概率统计2.4-2.5.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 几种重要的,离散型,分布,一、,贝努力分布,(,Bernoulli Distribution),二、,超几何分布,(Hyper-geometric Distribution),三、泊松分布,（,Poisson,Distribution,),1,一、贝努力分布,(,Bernoulli Distribution),伯努利试验特征：,1.,每次试验只有两个可能结果：“成功”“失败”,2.,每次试验“成功”的概率都是同一个常数,:,p,3.,每次试验是否成功与它次无关。,2,3,定义,:,4,5,6,例,例1,某射手命中率为0.8，独立射击3次，求恰好命中两次的概率,.,解,则恰好命中两次的概率为,由可加性,由独立性,7,例2,某人打靶,命中率为,p,=0.8,独立重复射击5次,求：,(1)恰好命中两次的概率；,(2)至少命中两次的概率；,(3)至多命中,4,次的概率,.,解,设,X,为命中数，,(1),(2),(3),8,解,例3,某经理有,7,个顾问，对某决策征求意见，经理听 取多数人的意见,.,若每位顾问提出正确意见的概率均 为,0.7,，且相互独立，求经理作出正确决策的概率,.,提出正确意见的顾问人数,则经理作出正确决策的概率为,9,解,例4,对某药物的疗效进行研究，假定这种药物对某种疾病的治愈率为,p,=,0.8,.,现在,10,个患者同时服此药，求至少有,6,个患者治愈的概率(假定患者之间相互独立),.,治愈人数,则至少有,6,个患者治愈的概率为,这个概率是很大的，也即，如果治愈率确为,0.8,，则在,10,人中治愈人数少于,6,人的情况是很少出现的,.,因此，如果在一次实际试验中，发现,10,个病人中治愈不到,6,人，那么假定治愈率为,0.8,就值得怀疑了,.,10,解,例5,假设有,10,台设备，每台的可靠性(无故障工作的概率)为,0.90,，每台出现故障时需要由一人进行调整问为保证在,95,%的情况下当设备出现故障时都能及时得到调整，至少需要安排几个人值班？,出故障机器台数,因此，至少需要安排,3,个人值班,11,解,例6,(保险事业)若一年中某类保险者的死亡率为,0.005,.,现有,1,万人参加这类保险，试求在未来一年中在这些保险者里面，(1)有,40,人死亡的概率；(2)死亡人数不超过,70,人的概率,.,死亡人数,(1),(2),计算相当复杂，下面介绍一个实用的近似公式,.,12,解,例7,假如生三胞胎的概率为,10,-,4,，,求在,10,万次生育中，恰有两次生三胞胎的概率,.,10,万次生育中生三胞胎的次数,直接用伯努利公式计算得,用泊松近似公式，,可见（当,n,非常大时）近似程度令人满意,.,二、超几何分布,13,定义,参见,P,65,.,14,例8,设某批产品共有,N,件，其中有,M,件次品,.,按如下两种方式从中任选,n,件产品,:(1)每次取出观察后放回；(2)不放回,.,设取得的次品数为,X,，,试分别就所述的两种情形，求,X,的分布律,.,例,(1)由于是有放回的抽取，所以每次取到次品的概率均为,M,/,N,，,所以,解,即,15,(2)若不还原，在,N,件产品中任选,n,件，其中恰好有,k,件次品的取法共有,16,作为二项分布的近似,1837,年法国数学家,泊,松引入的,.,了,泊松分布。,三、,Poisson,分布,定义,泊松分布的实际背景：,最简流,.,例如，到达商店的顾客，用户对某种商品质量的投诉，暴雨，交通事故，重大刑事案件，大震后的余震、到达某港口等待进港的货轮、纺纱机上的断头,所形成的随机质点流,17,性质,性质,1,0,证明,18,所以,性质,2,0,请自己阅读,P,67,.,19,例9,通过某十字路口的汽车数服从泊松分布,.,若平均,5,秒钟有,1,辆汽车通过,求10秒钟内通过的汽车不少于,两,辆的概率,.,解,设,X,为,10,秒内通过的汽车数，,20,例10,某商店出售某种大件商品，据历史记录分析，每月销售量服从泊松分布，,=,7，,问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以,0.999,的概率充分满足顾客的需要？,解,销售量,设至少库存,N,件，则,经计算，必须取,N,=,16,.,21,定义,1.均匀分布,(,Uniform Distribution,),二、,2.5,三种重要的连续型分布,22,这表明，,X,取值于(,a,b,),内的任一区间的概率与区间的长度成正比，而与该区间的具体位置无关,这就是均匀分布的概率意义。,证明,23,性质,24,例,22,某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即,7:00，7:15，7:30,7:45,等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间,X,是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5 分钟的概率.,25,解,依题意，,以,7:00,为起点0,以分为单位，,为使候车时间少于 5 分钟，乘客必须在 710 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,例,22,某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即,7:00，7:15，7:30,7:45,等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间,X,是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5 分钟的概率.,26,二、指数分布,(,Exponential Distribution,),定义,指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常常用它来作为各种“寿命”的分布的近似.