单元格区域,C7:F7,(3),计算期望,E,(,XY,),首先在单元格,B9,中输入公式：,=MMULT(B1:F1,B2:F6),，,选中单元格区域,B9:F9,后，按,F2,键，再按组合键,Ctrl+Shift+Enter,，算出中间数组，如图,4-6,所示,图,4-6,计算矩阵乘积,然后在单元格,B10,中输入公式：,=MMULT(B9:F9,A2:A6),，即得期望,E,(,XY,),，如图,4-7,所示,图,4-7,计算期望,E,(,XY,),(4),计算期望,E,(,X,),、,E,(,Y,),和,方差,D,(,X,),、,D,(,Y,),在单元格,B11,中输入公式：,=SUMPRODUCT(G2:G6,A2:A6),在单元格,B12,中输入公式：,=SUMPRODUCT(B1:F1,B7:F7),在单元格,D11,中输入公式：,=SUMPRODUCT(A2:A6,A2:A6,G2:G6)-B112,在单元格,D12,中输入公式：,=SUMPRODUCT(B1:F1,B1:F1,B7:F7)-B122,(5),计算协方差,Cov,(,X,，,Y,),在单元格,B14,中输入公式：,=B10-B11*B12,(6),计算相关系数,XY,在单元格,B15,中输入公式：,=B14/SQRT(D11*D12),即得结果如图,4-8,所示,图,4-8,计算结果,第四章 随机变量的数字特征,【,分赌本问题解答,】,1654,年法国有个职业赌徒,De,Mer,向数学家,Pascal,提出了一个使他苦恼了很久的问题：甲乙两人各出赌注,50,法郎赌博，约定谁先赢,3,局，就赢得全部的,100,法郎，假定两人赌技相当，且每局无平局如果当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌局，问如何分,100,法郎的赌注才算公平？,这个问题在当时引起了许多人的兴趣,显然平均分对甲不公平,全部归甲对乙又不公平合理的分法当然是按照一定的比例,甲多分些,乙少分些，那么如何确定分配比例呢？,1654,年法国有个职业赌徒,De,Mer,向数学家,Pascal,提出了一个使他苦恼了很久的问题：甲乙两人各出赌注,50,法郎赌博，约定谁先赢,3,局，就赢得全部的,100,法郎，假定两人赌技相当，且每局无平局如果当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌局，问如何分,100,法郎的赌注才算公平？,分法,(1),：基于已赌的局数分配：,甲赢了两局，乙赢了一局，故甲乙两人按,2,：,1,的比例分赌注；,【,分赌本问题解答,】,【,分赌本问题解答,】,分法,(2),：,Pascal,提出了如下的分法：,设想再赌下去，甲的最终所得视为一个随机变量,X,，其可能值为,0,或,100,，再赌两局赌博必结束，结果无外乎是以下,4,种情形之一：,甲甲、甲乙、乙甲、乙乙，,其中“甲乙”表示甲胜第一局乙胜第二局，其余类似由于赌技相同，所以甲在三种情形下可赢得,100,法郎，只在一种情形（乙乙）下，赢得,0,法郎所以,X,的分布律如下：,【,分赌本问题解答,】,X,的分布律如下：,因此，,Pascal,认为，甲的“期望”所得应为,（法郎）,这种分法不仅考虑了已赌局数，而且还包含了对继续赌下去的一种“期望”，它比第一种分法更合理这其实也正是数学期望这个名称的由来,X,0,100,p,i,1/4,3/4,