概率论与数理统计第4章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 随机变量的数字特征,数学期望,方差,协方差和相关系数,大数定理与,中心极限定理,4.1,数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,例,1,甲、乙两射手进行射击训练，已知在,100,次射击中命中环数与次数记录如下：,环数,8,9,10,次数,30,10,60,环数,8,9,10,次数,20,50,30,甲,乙,试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？,甲平均射中的环数为：,乙平均射中的环数为：,(8,30+910+1060)100=80.3+90.1+100.6=9.3(,环,),(8,20+950+1030)100=80.2+90.5+100.3=9.1(,环,),因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。,在例,1,中，,30/100=0.3,、,60/100=0.6,、,50/100=0.5,等，是事件,(,X=k,),在,100,次试验中发生的频率,(,X,为命中的环数,),，当射击次数相当大时，这个频率接近于事件,(,X=k,),在一次试验中发生的概率,p,k,。,上述平均环数的计算可表示为,我们称之为随机变量,X,的数学期望，或均值。,数学期望,描述随机变量取值的平均特征,定义,4.1,设,X,是离散型随机变量，其分布律为,X,P,(,X,=,x,i,)=,p,i,i,=1,2,n,，,如果级数,绝对收敛，,并称级数,的和为随机变量,X,的,数学期望,，记作,则称,X,的数学期望存在，,E,(,X,),，,即,则称随机变量,X,的数学期望不存在。,注意：随机变量,X,的数学期望,E,(,X,),完全是由,X,的分布律确定的，而不应受,X,的可能取值的排列次序的影响，因此要求级数,绝对收敛。若级数,不绝对收敛,例,2,掷一颗均匀的骰子，以,X,表示掷得的点数，求,X,的数学期望。,解,X,的分布律为,X,1,2,3,4,5,6,P,k,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,例,3,某种产品的每件表面上的疵点数服从参数 的泊松分布,若规定疵点数不超过,1,个为一等品,价值,10,元,;,疵点数大于,1,个不多于,4,个为二等品,价值,8,元,;,疵点数超过,4,个为废品,.,求,:(1),产品的废品率,;,(2),产品价值的平均值,.,解 设,X,代表每件产品上的疵点数,(1),因为,所以产品的废品率为,0.001412,.,(2),设,Y,代表产品的价值,那么,Y,的概率分布为,Y,10 8 0,p,i,P,X,1,P,1,4,例,4,设,X,取,(,k,=1,2,),对应的概率为,，证明,E,(,X,),不存在。,证明,且,但,级数,发散,所以,E,(,X,),不存在，但级数,(,交错级数满足,Leibniz,条件,)(,收敛,),要注意数学期望的条件：绝对收敛”。,定义,4.2,设,X,是连续型随机变量，概率密度函数为,f,(,x,),二、连续型随机变量的数学期望,若积分,绝对收敛，则称,X,的数学期望存在，,且称积分,为随机变量,X,的,数学期望,，记为,E,(,X,),即,数学期望简称,期望,或,均值,。,例,5,设随机变量,X,的分布密度函数为,求,E,(,X,).,解,:,由定义,有,三、随机变量函数的数学期望,定理,1,设,X,是一个随机变量,Y=g,(,X,)(,g,(,),连,续函数,),(2),设,X,为,连续型随机变量，其概率密度为,f,(,x,),，,若积分 绝对收敛,则,Y,的数学期望存在，且,此定理说明，在求随机变量,X,的函数,Y=g,(,X,),的期望时，不必知道,Y,的分布而只需知道,X,的分布即可。,(1),设,X,为离散型随机变量，其分布律为,若级数 绝对收敛，则,Y,的数学期望存在，且,定理,2,设,(,X,Y,),是二维随机变量，,Z,=,g,(,X,Y,),，,g,(,),是连续函数。