1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多元函数微积分,多元函数的极限与连续,多元函数微分学,隐函数定理及其应用,含参量积分,曲线积分,重积分,曲面积分,第,16,章 多元函数的极限与连续,1,平面点集与多元函数,（,了解平面点集的有关概念、平面上的完备性定理、多元函数的概念,）,一、平面点集,坐标平面,平面点集,E=(,x,y)|(x,y,),满足的条件,邻域,U(A,)=(x,y)|(x-x,0,),2,+(y-y,0,),2,2,U(A,)=(x,y)|x-x,0,|,|y-y,0,|,空心邻域,U,0,(A,)=(x,y)|0(x-x,0
2、),2,+(y-y,0,),2,2,U(A,)=(x,y)|x-x,0,|,|y-y,0,|,累次极限存在,?,重极限存在,=,次极限存在且相等,?,作业,：,P99:1(5)(7),2(4)(5),小结：,1,、掌握二元函数极限和累次极限的概念；,2,、了解有关定理和推论；,3,、掌握重极限和累次极限的求法（含不存在）。,3,二,元函数,的连续性,一、,二元函数的连续性概念,定义,设,为,定义在,(,它或者是,的聚点，或者是,的孤立点,).,对于,上的二元函数，,只要,时，,就,有,则称,关于集合,连续,.,在点,在点,简称,连续,.,若,在,上任何点关于集合,连续,则称,为,连续函数,.
3、上的,若,为,的孤立点，,则,必为,关于,的连续点。,若,的聚点，则,关于,为,在,连续等价于,特别地,当左边极限存在但不等于,的,可去间断点,.,时，,为,一般地,当,的连续性,.,若上式不成立,(,其含义与一元函数的对应,为,情形相同,),，则称,为,的,不连续点,(,或,间断点,).,的聚点时，就用上式判断在该点的,如上节例,1,给出的函数在原点连续；事实上，,注,：若一元函数在某点连续，将它看作二元函数，则在相应点仍连续。,类似地，例,2,给出的函数也在原点连续（,P94,）。,例,3,、,4,给出的函数在原点不连续。,若把例,3,给出的函数改为,则它沿直线 在原点连续。,设,则称,
4、为,在点,的,全增量,。,可用增量形式描述,关于,在,的连续性：,若在全增量中取,或,则相应的函数增量称为,偏增量,，记为,注意：偏增量的和不一定等于全增量。,容易证明：若二元函数在某内点连续，则对单个自变量都在该点连续。但是反过来，二元函数在某内点对单个自变量都连续，并不能保证该函数的连续性。例如，,若,的一元函数在,时,则表示当,作为,连续。,同理,若,则表示,在,连续。,定理,16.7,(,复合函数的连续性定理,),设,函数,在,的某邻域内有定义，,平面上点,则复合函数,和,连续；函数,并在点,在,平面上点,的某邻域内有定义,并在点,连续,其中,也连续。,在点,若二元函数在一点连续，则与
5、一元函数一样，可以证明它在这点近旁具有局部有界性、局部保号性以及有理运算的各个法则。下面仅证明二元复合函数的连续性定理,.,练习,:,说明下列函数的连续性,二,、,有界闭域上连续函数的性质,本段讨论有界闭域上多元连续函数的性质。它们可以看作是闭区间上一元连续函数性质的推广。,定理,16.8,(,有界性与最大、最小值定理,),若函数,上连续，则,有界闭域,最大值与最小值。,在,在,上有界，且能取得,定理,16.9,(,一致连续性定理,),若函数,上连续，则,在有界闭域,在,上一致连续。即对,只要,就,有,实际上，定理,16.8,与,16.9,中的有界闭域可改为有界闭集,(,证明过程无原则性变化,
6、),。定理,16.10,中的有界闭域,(,它保证连通性,),不可改为有界闭集,(,开集、闭集不一定具有连通性,),。此外，定理,16.10,中的连续函数的值域必定是一个区间。,的实数,定理,16.10,(,介值定理,),设函数,上连续，若,在有界闭域,为,中任意两点，且,则对任何满足不等式,使得,必存在点,2,、考察下列函数的连续性：,作业,:,P105:1(1)(3)(5),3.,那么它在,练习,：,1,、,若函数,上具有哪些性质？,小结：,1,、掌握二元函数的连续性概念,；,2,、了解有界闭域上连续函数的性质。,“,Ch16,二,元函数,的连续性与极限,”,习题课,一、,基本内容和要求,1,、了解平面点集的有关概念，了解平面上的完备 性定理，了解多元函数的概念。,2,、理解二元函数的极限和累次极限的概念，并会计算，知道它们之间的联系。,3,、了解二元函数的连续性概念和有界闭域上连续函数的性质。,二、作业问题,P92,3,5.,P99,1(5)(7),，,2(4).,P104,1(3).,三、练习题,8*,、试用有限覆盖定理证明有界闭域上二元连续函数必定一致连续。（一致连续性定理）,四、横线以下的习题,P93,，,9,，,10.,P100,，,7.,P105,，,6,，,7.,
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