第7章 非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 非线性控制系统分析,7-1,非线性控制系统概述,以前讨论的自动控制理论,都是针对线性控制系统的,所以也叫线性自动控制理论,.,所谓线性控制系统是指系统,中所有环节的输入输出都呈线性关系,若有的环节所具有,的非线性特性不很强烈,且可对其线性化,则也可当作线,性环节处理,.,但如此处理后,应使对系统的分析和设计的,精度满足工程上的要求,.,系统中只要有一个环节的非线性,特性很强烈,对其线性化将影响对系统分析和设计的精度,或者非线性环节属本质非线性无法对其线性化,则只能用,非线性理论对系统进行分析和设计,在工程实际中,大多数被控对象都具有非线性特性,因此学习和研究非线性控制理论具有很现实的意义,.,在某,些情况下,在线性控制系统人为地加入适当的非线性因素,反而有利于控制质量的提高,.,在系统中,只要有一个环节或元件有非线性特性,则整个系统就叫非线性系统,如下图所示,.,上图,中,大方框表示一具有理想继电特性的非线性环节,表示非线性系统中线性部分的传递函数,.,非线性的特性是各种各样的,教材图及,表给出了一些工程上常见的典型非线性特性,.,7-2,非线性控制系统的特征,非线性控制系统有如下两个基本特征,:,(1),非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程,(2),非线性控制系统的性能不仅与系统本身的结构和参,数有关,还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小,有关,.,由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分,方程,而从数学上讲,非线性微分方程没有一个统一的,解法,再由于第二个特征,对非线性控制系统也没有一,个统一的分析和设计的方法,只能具体问题具体对待,.,本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描,述函数法,是在非线性控制系统满足一定的条件下,将,线性控制理论的某些内容给以扩充和变通后得出的,因,此具有一定的局限性,.,7-3,相平面法,1.,相平面法的基本概念,所谓相平面法,是一种二阶微分方程的图解法,.,此,法即可用于线性二阶系统,也可用于线性部分是二阶的,非线性系统,.,设一二阶系统可用下面常微分方程描述,:,上面微分方程的解可用,对,的,关系曲线表示,也可用,与,的,关系曲线表示,当用后一种关系曲线时,是,把,曲线画在,的,直角坐标平面上,而,作为参变量,在,平面上并不出现,.,设下图为,式,(1),在初始条件,情况下的,与,的关系曲线,.,当,时,平面上的点随时间的增大,将沿,曲线移动,.,当,初始条件确定后,曲线也确定,则曲线上任何一点的,坐标也确定,.,当,的值,确定后,由,式,(1),可知,的值也唯一,确,定,从而系统的整个运动状态也完全确定,.,整条,曲线就清楚地描述了系统在某一,初始条件下的运动,性质,.,上图中的平面叫相平面,曲线叫系统,在某一,初始,条件下的相轨迹,.,由于系统的初始条件可有无穷多个,因此相应的相轨迹也有无穷多条,这无穷多条相轨迹构,成的相轨迹簇叫相平面图,.,因为,所以,当,确定后,也,唯一确定,.,而,是相,轨迹在,处的,曲线斜率,由于每一点上的斜率确定,所,每一点上只能通过一条相轨迹,这说明由不同,初始条件,出发的,相轨迹曲线互不相交,.,如果在相平面上某些点的,即曲线在这一点上的斜率不定,可有,无穷多,条,相轨迹通过这一点,称这一点为系统的平衡点,或叫奇,点,.,在相平面的上方,(,如下图,),由于,所以,总是朝大的,方向变化,故相轨迹上的点总是按图,中,箭头所指从左向右移动,.,在相平面,的下方由于,所以,总是朝小的,方向变化,故相轨迹上的点总是按图中箭,箭头所指从右向左移动,.,在,轴,上,由于,即,不变化,达到最大值或最小值,故相轨迹曲线,与,轴的,交点处的切线总垂直于,轴,.,2.,相轨迹作图法,先以线性系统为例,说明相轨迹曲线的画法,.,(1),解析法,根据系统的微分方程求出相轨迹方程,然后由相轨,迹方程绘制相平面图,此方法仅用于简单的一,二阶线,性系统或分段线性系统,.,(a),线性一阶系统 