1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,结束,第三章 微分中值定理与导数的应用习题课,洛必达法则,Rolle,定理,Lagrange,中值,定理,常用,的,泰勒公式,Cauchy,中值定理,Taylor,中值定理,单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数,图形的描绘;,曲率;求根方法.,导数的应用,一、主要内容,1、罗尔中值定理,2、拉格朗日中值定理,有限增量公式,.,3、柯西中值定理,推论,4、洛必达法则,定义,这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,关键:,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型
2、 .,注意：,洛必达法则的使用条件.,5、泰勒中值定理,常用函数的麦克劳林公式,6、导数的应用,定理,(1)函数单调性的判定法,定义,(2)函数的极值及其求法,定理(必要条件),定义,函数的极大值与极小值统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,极值是函数的局部性概念:,极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为,临界点,.,定理(第一充分条件),定理(第二充分条件),求极值的步骤:,（1）求出导数 ；,（2）求出 的全部驻点与不可导点；,（3）考察 的符号在每个驻点或不可导点,的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；,如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极
3、小,值点；,（4）求出各极值点的函数值，就得到函数,的全部极值,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),(3)最大值、最小值问题,实际问题求最值应注意:,1)建立目标函数;,2)求最值;,(4)曲线的凹凸与拐点,定义,定理1,方法,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,(5)函数图形的描绘,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;,第五步,二、典型例题,例1,证,由零点定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾
4、满足下述等式,证明方程,在,(0,1),内,至少有一个实根,.,证,:,令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,例,2,设实数,例,3,解,例,4,解,例,5,解,例,6,解,例,7,解,例,8,求,例,9,解,例,1,0,解,单调区间为,例,1,1,证,例,12,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例,1,3,解,列表讨论,极大值,极小值,例,1,4,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高.,最大收入为,例,1,5,解,如图,解得,
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