空间向量的应用-求空间角与距离.ppt

利用向量求空间角,1,求两条异面直线所成的角,设,a,，,b,分别是两直线,l,1,，,l,2,的方向向量，则,0,a,，,b,2.,求直线与平面所成的角,设直线,l,的方向向量为,a,，平面,的法向量为,n,，直线,l,与平面,所成的角为,.,则,sin,.,|,cos,a,，,n,|,(2),设,n,1,、,n,2,是二面角,l,的两个角,、,的法向量，则向量,n,1,与,n,2,的夹角,(,或其补角,),就是二面角的平面角的大小,(,如图,(,b)(c,),所示,),科目一考试网,,/,科目一模拟考试,2016,科目四考试网,科目四驾驶员理论考试网,科目四考试,(3),两异面直线的距离的求法,若,CD,是异面直线,a,，,b,的公垂线段,(,其中,n,与,a,，,b,均垂直，,A,、,B,分别为两异面直线上的任意两点,),，,a,、,b,间的距离：,d,.,答案,D,2,(2009,江西，,9),如图，正四面体,ABCD,的顶点,A,，,B,，,C,分别在两两垂直的三条射线,Ox,，,Oy,，,Oz,上，则在下列命题中，,错误,的为,(,),A,O,ABC,是正三棱锥,B,直线,OB,平面,ACD,C,直线,AD,与,OB,所成的角是,45,D,二面角,D,OB,A,为,45,解析,将四面体嵌入正方体，易知,A,、,C,、,D,正确,答案,B,3,在四面体,ABCD,中，,EF,分别是,AC,、,BD,的中点，若,CD,2,AB,2,，,EF,AB,，则,EF,与,CD,所成的角等于,_,答案,30,(2011,惠州二模,),如图，平面,PAD,平面,ABCD,，,ABCD,为正方形，,PAD,90,，且,PA,AD,，,E,、,F,分别是线段,PA,、,CD,的中点,(1),求证：,PA,平面,ABCD,；,(2),求异面直线,EF,与,BD,所成角的余弦值,(1),证明,由于平面,PAD,平面,ABCD,，且平面,PAD,平面,ABCD,AD,，,而,PAD,90,即,PA,AD,，,PA,平面,PAD,由面面垂直的性质定理得：,PA,平面,ABCD,.2),解,解法一：,建立如图所示的空间直角坐标系,A,xyz,，,解法二：,取,BC,的中点,M,，连结,EM,、,FM,，则,FM,BD,，,EFM,(,或其补角,),就是异面直线,EF,与,BD,所成的角,设,PA,2,，则,AD,DC,CB,BA,2,，,答案,B,(2010,课标全国，,18),如图，已知四棱锥,P,ABCD,的底面为等腰梯形，,AB,CD,，,AC,BD,，垂足为,H,，,PH,是四棱锥的高，,E,为,AD,中点,(1),证明：,PE,BC,；,(2),若,APB,ADB,60,，求直线,PA,与平面,PEH,所成角的正弦值,解,以,H,为原点，,HA,，,HB,HP,分别为,x,，,y,，,z,轴，线段,HA,的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则,A,(1,0,0),，,B,(0,1,0),(1),设,C,(,m,0,0),，,P,(0,0,，,n,)(,m,0,，,n,0),，,如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,分别为,AA,1,、,AB,之中点，求,EF,和平面,ACC,1,A,1,所成角的大小,解,建立如图所示的空间直角坐标系，,设正方体棱长为,2,，则由,E,、,F,是,AA,1,、,AB,之中点，有,E,(2,0,1),，,F,(2,1,1),点评与警示,求二面角，可以有两种方法：一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两上向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为,n,1,和,n,2,，则二面角的大小等于,n,1,，,n,2,(,或,n,1,，,n,2,),(2011,广州一模,),如图，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，侧棱,AA,1,底面,ABC,，,AB,BC,，,D,为,AC,的中点，,A,1,A,AB,2.,(1),求证：,AB,1,平面,BC,1,D,；,(2),若四棱锥,B,AA,1,C,1,D,的体积为,3,，求二面角,C,BC,1,D,的正切值,(1),证明,连结B,1,C,，设,B,1,C,与,BC,1,相交于点,O,，连结,OD,四边形,BCC,1,B,1,是平行四边形,点,O,为,B,1,C,的中点,D,为,AC,的中点，,OD,为,AB,1,C,的中位线，,OD,AB,1,.,OD,平面,BC,1,D,，,AB,1,平面,BC,1,D,，,AB,1,平面,BC,1,D,.,分析,由平面,SAC,平面,ABC,，,SA,SC,，,BA,BC,，可知本题可以取,AC,中点,O,为坐标原点，分别以,OA,，,OB,，,OS,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系，用向量法求解,4,用向量方法求直线与平面所成的角一般是通过求直线的方向向量与平面法向量所成的角来求，求二面角的大小是通过求两个面的法向量所成的角来求,