两圆的公切线3.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Company Logo,*,单击此处编辑母版标题样式,两圆的公切线,1.掌握两圆内、外公切线的概念及公切线长的意义。,2.掌握求两圆外公切线长的方法。,1生活、生产中的两圆公切线,两圆同时和一条直线相切，这样的实例，在生活和生产中到处可见，如,自行车，链盘，飞轮与链条，火车的两轮子与铁轨，滑轮与铁链等。,尤其是机器上的传动带和主动轮、从动轮之间的位置关系更给人以一条直线和两个圆同时相切的形象。,和两个圆同时相切的直线我们称之为两圆的公切线。,2内、外公切线概念：,和两个圆都相切的直线，叫做,两圆的公切线,，两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做,外公切线,，两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做,内公切线,，公切线上两个切点的距离叫做,公切线的长,。,O,1,O,2,B,D,C,A,(1),O,1,O,2,B,D,C,A,(2),如图(1)，直线,AB、CD,分别切,O,1,、O,2,于,A、B、C、D,四点，,AB、CD,都是,O,1,和,O,2,的,外公切线,，线段,AB、CD,的长就是,外公切线的长,。图(2)中的,AB、CD,分别与,O,1,和,O,2,相切于,A、B、C、D,四点，直线,AB、CD,都是,O,1,和,O,2,的,内公切线,，线段,AB、CD,的长就是,内公切线的长,。,3外公切线长的计算：,设有,O,1,和,O,2,其半径分别为,r,和,R，AB,是,O,1,和,O,2,的外公切线、切点分别为,A、B。,怎样求公切线,AB,的长呢？,O,2,O,1,B,A,(1)若,O,1,和,O,2,外离，则连结,O,1,A,O,2,B,和,O,1,O,2,(2)特别，当,O,1,与,O,2,外切时，因,O,1,O,2,Rr,由此可知，只要知道两圆连心线的长及两圆半径，便可求出公切线,AB,的长。,r,C,O,2,O,1,B,A,R,公切线,AB ,得直角梯形,O,1,ABO,2,，,过,O,1,作,O,1,C O,2,B,于,C,点，得矩形,ABCO,1,，,在,RtO,1,O,2,C,中，O,1,CAB，O,2,CRr,O,1,C ,O,1,C,2,O,1,O,2,2,O,2,C,2,AB,切两圆于点,A、B O,1,AAB，O,2,BAB,例1、已知：,O,1,、O,2,的半径分别为2,cm,和7,cm，,圆心距,O,1,O,2,=13cm，AB,是,O,1,、O,2,的外公切线，切点分别是,A、B,求：公切线的长,AB,解：连结,O,1,A、O,2,B，,则,O,1,AAB，O,2,BAB,过,O,1,作,O,1,CO,2,B，,垂足为,C，,则四边形,O,1,ABC,为矩形，,于是有,O,1,CC O,2,，O,1,C=AB，O,1,A=CB,在,RtO,2,CO,1,和,O,1,O,2,=13，O,2,C=O,2,B-O,1,A=5,AB=O,1,C=(cm),反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法,O,1,O,2,A,B,C,R,r,4范例解析：,例1,如图(4)，,O,1,与,O,2,外切于,P，,一条公切线为,AB，A、B,为切点，设两圆的半径为,r,1,r,2,(r,2,r,1,)，,求证：,AB,2,4r,1,r,2,.,分析：,欲证,AB,2,4r,1,r,2,，,须将,AB,以及两圆的半径,r,1,r,2,转化到同一直角三角形中来，连结,O,1,A，O,2,B，,作,O,1,CO,2,B，,通过解直角三角形,O,1,O,2,C，,即可获证。