,(1),设,(,X,Y,),是离散型随机变量，分布律为,P,(,X=,x,i,Y=,y,j,)=,p,ij,，,i,j,=1,2,则当,绝对收敛时，,Z,的数学期望存在，且,(2),设,(,X,Y,),是连续型随机变量，概率密度为,f,(,x,y,),，,则当,绝对收敛时，,Z,的数学期望存在，,且,例,6,设,(,X,Y,),的联合概率分布为,:,Y,X,0,1,2,3,1,3,0,1/8,3/8,0,3/8,0,0,1/8,求,E,(,X,),E,(,Y,),E,(,XY,).,解,:,X,和,Y,的边缘分布为,X,1 3,p,i,3/4 1/4,Y,0 1 2 3,p,i,1/8 3/8 3/8 1/8,于是,例,7,设二维随机变量,(,X,Y,),具有概率密度,设,Z,=,XY,，,试求,Z,的数学期望。,解,O,1,x,y,1,y=x,例,8,设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量,X,(,单位吨,),，它服从,2000,4000,上的均匀分布。若售出这种商品,1,吨，可赚,3,万元，但若销售不出去，则每吨需付仓储费,1,万元，问该商品应出口多少吨才可使平均收益最大？,解 由题意可知,X,的密度函数为,设每年出口该商品,y,吨，,(2000,y,4000),，,则收益,可知,y,=3500,时，,E,(,Y,),取到最大值，故出口,3500,吨此商品才可使平均收益最大。,1,、设,C,是常数，则,E,(,C,)=,C,;,2,、设,C,是常数，,X,为随机变量，则,E,(,CX,)=,CE,(,X,);,证 设,X,的密度函数为,f,(,x,),，,则,四,.,数学期望的性质,3,、设,X,Y,为任意两个随机变量，则有,E,(,X+Y,)=,E,(,X,)+E,(,Y,);,证 设,(,X,Y,),f,(,x,y,),，,边缘密度函数为,f,X,(,x,),，,f,Y,(,y,),推广：,X,i,为,随机变量，,C,i,为,常数，,i,=1,2,n,E,(,C,1,X,1,+C,2,X,2,+,+,C,n,X,n,)=,C,1,E,(,X,1,)+,C,2,E,(,X,2,)+,C,n,E,(,X,n,),4,、若,X,Y,是,相互独立,的随机变量，则,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,),。,证 设,(,X,Y,),f,(,x,y,),，,由,X,Y,相互独立，得,f,(,x,y,)=,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),推广：,X,1,X,2,X,n,相互独立，则,E(,X,1,X,2,X,n,)=,E,(,X,1,),E,(,X,2,),E,(,X,n,),注,:,由,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,),不一定能推出,X,Y,独立,.,例如，在,例,6,中，已计算得,故,X,与,Y,不独立,显然,但,例,9,一民航机场的送客车载有,20,名乘客从机场开出，旅客有,10,个车站可以下车，如到达一个站无旅客下车就不停车，假设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一个站下车相互独立。以,X,表示停车次数，求平均停车次数,E,(,X,),。,解,X,的可能取值为,1,2,10,，又设,则,X=X1,+X,2,+,+,X,10,按题意，对一位旅客而言，他在第,i,站下车的概率是,1/10,，在第,i,站不下车的概率是,9/10,。