留数及留数定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,用,Laurent,级数的展开式计算积分,根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得,步骤：,1.,分析,f(z),的解析性，确定解析环域；,2.,在包含积分路径,C,的解析环域里将函数展成,Laurent,级数,因此，我们可以根据求出系数,c,-1,的值来计算积分。,1,留数和留数定理,一,、,留数的定义和计算,二、留数定理,三,*,、函数在无穷远点的留数,2,设,为,的一个孤立奇点,;,.,的某去心邻域,包含,的任一条正向简单闭曲线,C.,一,、,留数的定义和计算,定义,在,的,留数,(,Residue,),为,3,内的,Laurent,级数,:,在,.,计算留数,4,0,(,高阶导数公式,),0,(,柯西积分定理,),5,即,在,为中心的圆环,的,留数,为,的系数。,在,注,域内的,Laurent,级数中负幂项,6,计算留数的一般公式,（,1,）若,z,0,为函数,f,(,z,),的可去奇点，则它在点,z,0,的留数为零,。,当,z,0,为,f,(,z,)=,g,(,z,-,z,0,),的孤立奇点时，若,g,(,),为偶函数，则,f,(,z,),在点,z,0,的去心邻域内,Laurent,级数只含,z,-,z,0,的偶次幂，其奇次幂系数都为,0,，从而得知,成,Laurent,级数求,(2),如果,为,的本性奇点,展开,则需将,7,规则,1,o,若,z,0,为,f,(,z,),的一阶极点，则有,(3),如果,为,的极点,则有如下计算规则,规则,2,o,若,z,0,为,f,(,z,),的,n,阶极点，则对任意整数,有,8,规则,3,如果,设,及,在,都解析，,那末,为,的一级极点,且有,9,为 的一级极点,的一级零点,为,的一级极点,，,为,证,10,典型例题,例,1,求,在,的留数（,n,为正整数）。,解,11,例,2,求,在,的留数,.,分析,是,的三级零点,由规则,2,得,计算较麻烦,.,12,如果利用,Laurent,展开式求系数,c,-1,较方便：,解,13,说明,:,如 为m,级极点，当,m,较大而导数又难以计算时,可直接展开,Laurent,级数求,c,-1,来计算留数。,2.,在,应用,规则,2,时,取得比实际的级数高,.,级数高能够使得计算方便,.,1.,在实际计算中应灵活运用计算规则,.,为了计算方便一般要将,m,因为有时把,m,取得比实际的,如上例取,14,例,3,求下列函数在指定点处的留数,(1),;,解,：是函数 的一级零点,又是函数 的五级零点,.,于是它是 的四级极点,可用规则 计算其留数,其中,n,=4,为了计算简便应当取其中,m,=5,这时有,15,另解,：在点 的去心邻域 内的,Laurent,级数为,例,3,求下列函数在指定点处的留数1),;,其中,n,=4,的项的系数为,c,-1,=1/4!,从而也有,16,(2),;,解,：在点 的去心邻域 内的,Laurent,级数为,显然 为它的本性奇点,其中 的项的系数为,于是得,17,注,留数定理将沿封闭曲线,C,积分转化为求,被积函数在,C,内各孤立奇点处的留数,.,留数定理,点,的一条正向简单闭曲线,奇点,z,1,z,2,z,n,外处处解析,函数,f,(,z,),在区域,D,内除,有限,个孤立,C,是,D,内包围诸奇,那末,二、留数定理,18,证明,首先在,C,的内部，环绕,f,(,z,),的每个奇点,z,k,作互,不相交且互不包含的正向小圆周,C,k,根据积分路径的复闭路定理得,由定义,1,，,所证等式成立。,19,例,1,计算积分,C,为正向圆周,:,解,被积函数 的奇点,（一级极点）,和 （二级极点）都在圆 的内部,并且,20,21,例,2,.,计算积分,解,：,在圆 的内部有一个二级极点 和两个一级极点,于是利用留数的计算规则 和 得,22,最后由留数定理得其积分值为,23,例,3,计算积分,C,为正向圆周,:,解,被积函数,有四个一级极点,都,在圆周,的内部,所以,由规则,3,24,例,4,计算积分,C,为正向圆周,:,解,除,被积函数,点外无其他奇点,，,在,圆外,。,25,所以,26,设,为,的一个孤立奇点,;,的某去心邻域,内的任一条正向简单闭曲线,C:,一,、,函数在无穷远点的留数及计算,定义,在,的,留数,(,Residue,),为,27,函数,f,(,z,),在扩充复平面上,只有,有限,个孤立,推广的留数定理,奇点，设为,，那末,28,定理,若,函数,f,(,z,),在,环域 内解析，则对包,含圆,|,z,|=,R,的任一条正向简单闭曲线,C,有,证明,：,设,f,(,z,),在所给环域 内的,Laurent,级数为,由,Laurent,级数展开定理，则有,29,定理,若,函数,f,(,z,),在,环域 内解析，则对包含圆,|,z,|=,R,的任一条正向简单闭曲线,C,有,作变换 ，在点 的去心邻域 内解析，且在该邻域内有,30,例,5,计算下列积分,其中积分闭路取正向,.,(1),解,：被积函数 在环域 内解析,它的,7,个,奇点都在圆周 的内部,用,定理,1,计算非常困难,可是该积分满足定理,2,的条件,利用,定理,2,得,31,例,5,计算下列积分,其中积分闭路取正向,.,(2),解：被积函数 在环域内 解析,其奇点为,其中,显然这些奇点有无穷多个,它们都在圆周 的内部,不能用定理,1,计算其积分值,;,可是该积分函数满足定理,2,条件,于是由定理,2,得,32,1,若,z,0,为函数,f,(,z,),的可去奇点（负幂项的项数为零个）,则它在点,z,0,的留数为零。,留数的计算,3,若,z,0,为,f,(,z,),的一级极点，则有,4,若,z,0,为,f,(,z,),的,m,级极点，则对任意整数 有,2,当,z,0,为,f,(,z,)=,g,(,z,-,z,0,),的,孤立奇点时，若 为偶函数，则,f,(,z,),在点,z,0,的留数为零。,0,),(,Re,0,=,z,z,f,s,33,5,设,f,(,z,)=,P,(,z,)/,Q,(,z,),，,其中,P,(,z,),和,Q,(,z,),在点,z,0,都解析。,若 ，,Q,(,z,0,)=0,且 ，则,z,0,为,f,(,z,),的,一级,极点，且有,6,由,Laurent,级数展开定理，留数等于,f,(,z,),在环域,内,Laurent,级数的负一次幂系数,c,-1,7,对于函数,f,(,z,),孤立奇点,z,0,和曲线,C,，由,f,(,z,),在点,z,0,处,留数,的定义，计算积分,其中闭路,C,取正向。,34,留数定理,定理,1,若,函数,f,(,z,),在,正向简单闭曲线,C,上处处解析，,在,C,的内部除有限个孤立奇点,z,1,z,2,z,n,外解析，则,有,定理,2,若,函数,f,(,z,),在,环域 内解析，则对,包含圆,|,z,|=,R,的任一条正向简单闭曲线,C,有,35,