,O,2,O,1,B,A,P,证明：,又,O,1,与,O,2,外切于点,PO,1,O,2,r,1,r,2,AB,切两圆于点,A、B O,1,AAB，O,2,BAB,ABCO,1,为矩形,BCAO,1,，ABO,1,C,O,2,Cr,2,r,1,在,RtO,1,O,2,C,中,O,1,C,2,O,1,O,2,2,O,2,C,2,(r,1,r,2,),2,(r,2,r,1,),2,4r,1,r,2,AB,2,4r,1,r,2,连结,O,1,A、O,2,B，,作,O,1,CO,2,B,于,C,O,2,O,1,B,A,P,C,例2,如图(5)，已知：,C,为线段,AB,上一点，在,AB,同侧，分别以,AB、BC、AC,为直径作圆,O、O,2,、O,1,，,过,C,点作,CDAB,交,O,于,D，EF,分别切,O,1,和,O,2,于,E、F,点，,分析：,O,1,O,O,2,A,B,C,D,E,F,求证：,EFCD .,则,ADB,为直角三角形，,又,DCAB，,可得,CD,2,ACCB，,故只须证,EF2ACCB，,EF,是,O,1,和,O,2,的外公切线，,这就使人联想到处理外公切线求法的常用方法将其构置在一个直角三角形中，然后用勾股定理解之。,连结,AD、BD，,证明：,AB,为,O,直径,ADB90,CDAB,于,CACDDCB,CD,2,ACCB4rR,连结,EO,1,，FO,2,，,过,O,1,作,O,1,PEF,交,FO,2,于点,P。,EF,切,O,1,和,O,2,于,E、F,O,1,EEF，O,2,FEF，O,1,PO,2,F，EFO,1,P,在,RtO,1,O,2,P,中，,O,1,P,2,(rR),2,(Rr),2,4rR,O,1,P,2,CD,2,O,1,PEFCD,连结,AD、BD，,设,O,1,和,O,2,的半径分别为,r、R,O,1,O,O,2,A,B,C,D,E,F,P,通过本讲的学习，必须掌握好下列知识和技能：两圆的公切线及公切线长的概念：,(1),和两圆相切的直线，叫做,两圆的公切线,，两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做,外公切线,，两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做,内公切线,。,(2),公切线上两个切点的距离叫做,公切线的长,。,O,2,O,1,P,M,N,O,2,O,1,P,M,N,7(1),7(2),两圆公切线的性质：,(1),首先两圆的公切线是圆的切线，因此具有圆的切线的性质、例如公切线垂直过切点的半径，当两圆内切时，内公切线垂直于连心线，如图7(1)。当两圆内切时，外公切线垂直于连心线，如图7(2)。,(2),两圆如果有两条外公切线或两条内公切线时，则：由圆的对称性易知：两条外公切线的长相等；两条内公切线的长相等。两条外(内)公切线如果相交，那么由轴对称的性质易知，交点一定在连心线上，并且进一步可以由切线定理推知，两圆连心线平分两条外(内)公切线的夹角，如图8(1)中，,APO,1,CPO,1,，,如图8(2)中，,FQO,2,HQO,2,。,A,B,C,D,P,O,1,O,2,O,1,O,2,E,F,G,H,Q,证明：设两圆的两条外公切线,AB,和,CD,相交于,P,点。切线,AB,、,CD,和圆,O,1,的切点为,A,、,C,，,和圆,O,2,的切点为,B,、,D,。,连接,O,1,A,、,O,1,C,、,O,1,P.,O,1,AAP,，,O,1,CCP,，且,O,1,A,O,1,C,O,1,P,为,APC,的角平分线。,同理，连接,O,2,B,、,O,2,D,、,O,2,P,。,O,2,BAP,O,2,DCP,且,O,2,B,O,2,D.,O,2,PAPC,的角平分线。,两圆外公切线的交点在连心线上；,O,1,、,O,2,、,P,三点共线。,O,1,O,2,图形,两圆位置关系,外公切线条数,内公切线条数,公切线条数,外离,外切,相交,内切,内含,2,2,2,1,0,2,1,0,0,0,4,3,2,1,0,O,1,O,2,O,1,O,2,O,1,O,2,O,1,O,2,O,1,O,2,不同位置关系的两圆，公切线的位置及条数如下表所示：,外公切线长的计算：,如果已知两圆的半径,R、r,和圆心距,O,1,O,2,d（,如图(9)）要求外切线的长，则常将公切线作平行移动，也就是过其中小圆的圆心作公切线的平行线。