由于在各站旅客下车与否相互独立，故第,i,站无人下车的概率为,(9/10),20,，从而第,i,站有人下车的概率为,1,-,(9/10),20,，,X,i,的分布律为：,X,i,1,0,P,1,-,(9/10),20,(9/10),20,E,(,X,i,)=1,1,-,(9/10),20,+0,(9/10),20,=1,-,(9/10),20,E,(,X,),=E,(,X,1,+X,2,+,+,X,10,)=,E,(,X,1,)+,E,(,X,2,)+,E,X,10,),=10,1,-,(9/10),20,=8.784,例,10,设某种疾病的发病率为,1%,，在,1000,个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每,100,个人一组，把从,100,个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过；如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数。,解 设,X,j,为第,j,组的化验次数，,j,=1,2,10,，,X,为,1000,人的化验次数，则,X,j,的,可能取值为,1,，,101,，且,X,j,1,101,P,j,(99%),100,1-(99%),100,练习：,1,、设随机变量,X,的分布律为,X,-20 2,p,i,0.4 0.3 0.3,求,E,(,X,),E,(,X,2,),E,(3,X,2,+,5),2,、设连续型随机变量,X,的概率密度为,求,Y,=2,X,的数学期望,.,练习,1,、,长途汽车起点站于每时的,10,分、,25,分、,55,分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间。,解 设乘客于某时,X,分到达车站,候车时间为,Y,则,=10分25秒,2,、设,X,服从,N,(0,，,1),分布，求,E,(,X,2,),E,(,X,3,),E,(,X,4,),补充例题,1:,从一个装有,m,个白球和,n,个红球的袋中取球，直到取到白球为止若每次取出的球仍放回袋中，试求取出红球的数学期望。,解 设取出的红球数为,X,，则,X,的分布律为,k,=0,1,2,其中,2.,设随机变量,X,服从,(,-,x,0,的指数分布，其概率密度为,(1),若将,5,个元件组成一个串联系统，求该系统的平均寿命；,(2),若将,5,个元件组成一个并联系统，求该系统的平均寿命；,解,(1),设,X,k,表示第,k,个元件的寿命，,k,=1,2,3,4,5,，则,X,1,X,2,X,3,X,4,X,5,相互独立，且,X,k,f,(,x,),，,同分布。,记,Y,为串联系统的寿命，则,Y,=min(,X,1,X,2,X,3,X,4,X,5,),，,分布函数为,密度函数为,所以数学期望为,(2),记,Z,为并联系统的寿命，则,Z,=max(,X,1,X,2,X,3,X,4,X,5,),，,Z,的分布函数为,密度函数为,所以数学期望为,从本例可知：同样,5,个组件，并联系统的平均寿命是串联系统的平均寿命,11.4,倍。,4.2,方 差,例如,甲乙两部机床生产同一种机轴，轴的直径为,10mm,，,公差为,0.2mm,，,即直径在,9.8mm,到,10.2mm,的为合格品，超出范围的均为废品。现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取,6,件进行测试，机轴的直径的测试尺寸如下：,(mm),甲,9.89.910.0,10.0,10.110.2,乙,9.09.29.410.610.811.0,易知，甲乙两组产品的直径的均值都为,10.0mm,，,但两组的质量显然差异很大，甲组全为合格品，乙组全为废品。这里光看均值无差别，质量的差异的原因在于两组产品关于均值的偏离程度不同。甲组偏离程度小，质量较稳定，乙组的偏离程度大，质量不稳定。,随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价,而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标,.,定义,1,设,X,是随机变量，若,E,X,-,E,(,X,),2,存在，则称它为随机变量,X,的方差，记为,方差的算术平方根 称为,标准差或均方差。