1、YANGZHOU UNIVERSITY,四、函数的间断点及其分类,一、函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,三、初等函数的连续性,机动,目录 上页 下页 返回 结束,二、连续函数的运算性质,例,1.,设函数,一、函数连续的概念,定义,:,在,的,某邻域内有定义,则称,函数,设函数,且,，讨论,在,处的连续性。,机动,目录 上页 下页 返回 结束,由例题可见,函数,在点,(1),在点,即,(2),极限,(3),连续必须具备下列条件,:,存在,;,有定义,存在,;,例,2.,设函数,，讨论,处的连续性。,在,机动,目录 上页 下页 返回 结束,则称,在,或称它为该,区间上的,连
2、续函数,.,在,闭区间,上的连续函数的集合记作,称,在,点处左连续,称,在,点处右连续,如果,在开区间,内每一点都连续,上连续,则称,且在,a,点右连续，,如果,在开区间,上连续,在,b,点左连续，,在,闭区间,上连续。,机动,目录 上页 下页 返回 结束,例如,在,上,连续,.,有理整函数（多项式函数）,又如,有理分式函数,在其,定义域内连续,.,只要,都有,机动,目录 上页 下页 返回 结束,对自变量的增量,有,函数的增量,函数,在点,连续有下列,等价命题,:,机动,目录 上页 下页 返回 结束,函数,在点,连续有两种形式的定义：,用于判断一个具体函数在一个已知点处的连续性,用于证明函数在
3、任意点处的连续性；,或用于函数连,续的理论分析,机动,目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,证明函数,在,内,连续,.,证,:,即,这,说明,在,内,连续,.,同样可证,:,函数,在,内,连续,.,机动,目录 上页 下页 返回 结束,定理,2.,连续单调递增 函数的反函数,在其,定义域内连续,定理,1.,在某点连续的,有限个,函数经,有限次,和,差,积,商,(,分母不为,0),运算,结果仍是一个在该点连续的函数,.,例如,例如,在,上,连续单调递增，,其,反函数,(,递减,).,(,证明略,),在,1,1,上也连续单调递增,.,递增,(,递减,),也,连续单调,二、连续函数的运算性质,机动,
4、目录 上页 下页 返回 结束,定理,3.,由连续函数构造的复合函数也是连续函数,.,在,上,连续 单调 递增,反函数,在,上也连续单调递增,.,又,如,机动,目录 上页 下页 返回 结束,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续,.,复合而成,机动,目录 上页 下页 返回 结束,三,.,初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在,定义区间内,都连续,例如,的,连续区间为,(,端点为单侧连续,),的,连续区间为,的,定义域为,因此它无连续点,而,机动,目录 上页 下页 返回 结束,在,在,四、函数的间断点及其分类,(1),函数,
5、2),函数,不,存在,;,(3),函数,存在,但,不连续,:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则,这样的点,下列情形,之一,时,函数,f,(,x,),在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为,间断点,.,在,无定义,;,机动,目录 上页 下页 返回 结束,为其,无穷间断点,.,为其,振荡间断点,.,为,可去间断点,.,例,4.,求下列函数的间断点,时无定义，,且,时无定义，,且,不存在，,时无定义，,且,机动,目录 上页 下页 返回 结束,且,为其,可去间断点,.,(4),(5),为,其跳跃间断点,.,是分段点,是分段点,机动,目录 上页 下页 返回 结束,初等函数的间断点只能产生在函数孤立的
6、无定义点上,分段函数的间断点往往产生在分段点上,（具体判别）,机动,目录 上页 下页 返回 结束,间断点的寻找：,间断点分类,:,第一类间断点,:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点,:,及,中至少一个不存在,称,若,其中有一个为振荡,称,若,其中有一个为,为,第一类可去间断点,.,为,第一类跳跃间断点,.,为,第二类无穷间断点,.,为,第二类振荡间断点,机动,目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,讨论函数,x,=2,是第二类无穷间断点,.,间断点,例,6.,设,提示,:,为连续函数,求,a,，,b,.,答案,:,x,=1,是第一类可去间断点,及类型。,机动,目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,确定函数,间断点的类型,.,解,:,间断点,为,无穷间断点,;,故,为,跳跃间断点,.,机动,目录 上页 下页 返回 结束,作业,P41 1(2,，,3),；,2,（,2,，,3,）；,4,（,3,，,4,，,5,）；,5,第九节,目录 上页 下页 返回 结束,
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