直线的斜率与直线方程.ppt

第一节 直线的斜率与直线方程,完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作,“,半亩方塘,”,的工具。视角从,【,考纲点击,】,中切入，思维从,【,考点梳理,】,中拓展，智慧从,【,即时应用,】,中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！,三年,3,考 高考指数,:,1.,理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；,2.,掌握确定直线位置的几何要素；,3.,掌握直线方程的几种形式,(,点斜式、两点式及一般式等,),，了解斜截式与一次函数的关系,.,1.,直线的斜率、直线方程是高考的重点；,2.,本部分内容常与圆锥曲线综合命题，重点考查函数与方程思想和数形结合思想；,3.,多以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题目,.,1.,直线的倾斜角与斜率,(1),直线的倾斜角,一个前提：直线,l,与,x,轴,_,；,一个基准：取,_,作为基准；,两个方向：,x,轴正方向与直线,l,向上方向,.,当直线,l,与,x,轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为,_.,相交,x,轴,0,(2),直线的斜率,定义：若直线的倾斜角,不是,90,则斜率,k=_;,计算公式：若由,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),确定的直线不垂直于,x,轴，则,k=_.,tan,【,即时应用,】,(1),过点,M(-2,m),，,N(m,4),的直线的斜率为,1,，则,m,的值为,_,；,(2),直线 的倾斜角为,_.,【,解析,】,(1),由斜率公式得：，解得,m=1.,(2),的斜率,即倾斜角,的正切值,tan,=,又,0,，,=.,答案：,(1)1 (2),2.,直线方程的几种形式,斜率,k,与点,（,x,1,y,1,）,斜率,k,与直线在,y,轴上的截距,b,两点,（,x,1,y,1,）,，（,x,2,y,2,）,直线在,x,轴、,y,轴上的截距分别为,a,、,b,名称,条件,方程,适用范围,点斜式,斜截式,两点式,截距式,一般式,不含直线,x=x,1,不含垂直于,x,轴的直线,不含直线,x=x,1,（,x,1x,2,),和直线,y=y,1,(y,1,=y,2,),不含垂直于坐标轴和过原点的直线,平面直角坐标系内的直线都适用,y-y,1,=k(x-x,1,),y=,kx+b,Ax+By+C,=0,(A,2,+B,2,0),【,即时应用,】,(1),思考：过,A(x,1,y,1,),、,B(x,2,y,2,),两点的直线方程能否写成,(x,2,-,x,1,)(y-y,1,)=(y,2,-y,1,)(x-x,1,),？,提示：,能写成,(x,2,-x,1,)(y-y,1,)=(y,2,-y,1,)(x-x,1,).,当,x,1,x,2,且,y,1,y,2,时，直线方程为：可化为上式；,当,x,1,x2,，,y,1,=y,2,时，直线方程为：,y=y,1,也适合上式；,当,y,1,y,2,，,x,1,=x,2,时，直线方程为：,x=x,1,也适合上式；,综上可知：过,A(x,1,y,1,),、,B(x,2,y,2,),两点的直线方程能写成,(x,2,-x,1,),(y-y,1,)=(y,2,-y,1,)(x-x,1,).,(2),已知直线,l,经过点,P(-2,5),且斜率为 ，则直线,l,的方程为,_.,【,解析,】,由直线的点斜式方程得，直线,l,的方程为：,y-5=(x+2),，即,3x+4y-14=0.,答案：,3x+4y-14=0,(3),经过两点,M(1,-2),，,N(-34),的直线方程为,_.,【,解析,】,经过两点,M(1,-2),，,N(-3,4),的直线方程为,即,3x+2y+1=0.,答案：,3x+2y+1=0,例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归纳考向，紧扣高考重点。