,它与,X,具有相同的度量单位,在实际应用中经常使用,.,一方差的定义,D,(,X,)=,E,X-E,(,X,),2,从方差的定义易见,:,(1),若,X,的取值比较集中,则方差较小,;,(2),若,X,的取值比较分散,则方差较大,;,(3),若方差,D,(,X,)=0,则随机变量,X,以概率,1,取常数值,此时,X,也就不是随机变量了,.,注,:,方差刻划了随机变量,X,的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性,.,由方差的定义可知，,D,(,X,),0,。当,X,为,离散型,随机变量时，且分布律为,P,X=x,k,=,p,k,，则,当,X,为,连续型,随机变量时，且密度函数为,f,(,x,),，,则,在实际计算中，通常使用如下,简化公式,即方差是“随机变量平方的期望减去随机变量期望的平方”。,二、方差的计算,例,1,已知随机变量,X,的分布律如下，求,D,(,X,),。,X,-2,-1,0,1,2,P,k,1/16,2/16,3/16,2/16,8/16,解,例,2,设随机变量,求,D,(,X,),解,例,3,设随机变量,X,的,数学期望为,E,(,X,),方差为,D,(,X,)0,记 则,E,(,X,*,)=0,D,(,X,*,)=1.,即 的数学期望为,0,方差为,1.,X,*,称为,X,的标准,化变量,.,即“随机变量与期望之差除以均方差”,证,:,三、方差的性质,1,、设,C,是常数，则,D,(,C,)0,，且,D,(,X+C,)=,D,(,X,);,2,、设,C,是常数，,X,为随机变量，则,D,(,CX,)=,C,2,D,(,X,);,证,3,、设,X,Y,为任意两个随机变量，则,特别地,若,X,Y,相互独立,则,注,:,对,n,维情形,有,:,若,X,1,X,2,X,n,相互独立,则,证明 由方差定义可得,由于,2,E,X-E,(,X,),Y-E,(,Y,)=2,E,XY-XE,(,Y,),-YE,(,X,)+,E,(,X,),E,(,Y,),=2,E,(,XY,),-E,(,X,),E,(,Y,),-E,(,Y,),E,(,X,)+,E,(,X,),E,(,Y,),=2,E,(,XY,),-E,(,X,),E,(,Y,),若,X,Y,相互独立,则有,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,),故,例,4,设 证明当,x,=,E,(,X,),时达到最小值,.,注：,本例子说明了数学期望,E,(,X,),是随机变量,X,取值的集中位置,反映了,X,的平均值,.,证明 由,两边对,x,求导数,有,显然,当,x=E,(,X,),时,又因,所以当,x=E,(,X,),时,f,(,x,),达到最小值,最小值为,四、几个重要分布的数学期望和方差,1,、,01,分布,设随机变量,X,具有,0-1,分布,其分布律为,P,X=,0,=,1-,p=q,P,X,=1=,p,E,(,X,)=1,p,+0(1-,p,)=,p,，,E,(,X,2,)=1,2,p,+0,2,(1-,p,)=,p,则,故,D,(,X,),=E,(,X,2,),-,E,(,X,),2,=p-p,2,=p(1-p)=pq,在计算时，若将,X,表示成若干个相互独立的,01,分布变量之和，计算就极为简便。,在,n,重,Bernoulli,试验中，设,X,表示事件,A,发生的次数,X,i,表示,A,在第,i,次试验中出现的次数,即,则,XB,(,n,p,),2,、,二项分布,XB,(,n,p,),3,、,Poisson,分布,4,、,均匀分布,设,XU,a,b,5,、,指数分布,设随机变量,X,服从指数分布,其概率密度为,则,6,、,正态分布,下面先求标准正态变量,Z,的数学期望与方差,Z,的概率密度为,N,(,2,),中两个参数,和,2,，,分别是正态分布中的数学期望和均方差。