系统自由运动的微分方程为,:,相,轨迹方程为,:,设,初始条件,:,当,T0,相轨迹如下图,系统从任一初始点出发,均将沿相轨,迹收敛于原点,.,当,T0.8,则,:,区域,所有相轨迹趋,近于,的,水平直线,.,区域,所有相轨迹趋,近于,的水平直线,.,区域,所有相轨迹趋近于,的水平直线,.,相轨迹图见下图,.,由上图可见,当初始偏差位置在,点,时,系统将沿,轨线,运动,当,时,显然系统不稳定,.,b),当,R=0.8,则,区域,相轨迹在,平面上任一点的斜率均为,-1,相轨迹为一簇,区域,所有相,区域,所有相轨迹趋近于,轨迹趋近于,直线,.,斜率为,-1,的直线,.,c),当,时,分段线性化方程如下,:,区域,所有相轨迹趋近于,的,水平直线,.,同理可得区域,的相,轨迹簇,和,区域,的相轨迹簇,.,从某一,初始点,出发,的相轨迹见下图,存在极限环,例,2.,速度反馈对继电型系统的性能影响,设有下图所示无速度反馈的理想继电型非线性系统,.,分段线性化方程,为,:,区域,其上相轨迹如右图,.,区域,其上相轨迹如右图,.,从任一,初始点,出发的相轨迹也见右图,系统呈衰减振荡,振荡时间较长,.,其它参数不变,有速度反馈的理想继电型非线性系统见,下图,.,分段线性化方程为,:,两,区域的分界线即开关,线方程为,:,即,斜率,为,过,原点的直线,区域,区域,与无,速度反馈相比,开关线向左,倾斜了一个角度,.,两个,区域的相轨迹簇见下图,.,两区域中各自分别总有一,条相轨迹与开关线切于,两,点,.,当相轨迹曲线与开关线,交于,线段内时,系统状态,必将沿开关线迅速滑向原点,.,如左图所,示,.,如,继电非理想,即,开关在切换时有滞后,则,相,轨迹在,线段内时,系统状态呈抖动式地滑向原点,出现小幅振荡,.,由上分析可知,有速度反馈的继电型非线,性系统的动态性能比无速度反馈的继电型非线的动态性,能要好,.,7-4,描述函数法,1.,描述函数的基本概念,描述函数法又叫谐波线性化法,.,非,线性系统的典型结构可由下图所示,.,描述函数法的基本思想是用某一数学方法,将非线性系,统谐波线性化后,引用分析线性系统的频率响应法,.,为,此,非线性系统本身必须满足以下几个条件,:,(1),非线性环节,N,的特性不是时间的函数,即是非时,变的,;,(2),非线性环节的输入信号,是幅,值为,A,的正弦信号,不,包含恒定直流分量,;,(3),非线性环节的输出信号,一般情况下是非正弦信,号,从付里叶级数角度看,它是直流分量,一次谐波即,基波,分量,及高次,谐波分量,的,叠加,.,如线性,部分具有良好的低通虑波特性,能将,中的高次谐波,分量虑有效地虑掉,则可近似认为只有,中的一次谐,波,分量,沿闭环,通道传送,;,(4),要求沿闭环通道传送的信号不能有,的,直流分,量,因此非线性环节的特性必须斜对称,即满足如下,关系式,:,则,的直流分量,2.,描述函数的定义,非线性环节输出信号一次谐波分量与输入正弦信号,的复数比定义为非线性环节的描述函数,即,:,式,(21),中,:,为非,线性环节的描述函数,;,是非线性环节正,弦输入信号,的幅,值,;,为,非线性环节输出信,号,一次谐波分量的幅值,;,输出一次谐波分量和,输入正弦信号的初相位之差,.,描述函数式,(21),的一般计算公式如下,.,设非线性环节输入正弦信号,非线性环节,的非,正弦输出信号经付里叶级数展开后可表为,:,根据上述条件,(4),有,:,根据上述条件,(3),有,:,上式,中,:,因此,左式中,:,从而描述函数式,(21),表为,描述函数的特性,:,(1),当非线性环节包含储能元件时,其输出与输入信,号的幅值和频率有关,故,N,也是输入信号幅值和频率的函,数,可用,表示,;,(2),工程上大多数非线性环节包含储能元件,它们的输,出信号仅与输入信号的幅值有关,故,N,也仅是,输入信号幅,值的函数,可用,表示,;,(3),若非线性环节是单值函数,则其描述函,N,是实数,若非线性环节是多值函数,则其描述函,N,是复数,;,(4),若非线性环节输出,其中,且它们都是单值非线性,描述,函数分别为,则此非线性环节的描述函数为,特性,(4),可用下图说明,:,采用描述函数法研究非线性系统,其优点是不管非,线性系统的线性部分是几阶的,它均能被采用,.,但用它,研究问题的范围仅限于分析和校正非线性系统的稳定性,稳定性的性质,如自激振荡的稳定性和振荡参数,.,不能,研究非线性系统的瞬态响应性能,且非线性系统无外加,输入信号,线性部分要具有良好的低通虑波特性,以满,足分析的精度要求,.,3.,典