,【,方法点睛,】,推门只见窗前月：突出解题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；,“,经典例题,”,投石冲破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层推进，流畅自然，配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁通。题型与方法贯通，才能高考无忧！,直线的倾斜角与斜率,【,方法点睛,】,1.,斜率的求法,(1),定义法：若已知直线的倾斜角,或,的某种三角函数值,一,般根据,k=,tan,求斜率；,(2),公式法：若已知直线上两点,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),，一般根据,斜率公式 求斜率,.,2.,直线的斜率,k,与倾斜角,之间的关系,0,k,0,不存在,k,0,0,90,90,90,180,k,0,【,提醒,】,对于直线的倾斜角,，斜率,k=tan(90,),，若已知其一的范围可求另一个的范围,.,【,例,1】(1),已知两点,A(m,n,),，,B(n,m)(mn,),，则直线,AB,的倾斜,角是,_.,(2),已知点,A(2,-3),，,B(-3,-2),，直线,l,过点,P(1,1),且与线段,AB,有,交点，则直线,l,的斜率,k,的取值范围为3)(2012,西安模拟,),直线,y=tan,x+1(,),的倾,斜角的取值范围是,_.,【,解题指南,】,(1),先由公式法求出斜率，再求倾斜角；,(2),直线,l,的斜率的取值范围，可由直线,PA,、,PB,的斜率确定；也,可先写出直线,l,的方程，再由点,A,、,B,在直线,l,的异侧,(,或一点在,l,上,),求解,;(3),直线倾斜角与直线的斜率有关，可先求直线斜率,的取值范围，再求直线倾斜角的取值范围,.,【,规范解答,】,(1),因为,A(m,n,),，,B(n,m)(mn,),，所以直线,AB,的,斜率 所以直线的倾斜角为 ；,答案：,(2),方法一：因为,A(2,3),、,B(-3,-2),、,P(1,1),，,所以 如图所示：,因此，直线,l,斜率,k,的取值范围为,k-4,或,方法二：依题设知，直线,l,的方程为：,y-1=k(x-1),，即,kx-y+1-,k=0,若直线,l,与线段,AB,有交点，则,A,、,B,两点在直线,l,的异侧,(,或,A,、,B,之,一在,l,上,),故,(2k+4-k),(-3k+3-k)0,，,即,(k+4)(4k-3)0,解得：,k-4,或,k,答案：,k-4,或,k,(3),直线的斜率,k=,tan,设直线的倾斜角为,，,k,.,0,),.,答案：,【,互动探究,】,本例,(3),中,的取值范围改为,“,”,结果如何？,【,解析,】,由直线的倾斜角和斜率的关系知，,就是直线的倾斜角，直线的倾斜角的取值范围为 ,.,【,反思,感悟,】,1.,直线的斜率与倾斜角之间的关系是重要的解,题线索，如本例第,(3),题由直线斜率的取值范围可求出直线倾斜,角的取值范围，但一定要注意倾斜角的取值范围为,0,，,),；,2.,已知倾斜角的取值范围，求斜率的取值范围，实质上是求,k=,tan,的值域问题；已知斜率,k,的取值范围求倾斜角的取值范,围，实质上是在,0,，,)(,，,),上解关于正切函数的三角,不等式问题,.,由于函数,k=,tan,在,0,，,)(,，,),上不单,调，故一般借助函数图像来解决此类问题,.,【,变式备选,】,已知两点,A(-1,2),，,B(m,3),，且,求直线,AB,的倾斜角,的取值范围,.,【,解析,】,当直线,AB,的斜率不存在时，,m=-1,，此时倾斜角,为,当直线,AB,的斜率存在时，,m-1,，由题意知直线,AB,的斜率,又,直线,AB,的倾斜角,的取值范围为,综上所述，直线,AB,的倾斜角,的取值范围为,直线的方程及应用,【,方法点睛,】,直线方程综合问题的类型及解法,(1),与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的,x,、,y,的关系，将问题转化为关于,x(,或,y),的某函数，借助函数的性质解决；,