,因,即得,2.,设随机变量,X,的概率分布律为,试求,Y=-X+1,及,Z=X,2,的期望与方差,.,2,、,二项分布,XB,(,n,p,),分布律为,P,(,X=k,)=,C,n,k,p,k,q,n,-,k,，,(,p+q,=1),，,k,=0,1,2,n,其中,随机变量函数的数学期望,7,、,几何分布,练习,1,、,设随机变量,X,N,(0,1),，,Y,U,(0,1),，,Z,B,(5,0.5),且,X,，,Y,，Z,独立，,求随机变量,U,=(2,X,+3,Y,)(4,Z,-1),的数学期望,2,、,设随机变量,X,1,X,2,X,n,相互独立，且均服从,N,(,2,),分布，求随机变量,的数学期望,答:,答:,4.3,协方差与相关系数,一、协方差的定义,若,(,X,Y,),是离散型随机变量,分布律为,P,(,X,=,x,i,Y,=,y,j,)=,p,ij,若,(,X,Y,),是连续型随机变量,密度函数为,f,(,x,y,),则,E,X,E,(,X,),Y,E,(,Y,),存在,则称其为,X,与,Y,的,协方差,，记为,cov(,X,Y,),即,cov(,X,Y,)=,E,X,E,(,X,),Y,EY,),。,定义,1,设,(X,Y),是二维随机变量，若,利用数学期望的性质,易将协方差的计算化简为,cov(,X,Y,)=,E,X,E,(,X,),Y,E,(,Y,)=,E,(,XY,),E,(,X,),E,(,Y,),二、协方差的性质,1.,协方差的基本性质,(1),cov(,X,X,)=,D,(,X,);,(2),cov(,X,Y,)=cov(,Y,X,),；,(3),cov(,aX,bY,)=,ab,cov(,X,Y,),，,其中,a,b,为常数；,(4),cov(,C,X,)=0,C,为任意常数；,(5),cov(,X,1,+,X,2,Y,)=cov(,X,1,Y,)+cov(X,2,Y,),；,(6),当,X,与,Y,相互独立时,则,cov(,X,Y,)=0,2.,随机变量和的方差与协方差的关系,当,X,与,Y,相互独立,时,则,注,:,可推广至,n,维情形,:,若,X,1,X,2,X,n,两两独立,则,例,1,设二维随机变量,(,X,Y,),的联合分布律为,Y,X,0,1,0,q,0,1,0,p,其中,p+q,=1,，求,cov(,X,Y,),。,解 由题意可得,X,Y,的边缘分布律为,X,0,1,P,q,p,Y,0,1,P,q,p,均为,01,分布,于是有,E,(,X,)=,p,D,(,X,)=,pq,E,(,Y,)=,p,D,(,Y,)=,pq.,cov(X,Y,)=,E,(,XY,),E,(,X,),E,(,Y,)=00,q,+010+100+11,p,p,p,=,p,p,2,=,pq,所以,例,2,设二维随机变量,(,X,Y,),的密度函数为,求,cov(,X,Y,),解,同理,cov(,X,Y,)=,E,(,XY,),E,(,X,),E,(,Y,)=0,将随机变量,X,与,Y,分别标准化,即取,三、相关系数的定义,定义,2,设,(,X,Y,),是二维随机变量,D,(,X,)0,D,(,Y,)0,称,为,X,与,Y,的相关系数,.,有时记,XY,为,.,当,XY,=0,时，称,X,与,Y,不相关,。,四、相关系数的性质,1,、,|,XY,1,，,即“相关系数的绝对值小于等于,1”,。,证明,方差的非负性,所以,-1,XY,1,即,|,XY,|,1.,2,、,|,XY,|=1,的充要条件是存在常数,a,0,b,使得,P,Y=aX+b,=1,，即,X,与,Y,以概率,1,存在线性关系,.,而且,当,a,0,时,XY,=,1;,当,a,0,Y,就呈现出随着,X,的增加而增加的趋势,;,当,XY,0,Y,就呈现出随着,X,的增加而减少的趋势,;,当,|,XY,|=,1,时,Y,与,X,的变化可完全由,X,的线性函数给出,.,当,|,XY,|=,0,时,Y,与,X,之间不是线性关系,.,3,、若,X,与,Y,相互独立，则,XY,=0即,X,与,Y,不相关。,证明,X,与,Y,相互独立，有,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,),Cov,(,X,Y,)=,E,(,XY,),E,(,X,),E,(,Y,)=0,所以,XY,=0,即,X,与,Y,不相关。,注意：,X,与,Y,不相关，,X,与,Y,不一定相互独立。,所谓不相关只是就线性关系而言，而相互独立是就一般关系而言的。