高数11章第3节幂级数.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、函数项级数的概念,设,为定义在区间,I,上的,函数项级数,.,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其,收敛域,;,若常数项级数,为定义在区间,I,上的函数,称,收敛,发散,所有,为其,收,为其,发散点,发散点的全体称为其,发散域,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为级数的,和函数,并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前,n,项的和,即,在收敛域上,函数项级数的和是,x,的函数,称它,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,又如,级数,级数发散;,所以级数的收敛域仅为,有和函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为,幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如,幂级数,为幂级数的,系数,.,即是此种情形.,的情形,即,称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,发 散,发 散,收 敛,收敛,发散,定理 1.,(,Abel,定理),若幂级数,则对满足不等式,的一切,x,幂级数都绝对收敛.,反之,若当,的一切,x,该幂级数也发散.,时该幂级数发散,则对满足不等式,证:,设,收敛,则必有,于是存在,常数,M,0,使,阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛.,也,收敛,反之,若当,时该幂级数发散,下面用反证法证之.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛,面的证明可知,级数在点,故假设不真.,的,x,原幂级数也,发散.,时幂级数发散,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,幂级数在(,+)收敛;,由,Abel,定理可以看出,中心的区间.,用,R,表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R,=0,时,幂级数仅在,x,=0,收敛;,R,=,时,幂级数在(,R,R,)收敛;,(,R,R,),加上收敛的端点称为,收敛域,.,R,称为,收敛半径,，,在,R,R,可能收敛也可能发散.,外,发散;,在,(,R,R,),称为,收敛区间,.,发 散,发 散,收 敛,收敛,发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.,若,的系数满足,证:,1)若,0,则根据比值审敛法可知:,当,原级数收敛;,当,原级数发散.,即,时,1)当,0 时,2)当,0 时,3)当,时,即,时,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若,则对除,x,=0,以外的一切,x,原级发散,对任意,x,原级数,因此,因此,的收敛半径为,说明:,据此定理,因此级数的收敛半径,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对端点,x=,1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点,x=,1,级数为交错级数,收敛,;,级数为,发散.,故收敛域为,例,1,.,求幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2,.,求下列幂级数的收敛域:,解:,(1),所以收敛域为,(,2),所以级数仅在,x=,0,处收敛.,规定:0!=1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,的收敛半径.,解:,级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故,直接由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,的收敛域.,解:,令级数变为,当,t,=2,时,级数为,此级数发散;,当,t,=2,时,级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、幂级数的运算,定理3.,设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,则有:,其中,以上结论可用部分和的极限证明.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比,原来两个幂级数的收敛半径小得多.,例如,设,它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理4,若幂级数,的收敛半径,(证明见第六节),则其和函,在收敛域上,连续,且在收敛区间内可,逐项求导,与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:,注:,逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,由例2可知级数的收敛半径,R,+.,例,5.,则,故有,故得,的和函数.,因此得,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,的和函数,解:,易求出幂级数的收敛半径为 1,x,1,时级数发,散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,求级数,的和函数,解:,易求出幂级数的收敛半径为 1,及,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此由和函数的连续性得:,而,及,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,8.,解:,设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束而,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.求幂级数收敛域的方法,1)对标准型幂级数,先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.,2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用,比值法,或,根值法,2.幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,也可通过,换元,化为标准型再求.,乘法运算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;,3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.,思考与练习,1.,已知,处条件收敛,问该级数收敛,半径是多少?,答:,根据,Abel,定理可知,级数在,收敛,时发散.,故收敛半径为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,在幂级数,中,n,为奇数,n,为偶数,能否确定它的收敛半径不存在?,答:,不能.,因为,当,时级数收敛,时级数发散,说明:,可以证明,比值判别法成立,根值判别法成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P215 1 (1),(3),(5),(7),(8),2 (1),(3),P257 7 (1),(4),8 (1),(3),作业,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,阿贝尔,(1802 1829),挪威数学家,近代数学发展的先驱者.,他在,22岁时就解决了用根式解5 次方程,的不可能性问题,他还研究了更广的一,并,称之为阿贝尔群.,在级数研究中,他得,到了一些判敛准则及幂级数求和定理.,论的奠基人之一,他的,一系列工作为椭圆函数研究开,拓了道路.,数学家们工作150年.,类代数方程,他是椭圆函数,C.,埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供,后人发现这是一类交换群,备用题,求极限,其中,解:,令,作,幂级数,设其和为,易知其,收敛半径为 1,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,