(2),与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识,(,如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等,),来解决,.,【,例,2】,已知直线,l,过点,P(3,2),且与,x,轴、,y,轴的正半轴分别交于,A,、,B,两,点,如图所示,(1),若,ABO,的面积为,12,，求直线,l,的方程；,(2),求,ABO,的面积的最小值及此时直线,l,的方程,.,【,解题指南,】,先设出,AB,所在的直线方程，再求,A,、,B,两点的坐,标，,(1),根据,ABO,的面积为,12,列方程组求解；,(2),写出表示,ABO,的面积的表达式，最后利用相关的数学知识求出最值,.,【,规范解答,】,(1),方法一：设直线,l,的方程为,(a0,b0),A(a,0),B(0,b),解得,所求直线,l,的方程为 即,2x+3y-12=0.,方法二：设直线,l,的方程为,y-2=k(x-3),令,y=0,，得直线,l,在,x,轴的正半轴上的截距,a=3-,令,x=0,得直线,l,在,y,轴的正半轴上的截距,b=2-3k,(3-)(2-3k)=24,解得,k=-.,所求直线,l,的方程为,y-2=-(x-3),即,2x+3y-12=0.,(2),方法一：由题可设,A(a,0),B(0,b)(a,0,b,0),则直线,l,的,方程为,l,过点,P(3,2),且,a3,b2.,从而,故有,S,ABO,=,当且仅当,即a=6,时,(,S,ABO,),min,=12,此时,此时直线,l,的方程为,即,2x+3y-12=0.,方法二：由题可设直线方程为,(a,0,b,0),代入,P(3,2),得,得,ab24,从而,S,ABO,=ab12,当且仅当 时,等号成立,S,ABO,取最小值,12,，,此时,此时直线,l,的方程为,2x+3y-12=0.,方法三：依题意知,直线,l,的斜率存在,.,设直线,l,的方程为,y-2=k(x-3)(k,0),则有,A(3-,0),B(0,2-3k),S,ABO,=(2-3k)(3-),=12+(-9k)+,=,(12+12)=12,当且仅当 即 时,等号成立，,S,ABO,取最小值,12.,此时，直线,l,的方程为,2x+3y-12=0.,方法四：如图所示,过,P,分别作,x,轴,y,轴,的垂线,PM,PN,垂足分别为,M,N.,设,=PAM=BPN,显然,(0,),，,则,S,ABO,=S,PBN,+S,四边形,NPMO,+S,PMA,=,3,3,tan+6+,2,2,=,当且仅当,即,tan,=,时,S,ABO,取最小值,12,此时直线,l,的斜率为,-,其方程为,2x+3y-12=0.,【,反思,感悟,】,1.,此题是直线方程的综合应用，解题时，可灵活运用直线方程的各种形式，以便简化运算,.,2.,以直线为载体的面积、距离的最值问题，一般要结合函数、不等式的知识或利用对称性解决,.,【,变式训练,】,已知直线,l,:kx-y+1+2k=0(kR).,(1),证明：直线,l,过定点；,(2),若直线不经过第四象限，求,k,的取值范围,;,(3),若直线,l,交,x,轴负半轴于,A,交,y,轴正半轴于,B,AOB,的面积为,S(O,为坐标原点,),，求,S,的最小值并求此时直线,l,的方程,.,【,解析,】,(1),直线,l,的方程是：,k(x+2)+(1-y)=0,令 解得,无论,k,取何值，直线总经过定点,(-2,1).,(2),由方程知，当,k0,时直线在,x,轴上的截距为 在,y,轴上,的截距为,1+2k,，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得,k0;,当,k=0,时，直线为,y=1,，符合题意，故,k0.,(3),由,l,的方程，得,B(0,1+2k).,依题意得 解得,k0.,S=,|OA|,|OB|=,|,|1+2k|,(2,2+4)=4,“,=,”,成立的条件是,k0,且,4k=,即,k=,S,min,=4,此时,l,的方程为,:x-2y+4=0.,把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。