型非线性特性描述函数的求取举例,饱和非线性是最常见的一种非线性特性,如各类放,大器就具有饱和非线性特性,其输入输出关系可用下图,表示,.,由图,可见,当,时,即,:,因非线性为斜对称,输出,可,分段表为,:,对,进行付里叶分解,由于非线性斜对称,故,取分解后的一次谐波,有,:,由于,为奇,函数,为偶函数,所以,由于,为奇函数,则,为偶函数,所以,求取描述函数的其它例子请见教材,P.376P.379,工程上,常见的非线性特性及其描述函数见教材,P.379P.380,表,8-1.,4.,非线性系统稳定性分析的描述函数法,设一非线性系统方框图如下所示,.,令,系统在虚线处开环,且假设,则,式,(23),中,设,式,中,是,的幅,值,则,若,系统产生振荡,则有,比较式,(23),和式,(24),可得系统产生振荡的条件为,:,非,线性系统产生自激振荡的上述条件,也可表为,:,的,形式,推导如下,:,称上,式,中,为非,线性特性的负倒描述函数,.,有上,分析可得两个结论,:,(1),当非线性系统的线性部分的频率特性与非线性环,节的乘积等于,-1,时,系统将产生自激振荡,;,(2),由于,是,关于,的复变,函数,而,是,关于,A,的复变函数,因此两者的曲线可画在同一复平面,上,而,和,A,均作为参变量在复平面上并不出现则由两者,曲线的交点,可确定系统产生自激振荡的性质,自激振荡,的频率和幅值,.,由,这,一等式,可将线性系统中的奈氏,稳定判据推广应用到非线性系统,说明如下,:,假如系统中,没有非线性环节,则闭环特征方程的频域表达式为,:,即,与非线性系统产生自激振荡,的,条件,复平,面上的点,相比较可知,线性系统,在非线性系统的复平面上被负倒描述函,数,曲线所取代,.,从而奈氏判据用于非线性系统时,可作,如下表述,:,当非线性系统的线性部分传递函数的所有,极点均在,S,的左半平面上时,(1),当曲线,未被,奈氏曲线包围时,非线,性,系统是稳定的,在稳态时,系统不会产生自激振荡,.,如下图所示,.,两曲线相距越远,系统越稳定,.,其稳定程度,也可,仿照线性系统稳定裕量的,概念,用幅值裕度和相角裕度,来表征,.,但由于,A,值不同,曲线上的点与,曲线的相对位置,也,不一样,因而对于不同的,A,值就有,不同的稳定裕量数值,假如当,A,等于,时,在,曲线上的点为,N,连接,0N,交,曲线,于,G,点,则,定义幅值裕度为,若以,0N,为半径作一圆弧交,曲线于,M,点,则连线,0N,与,0M,间的,夹角,定义为相角裕度,.,(2),当曲线,被,包围,如下图所示,则,系统是不稳定的,.,(3),当曲线,与,如下图所示相交时,则,系统,在,交点,a,b,处将,发生自激振荡,.,交点的不同,自激振荡又分为,稳定的自振荡和不稳定的自振荡,.,设系统最初工作在,a,点,对应的参数为,当系统受到一个不大的扰动时,减小,设,曲线上的点将从,a,点逆,箭头方向移动到,d,点,使,曲线不被,所,包围,系统稳定,将使非线性环节的输入信号幅值不断,减小,即,d,点沿负倒,描述函数的曲线反箭头方向一直移动,直至非线性环节的输入信号幅值趋向于零,.,当系统受到一,个不大的扰动时,增大,设,a,点顺箭头方向移动到,c,点,则,曲线被,包围,系统稳定,将使非线性环,节的输入信号幅值不断增大,c,点,一直移动到,b,点,可见,a,点是一,不稳定的振荡点,.,设系统最初工作在,b,点,对应的参数为,如下图,.,当系统受到一个不大的扰动时,减小,设,曲线上的点将,从,b,点,逆箭头方向移动到,c,点,则按前面,的分析,曲线上的点将回到,b,点,.,当系统,受到一个不大的扰动时,增大,设,b,点顺,箭头方向移动到,e,点,使,曲线不被,所包围,系统稳定,将使非线性环节的输入信号幅,值不断减小,即,e,点沿负倒描述函数的曲线反箭头方向回,到,b,点,故,b,点是一,稳定的自振荡点,.,非线性系统产生自激振荡点处的振荡幅值和频率可由,产生自激振荡的条件,求得,.,例,:,设具有饱和非线性的控制系统如下图所示,.,图中,求系统产生自激振荡的幅值,和,频率,.,解,:,前已推导出饱和非线性的描述函数为,:,将,已知参数代入上式得,:,当,时,当,时,在复,平面上负倒描述函数的曲线如下图,.,曲线大致,形状见图中所示,.,两条曲线交,于,a,点,经,计算可得,a,点,对应的频,率,a,点是一,稳定,的自激,振荡点,由自激振荡条件,可,得,:,即,系统自激振荡时,非线性环节的输入信号,