设法与两圆连心线构成一个直角三角形、然后运用直角三角形性质进行计算或论证，这是解决有关两圆公切线问题的基本思路和方法之一，如图(9)，作,O,1,CAB,交,O,2,B,于,C，,构成,RtO,1,O,2,C,，,则,O,2,CRr，,r,C,O,2,O,1,B,A,R,同理可得，两圆内公切线长公式为,O,1,O,2,E,F,G,H,Q,4,已知两圆的半径为3和4，这两圆的圆心距长是方程,x,2,8x200,的 一个根，则这两个圆的公切线条数是,_,。,5,如图(6)，,O,1,和,O,2,的半径分别为5厘米、2厘米，圆心距为6厘米，,AB、CD为外公切线，,A、B、C、D,为切点，求两圆外公切线的长和两圆中以切点为端点的弦长。,1,若两圆半径分别为,R，r，,外公切线的长为,Rr，,那么这两个圆的位置关系是()：,A,相交,B,外切,C,外离,D,外切或外离,3,两圆的直径分别为18,cm,和8,cm，,它们的外公切线长为12,cm，,则两圆的位置关系是,_,。,A,B,O,1,O,2,C,D,课堂练习,D,D,外切,4,6,如果两圆半径的差是3，一条外公切线的长为4，则两圆的圆心距是,_,。,A,点在圆内,B,点在圆上,C,点在圆外,D,关系不确定,7,两圆外离、圆心距为5，大圆半径为2.5，小圆半径为1.5，则外公切 线长为,8,O,1,与,O,2,外切于点,A，BC,为,O,1,与,O,2,的外公切线，,B、C,为切点，则点,A,与以,BC,为直径的圆的位置关系是()：,O,2,O,1,B,A,C,5,B,9,若两圆外切于,P,点，,AB、CD,是两圆的外公切线，,A、B、C、D,是切点，过,P,点的公切线分别交,AB、CD,于,E、F,点，则可能是：,ABCDCDEFAD,与,BC,相交于,P,点。,以上结论正确的是()：,A,只有和,B,只有和,C,只有和,D、,和,10,判断正误（正确的打，错误的打）,(1)相切的两个圆必有三条公切线。(),(2)若两个圆相切，则过切点的公切线只有一条。(),(3)两个圆的内公切线长等于外公切线长。(),(4)两个圆的每条外公切线长永远小于圆心距。(),A,参考答案：,1,解：设两圆连心线长为,D，,则,D,2,(Rr),2,(Rr),2,DR+r,两圆外切时,DR+r,选,D。,2,解：由外公切线长的求法可知，,选,D。,O,2,O,1,F,O,1,O,2,O,1,6,解：设两圆的圆心距是,d，,则,d 5,7,解：外公切线长 ,8,解：如下图，连结,AB、AC BC,切,O,1,和,O,2,于,B、C,两点 1 ,O,1,，2 O,2,，,且,O,1,BO,2,C 12 (O,1,O,2,)18090A,点在以,BC,为直径的圆上，选,B。,9,解：由切线长定理知,FCFP，FPFD CD2FP,由圆的对称性知,FPPE EF2FPEFCD,又显然,ABCD,故选,A。,10,(1)(2)(3)(4),1,如图(10)，,O,1,与,O,2,相交于,A、B,两点，,CD,是,O,1,与,O,2,的外公切线，切点分别为,C、D，,且,CBD135，,求,CAD,的度数。,课外作业,2,如图，两圆外切于,C，,外公切线,AB,分别与,O，O,相切于,A、B，,连接,AC,交延长交,O,于,D，,如果,AC:CD1:3，,求,ABC,的度数。,3,如图，,O,1,与,O,2,内切于,P,点，,O,2,的弦,AB,切,O,1,于点,C，,连结,PA、PB，PC,的延长线交,O,2,于点,D。,求证：(1),APCBPC，(2)PC,2,ACBCPAPB。,首先过点,P,作两圆公切线,MN,，连接,EC,，,AD,，由弦切角定理，可得,MPA=PCE=D,，则可证得,ECAD,，可得,ACE=CAD,由圆周角定理与弦切角定理，证得,APC=BPC,；,易证得,PBCPDA,，由相似三角形的对应边成比例，可得,PBPA=PCPD=PC,（,PC+CD,）,=PC2+PCCD,，又由相交弦定理，证得,PCPD=ACBC,，则可证得结论,