概率2-2离散型随机变量.ppt

概率论,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论,第二节 离散型随机变量及其分布律,离散型随机变量分布律的定义,离散型随机变量表示方法,五种常见分布,从中任取,3,个球,取到的白球数,X,是一个随机变量,.,(1),X,可能取的值是,0,1,2;,(2),取每个值的概率为,:,一、离散型随机变量分布律的定义,1,、定义,1,：随机变量,X,的所有可能取值是,有限多个,或,可列无限多个,称随机变量为,离散型随机变量,.,2,、定义,2,：设,x,k,(,k,=1,2,),是离散型随机变量,X,所取的一切可能值，称,为,离散型随机变量,X,的分布律,.,3,离散型随机变量表示方法,（,1,）公式法,（,2,）列表法,X,k,=1,2,（,1,）,（,2,）,用这两条性质,可判断一个数列,是否是分布律,二、离散型随机变量,X,的分布律的性质,解,:,依据分布律的性质,P(,X,=,k,)0,a,0,从中解得,即,例,2,设随机变量,X,的分布律为：,k,=0,1,2,试确定常数,a,.,注,:,离散型随机变量的分布律（概率分布）三步骤,:,(1),确定随机变量的所有可能取值,;,(2),设法计算取每个值的概率,.,(3),列出随机变量的分布表（或写出概率函数）,.,例,某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是,p,求,所需射击发数,X,的分布律,.,解,:,显然，,X,可能取的值是,1,2,，,P,X,=1=,P,(,A,1,)=,p,为计算,P,X,=,k,，,k,=1,2,，,A,k,=,第,k,发命中,，,k,=1,2,，,设,于是,可见,这就是求,所需射击发数,X,的分布律，称为,几何分布,.,三、五种常见分布,1,、两点分布：,（也称,0-1,分布）,随机变量,X,只可能取0与1两个值，其分布律为：,X,或,常用,0 1,分布描述，如产品是否格、人口性别统,计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等,.,凡是随机试验只有两个可能的结果，,应用场合,2,离散型均匀分布,如在“掷骰子”的试验中，用 表示事件,出现 点，则随机变量 是均匀分布,掷骰子：,“,掷出,4,点”，“,未掷出,4,点,”,抽验产品：,“,是正品”，“,是次品,”,（,1,）,一次试 验,E,中只有两个互逆的结果：,A,或,这样的试验,E,称为,伯努利试验,.,3.,二项分布,“,重复”,是指这,每次试验中,P(A)=p,保持不变,.,(2),将伯努利试验,E,独立地重复地,进行,n,次,则称这一串,重复的独立,试验为,n,重伯努利试验,.,“,独立”,是指各,次试验的结果之间互不影响,.,(3),用,X,=,n,重伯努利试验中事件,A,发生的次数,，则,称,R.V.,X,服从,参数为,n,和,p,的二项分布,，记作,X,b,(,n,p,),易证：,（,1,）,（,2,）,注：,b(1,p),为,(0-1),分布,九个二项分布,B(5,p),(p,0.1,到,0.9),的概率分布图,例,6,已知,100,个产品中有,5,个次品，现从中,有放回,地取,3,次，每次任取,1,个，求在所取的,3,个中恰有,2,个次品的概率,.,解,:,因为这是有放回地取,3,次，因此这,3,次试验,的条件完全相同且独立，它是贝努里试验,.,依题意，每次试验取到次品的概率为,0.05.,设,X,为所取的,3,个中的次品数，,于是，所求概率为,：,则,X,b,(3,0.05)，,例,7,某类灯泡使用时数在,1000,小时以上,的概率是,0.2,，求三个灯泡在使用,1000,小时以后最多只有一个坏了的概率,.,解,:,设,X,为三个灯泡在使用,1000,小时已,坏的灯泡数,.,X,b,(3,0.8)，,把观察一个灯泡的使用,时数看作一次试验,“,使用到,1000,小时已坏”,视为事件,A.,每次试验,A,出现的概率为,0.8,P,X,1=,P,X,=0+,P,X,=1,=(0.2,)3,+3(0.8)(0.2),2,=0.104,3,、,Poisson,分布,泊松分布是一种常见的分布,许多随机现象都服从泊松分布,特别集中在社会现象和物理学领域中,泊松分布可作为描述大量试验中稀有事件出现次数的概率分布的数学模型,例如,在单位时间内,电话总机接到用户呼唤的次数,数字通信中的误码数，某公共汽车站在一固定时间内来到的乘客数,每米布的疵点数及天空中的流星数等,都服从或近似服从泊松分布,因此泊松分布是应用十分广泛的一个基本而又重要的分布,.,或,或,定义：若随机变量,X,的分布律为,其中,是常数，则称,X,服从,参数为,的,Poisson,分布,，记作,在一定时间间隔内,事件,A,发生的次数：,大卖场的顾客数；,应用场合,:,电话总机接到的电话次数；,市级医院急诊病人数；,一个容器中的细菌数；,放射性物质发出的粒子数；,一本书中每页印刷错误的个数；,某一地区发生的交通事故的次数,等等,例,设,随机变量,X,服从参数,为,的,Poisson,分布，,且已知,一匹布上的疵点个数；,例 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数,=5,的泊松分布来描述，为了以,95%,以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进,某种商品多少件？,解,:,设该商品每月的销售数为,X,已知,X,服从参数,=5,的泊松分布,.,设商店在月底应进,某种商品,m,件,求满足,P,X,m,0.95,的最小的,m,.,进货数,销售数,求满足,P,X,m,0.95,的最小的,m,.,查泊松分布表得,P,X,m,0.05,也即,于是得,m+1=10,m=9,件,或,定理：二项分布的泊松逼近,在二项分布,b(n,p,),中，当,n,很大,p,很小,np,是一个不大的数,可以用泊松分布作为二项分布的近似,即,例：,设用机枪射击一次击落飞机的概率为,p,，无限次地射击，则首次击落飞机时所需射击的次数,X,服从参数为,p,的几何分布,。,4,、几何分布,若随机变量,X,的概率分布律为,称,X,服从参数,p,的,几何分布，记为,G(p,),几何分布是一种等待分布，凡是研究,某事件出现,所经历的试验次数,可用这一分布来描述。,几何分布的无记忆性,：在已知前,m,次试验没有出现成的条件下，为达到首次试验成功所需,再等待的试验次数,Y,的分布律于,m,无关。,事实上,5,、超几何分布,设有产品,N,件，其中次品,D,件,从中随机地不放回抽,取,n,件,记,X,为抽到次品件数，求,X,的分布律,.,此时抽到 件正品的概率为,k,=0,，,1,，,，,称,X,服从,超几何分布,.,记,练习题,