高等数学下十一章Ppt.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,第十一章,一、函数项级数的概念,设,为定义在区间,I,上的函数项级数,.,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其,收敛域,;,若常数项级数,为定义在区间,I,上的函数,称,收敛,发散,所有,为其,收,为其,发散点,发散点的全体称为其,发散域,.,为级数的和函数,并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前,n,项的和,即,在收敛域上,函数项级数的和是,x,的函数,称它,例如,等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,又如,级数,级数发散,;,所以级数的收敛域仅为,有和函数,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如,幂级数,为幂级数的,系数,.,即是此种情形,.,的情形,即,称,发 散,发 散,收 敛,收敛,发散,定理,1.,(Abel,定理,),若幂级数,则对满足不等式,的一切,x,幂级数都绝对收敛,.,反之,若当,的一切,x,该幂级数也发散,.,时该幂级数发散,则对满足不等式,证,:,设,收敛,则必有,于是存在,常数,M,0,使,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛,.,也,收敛,反之,若当,时该幂级数发散,下面用反证法证之,.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛,面的证明可知,级数在点,故假设不真,.,的,x,原幂级数也,发散,.,时幂级数发散,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,幂级数在,(,+),收敛,;,由,Abel,定理可以看出,中心的区间,.,用,R,表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R,=0,时,幂级数仅在,x,=0,收敛,;,R,=,时,幂级数在,(,R,R,),收敛,;,(,R,R,),加上收敛的端点称为收敛域,.,R,称为收敛半径，,在,R,R,可能收敛也可能发散,.,外,发散,;,在,(,R,R,),称为收敛区间,.,发 散,发 散,收 敛,收敛,发散,定理,2.,若,的系数满足证,:,1),若,0,则根据比值审敛法可知,:,当,原级数收敛,;,当,原级数发散,.,即,时,1),当,0,时,2),当,0,时,3),当,时,即,时,则,2),若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3),若,则对除,x,=0,以外的一切,x,原级发散,对任意,x,原级数,因此,因此,的收敛半径为,说明,:,据此定理,因此级数的收敛半径,对端点,x=,1,的收敛半径及收敛域,.,解,:,对端点,x=,1,级数为交错级数,收敛,;,级数为,发散,.,故收敛域为,例,1.,求幂级数,例,2.,求下列幂级数的收敛域,:,解,:,(1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在,x=,0,处收敛,.,规定0!=1,例3.,的收敛半径,.,解,:,级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理,2,比值审敛法求收敛半径,.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故,直接由,例4.,的收敛域,.,解,:,令,级数变为,当,t,=2,时,级数为,此级数发散,;,当,t,=2,时,级数为,此级数条件收敛,;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,例,5,求下列幂级数的收敛域,:,发散,收敛,故收敛域为,(0,1.,三、幂级数的运算,1.,代数运算性质,:,(1),加减法,(,其中,(2),乘法,(,其中,(3),除法,(,相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多,),说明,:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比,原来两个幂级数的收敛半径小得多,.,例如,设,它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,2.,和函数的分析运算性质,:,(,收敛半径不变,),(,收敛半径不变,),解,:,由例,2,可知级数的收敛半径,R,+.,例,6.,则,故有,故得,的和函数,.,因此得,设,例,7.,的和函数,解,:,易求出幂级数的收敛半径为,1,x,1,时级数发,散,例,8.,求级数,的和函数,解,:,易求出幂级数的收敛半径为,1,及,收敛,因此由和函数的连续性得,:,而,及,常用已知和函数的幂级数,2.,的和函数,思考与练习,求级数,解,两边积分得,例,求和函数,解,收敛域为,记,则,故,这是一个缺项的幂级数,不能直接运用求幂,级数收敛半径的计算公式,.,今后遇到这类级数应,该按照函数项级数的情形处理,通常是采用达朗,贝尔判别法,.,例,解,内容小结,1.,求幂级数收敛域的方法,1),对标准型幂级数,先求收敛半径,再讨论端点的收敛性,.,2),对非标准型幂级数,(,缺项或通项为复合式,),求收敛半径时直接用,比值法,或,根值法,也可通过,换元,化为标准型再求,.,2),在收敛区间内幂级数的和函数连续,;,3),幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分,.,2.,幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,乘法运算,.,P215 1 (1),(3),(5),(7),(8),2 (1),(3),作业,阿贝尔,(1802 1829),挪威数学家,近代数学发展的先驱者,.,他在,22,岁时就解决了用根式解,5,次方程,的不可能性问题,他还研究了更广的一,并,称之为阿贝尔群,.,在级数研究中,他得,到了一些判敛准则及幂级数求和定理,.,论的奠基人之一,他的,一系列工作为椭圆函数研究开,拓了道路,.,数学家们工作,150,年,.,类代数方程,他是椭圆函数,C.,埃尔米特曾说,:,阿贝尔留下的思想可供,后人发现这是一类交换群,