,【,考题体验,】,让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。,【,创新探究,】,与直线方程有关的创新命题,【,典例,】(2011,安徽高考,),在平面直角坐标系中，如果,x,与,y,都是整数，就称点,(,x,y,),为整点，下列命题中正确的是,_(,写出所有正确命题的编号,).,存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点,如果,k,与,b,都是无理数，则直线,y=,kx+b,不经过任何整点,直线,l,经过无穷多个整点，当且仅当,l,经过两个不同的整点,直线,y=,kx+b,经过无穷多个整点的充分必要条件是：,k,与,b,都是有理数,存在恰经过一个整点的直线,【,解题指南,】,存在性问题，只需举出一种成立情况即可，恒成,立问题应根据推理论证后才能成立；注意数形结合，特例的取,得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形,.,【,规范解答,】,正确,.,例如 当,x,是整数时,y,是无理,数,(,x,y,),不是整点；不正确,如 过整点,(1,0),；,设,y=kx(k0),是过原点的直线，若此直线过两个整点,(x,1,y,1,),(x,2,y,2,),，则有,y,1,=kx,1,，,y,2,=kx,2,，两式相减得,y,1,-,y,2,=k(x,1,-x,2,),，则点,(x,1,-x,2,y,1,-y,2,),也在直线,y=,kx,上，通过这种,方法可以得到直线,l,经过无穷多个整点，通过上下平移,y=,kx,知,对于,y=,kx+b,也成立，所以正确；不正确,如 当,x,为,整数时,y,不是整数,此直线不经过无穷多个整点；正确,如直,线 只经过整点,(0,0).,答案：,【,阅卷人点拨,】,通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨和备考建议：,创,新,点,拨,本题有三处创新点：,(1),本题为新定义问题，题目的结构形式、设问方式都有创新；,(2),考查内容的创新，在考查直线的斜率、倾斜角、充要条件等知识的基础上，还考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维不同；,(3),考查方式的创新，对直线方程的考查，由常规方式转换为以整点为载体考查直线方程的确定方式,.,备,考,建,议,解决与直线方程有关的创新问题时，要注意以下几点：,(1),充分理解直线的倾斜角、斜率的意义；,(2),掌握确定直线的两个条件；,(3),注意数形结合的运用，在平时的学习和解题中，多思考一些题目的几何意义；,(4),注意逆向思维、发散思维的训练,.,1.(2012,黄山模拟,),直线,x-y+3=0,的倾斜角是,(),(A)(B)(C)(D),【,解析,】,选,C.,直线方程变形为,y=x+3,，,斜率,k=1,直线的倾斜角是,2.(2012,九江模拟,),三点,(1,，,1),，,(-1,，,0),及,(2,k),在同一条直线上，则,k,的值等于,_.,【,解析,】,方法一：由斜率相等得，,方法二：过点,(1,，,1),及,(-1,，,0),的直线方程为 即,由题意得,答案：,3.(2012,汉中模拟,),直线,ax+my-2a=0(m0),过点,(1,1),则该直线的倾斜角为,_.,【,解析,】,点,(1,1),在直线,ax+my-2a=0,上，,a+m-2a=0,，即,m=a,又直线的斜率,该直线的倾斜角为,.,答案：,4.(2012,铜陵模拟,),一条光线经点,A(1,，,2),处射向,x,轴上一点,B,，又从,B,反射到直线,l,：,x-y+3=0,上的一点,C,，后又从,C,点反射回,A,点，求直线,BC,的方程,_.,【,解析,】,由入射光线和反射光线的性质知，点,A(1,，,2),关于,x,轴及直线,l,x-y+3=0,的对称点都在直线,BC,上,.,点,A(1,，,2),关于,x,轴的对称点为,A(1,，,-2),，,关于直线,l,x-y+3=0,的对称点为,A(-1,4).,直线,BC,的方程为,即,3x+y-1=0.,答案：,3x+y-1=0,