,例,3,设,(,X,Y,),的分布律为,X,Y,-2,-1,1,2,P,Y,=,y,j,1,4,0,1/4,1/4,0,1/4,0,0,1/4,1/2,1/2,P,X,=,x,i,1/4,1/4,1/4,1/4,1,可以求出,E,(,X,)=0,E,(,Y,)=5/2,E,(,XY,)=0,于是,XY,=0,即,X,Y,不相关,.,这表示,X,Y,不存在线性关系,.,故,X,Y,不是相互独立的,.,事实上,X,和,Y,具有关系,:,Y,=,X,2,Y,的值完全可由,X,的值所确定,.,例,4,设随机变量,判断,X,与,Y,是否不相关,是否独立,?,解 由于,因此,cov(,X,Y,)=,E,(,XY,)-,E,(,X,),E,(,Y,)=0,从而,XY,=0,即,X,Y,不相关,.,但却有,X,2,+,Y,2,=1,因此,X,与,Y,存在着非线性关系,即,X,与,Y,不相互独立,.,若,(,X,Y,),服从二维正态分布,，,则,X与,Y,相互独立当且仅当,X,与,Y,不相关,.,因为二维随机变量,则协方差,Cov,(,X,Y,)=,1,2,相关系数,XY,=,二维正态变量,(,X,Y,),，,X,与,Y,相互独立的充分必要条件是,=0,；,而,XY,=,=0,表示,X,与,Y,不相关，,可见，,X,与,Y,独立的充分必要条件是,X,与,Y,不相关,。,例,5,解,已知 且,X,与,Y,的相关系数,设,求,D,(,Z,),及,五、矩的概念,E,(,X,k,),为,k,阶原点矩,简称,(,k,阶矩,),；,E,X,-,E,(,X,),k,为,k,阶中心矩,;,E,(|,X,|,k,),为,k,阶绝对原点矩,;,E|,X,E,(,X,)|,k,为,k,阶绝对中心矩,；,E,(,X,k,Y,l,),为,X,和,Y,的,k,+,l,阶,混合,原点矩,;,E,X,E,(,X,),k,Y,E,(,Y,),l,为,X,和,Y,的,k,+,l,阶,混合,中心矩,.,定义,3,设,X,与,Y,为随机变量,k,l,为正整数,称,数学期望,E,(,X,),即为,X,的一阶原点矩；,方差,D,(,X,),即为,X,的,二阶中心矩,;,协方差,Cov,(,X,Y,),是,X,和,Y,的二阶混合中心矩,.,六、协方差矩阵,将二维随机变量,(,X,1,X,2,),的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式,:,（对称矩阵）,称此矩阵为,(,X1,X,2,),的,协方差矩阵,.,（对称矩阵）,n,维随机变量,(,X,1,X,2,X,n,),的协方差矩阵,.,若,为,(,X,1,X,2,X,n,),的,协方差矩阵,.,都存在，则称,练习,1,、设二维随机向量,(X,Y),的联合分布律如下：,求,：,E,(,X,),E,(,Y,),D,(,X,),D,(,Y,),cov(,X,Y,),X,Y,1,2,3,1,1/9,2/9,2/9,2,0,1/9,2/9,3,0,0,1/9,2,、设,(X,Y),服从区域,D:0 x1,0y0,时,XY,=,1;,当,a,0,，有,或,或,等价于,二、切比雪夫,(Chebyshev,俄罗斯,),不等式注,：,(i),由切比雪夫不等式可以看出,若 越小,则事件,的概率越大,即随机变量,X,集中在期望附近的可能性越大,.,由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度,.,切比雪夫不等式的主要应用有如下三个方面：,(,1),在贝努里试验中的应用,二项,分布中，频率与概率的精度估计不等式的两种形式：,主要问题有：,已知 和估计事件的概率求试验次数,n,；,已知 和估计事件的概率,(,把握程度,),求估计的精度 ；,已知 和估计事件的概率求试验成功的概率,(2),估计随机变量分散程度的概率界限,给出了在随机变量,X,的分布未知时，概率,P(|X-E(X)|),的一个上限，,当,分别取时,2,，,3,，4,时，有,P,(|,X,-,E,(,X,)|2,)1/4,，,P,(|,X,-,E,(,X,)|3,)1/9,，,P,(|,X,-,E,(,X,)|4,)1/16,(3),在极限定理中的应用,切比雪夫不等式作为一个理论工具，其应用是普遍的。