例如,电子元件的寿命,电话的通话时间,微生物的寿命,随机服务系统中的服务时间,等都可认为是近似服从指数分布.,27,性质（,无记忆性,）,：,证,注,：,指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布.,指数分布的期望与方差,28,证明：,29,指数分布的期望与方差,方差的证明：,30,例2,3,假设电话一次通话时间是一随机变量，服从参数为,0.1,的指数分布假设某人到达电话亭时有一人正在通话，试求:,解,(1)此人至少需要等,10,分钟的概率,；,(2)此人需要等,10,到,20,分钟的概率,31,3.正态分布,(,Normal Distribution),正态分布是概率分布中最重要的一种分布，这有实践与理论两方面的原因。实践方面的原因是，正态分布是自然界最,常见,的一种分布，例如测量的误差、炮弹的落点、人的身高与体重、农作物的收获量、波浪的高度等等都近似服从正态分布。一般来说，,如果影响某一随机变量的因素很多，而每一个因素都不起决定性作用，且这些影响是可以叠加的,，则这个随机变量服从正态分布，这点可用第四章的极限定理来加以证明。从理论方面来说，正态分布有许多良好的性质，如正态分布可以,导出,一些其它分布，而某些分布（如二项分布、泊松分布等）在一定的条件下可用正态分布来,近似,。,32,定义,如果随机变量,X,的概率密度为,33,正态变量的分布函数为,34,的正态分布称为,标准正态分布,.,其密度函数和分布函数常用,和,表示：,35,书末,P262,附有标准正态分布函数数值表.,表中给的是,x,0,时,(,x,),的值.,36,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,定理,其分布函数为,则,证,37,38,二、正态分布密度函数的性质,（,8,条,）：,39,正态分布密度函数的性质：,40,（,7,）,正态分布的数字特征,44,（,8,）,证,推广：,证：,46,若,X,N,(0,1),例,1,解,47,此公式把一般正态变量的概率转换为标准正态分布来计算.,48,例,2,解,49,例,3,50,68.26%,95.44%,99.74%,51,例,4,设某批鸡蛋每只的重量,X,(,以克计)服从正态分布,X,N,(,50,25,)1),求从该批鸡蛋中任取一只,其重量不足,45,克的概率,(2)从该批鸡蛋中任取一只,其重量介于,40,克到,60,克之间的概率,(3)若从该批鸡蛋中任取五只,试求恰有,2,只鸡蛋不足,45,克的概率,(4)从该批鸡蛋中任取一只其重量超过,60,克的概率,(5)求最小的,n,使从中任选,n,只鸡蛋,其中至少有一只鸡蛋的重量超过,60,克的概率大于,0,99,解,(1),(2),2,0.9773,1,0.9546,；,52,设,Y,为,5,只鸡蛋中重量不足,45,克的鸡蛋数,则,Y,B,(,5,0.1587,),故所求概率为,(3),(4),53,设,Z,表示,n,只鸡蛋中重量大于,60,克的鸡蛋数,则,Z,B,(,n,0.0228,),(5),因为,欲使,即,解得,54,解,例,5,若入学考试中各个考生的总分数服从正态分布,N,(,400,100,2,),共有,2000,人参加考试，假定只录取前,300,名，求分数线,a,，,使考生总分超过,a,的概率等于升学率。,设,X,表示考试总分，则,55,例,6,若某人从甲地到乙地有两条路线可走，第一条路线过市区，路程短但拥挤，所需时间(分)服从正态分布,N,(,50,100,)；,第二条线路沿环城路走，路程长但阻塞少，所需时间(分)服从正态分布,N,(,60,16,)。,问:(1)假如有,70,分钟可用，应选哪条路？(2)若只有,65分钟，又应走哪条路？,解,记行走时间为,t,，,(1)若有70分钟可用,走第一条路线能及时赶到的概率为,走第二条路线能及时赶到的概率为,因此，若有,70,分钟可用，应选第二条路线。,56,走第二条路线能及时赶到的概率为,因此，若有,65,分钟可用，应选第一条路线。,(2)若有,65,分钟可用,走第一条路线能及时赶到的概率为,标准正态分布的上,分位点,：,三、正态分布的线性组合,一般地，独立条件下：,60,练习：,习题二,(P77),1,、,2,、,3,、,4,、,9,、,13,、,14,、,15,、,16,、,18,、,19,、,20,、,22,、,23,、,26,、,27,、,29,、,31,、,34,、,40,、,41,、,47,、,52,、,53,、,55,、,62,、,63,、,66,、,68,、,69,、,70,、,72,*,一、,16,；三、,1,、,2,、,3,