,例,1,：设贝努里试验的参数,p,=0.75,问至少需要进行多少次这种试验才能使频率在,0.74,到,0.76,之间的概率至少为,0.90,?,解 设,n,重贝努里试验中成功的次数为,，则 ，,且,故至少需要,18750,次试验才能使频率在,0.74,到,0.76,之间的概率至少为,0.90.,所求为满足 的最小的,n,在切比雪夫不等式中取,则,三、大数定理,1,、,切比雪夫大数定律,设随机变量序列,X,1,X,2,X,n,相互独立，每一个随机变量都有数学期望,E,(,X,1,),E,(,X,2,),E,(,X,n,),和有限的方差,D,(,X,1,),D,(,X,2,),D,(,X,n,),，,并且,D,(,X,n,),C,(,i=,1,2,),，,则任意正数,，,即,证明,因为,X,1,X,2,X,n,相互独立，,由,切比雪夫不等式,可得,该定理表明：相互独立的随机变量的算,术,平均值,与数学期望的算术平均值的差在,n,充分大时是一个无穷小量，这也意味着在,n,充分大时，经算术平均后得到的随机变量 的值将比较紧密地聚集在它的数学期望 的附近。,2,、,切比雪夫大数定律的特殊情况,定理,2,设随机变量序列,X,1,X,2,X,n,相互独立，且具有相同的数学期望,和相同的方差,2,，,记前,n,个随机变量的算术平均为,Y,n,，,则随机变量序列,Y,1,Y,2,Y,n,依概率收敛于,，即,证明,切比雪夫大数定律,3,、,贝努里,大数定律,设进行,n,次独立重复试验，每次试验中事件,A,发生的概率为,p,，记,n,A,为,n,次试验中事件,A,发生的次数，则,证明（由切比雪夫不等式可直接证明）,即,或,(,1),这就是最早的一个大数定理，它表明：当重复试验次数,n,充分大时，事件,A,发生的频率,n,A,/n,依,概率收敛于事件,A,发生的概率,p.,定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。,(2),若事件,A,发生的概率很小，则由定理知，事件,A,发生的频率也是很小的，或者说事件,A,很少发生。即“概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生”，这一原理称为,小概率原理,，它的实际应用很广泛。但应注意到，小概率事件与不可能事件是有区别的。在多次试验中，小概率事件也可能发生。,4,、,辛钦大数定律,若,X,k,，,k,=1,2,.,为独立同分布随机变量序列,E(,X,k,),=,0)(,i=,1,2,),，,记前,n,个变量的和的标准化变量为,一、独立同分布的中心极限定理,(,Lindeberg,-Levy,林德贝格,-勒维,),则,Y,n,的,分布函数,F,n,(,x,),对任意的,x,(,-,+),都有,该定理说明，当,n,充分大时，,于是,故定理又可表述为,:,均值为,方差为 的独立同分布的随机变量 的算术平均值,当,n,充分大时近似地服从均值为,方差为 的正态分布,.,这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础,.,例,2,将一颗骰子连掷,100,次，则点数之和不少于,500,的概率是多少？,解 设,X,k,为第,k,次掷出的点数，,k,=1,2,100,，,则,X,1,X,2,X,100,独立同分布，而且,由,中心极限定理,二、德莫佛,-,拉普拉斯定理,(De,Moivre,-,Laplace,),在,n,重贝努里试验中，每次试验中事件,A,发生的概率为,p,(0,p,75),；,(2),p,=0.7,时，,P,(,X,75),。,P,(,X,75),(1),(2),当厂方宣传符合实际时，接受这一宣传的概率约为,0.8944,，而当厂方宣传不符合实际时,(,言过其实,),实际上治愈率为,0.7,时，接受其虚假宣传的概率仅有,0.1379,。,已知某种股票每股价格,X,的平均值为,1,元，标准差为,0.1,元，求,a,，,使股价不低于,1+,a,元或不超过,1-,a,元的概率不超过,10%,。,解 由切比雪夫不等式,令,练习,