Chap 8 扭转.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章,扭 转,(,Torsion),实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形。,8-1,外力偶矩、扭矩及扭矩图,材 料 力 学,圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；,杆表面上的纵向线变成螺旋线。,受力特点：,杆件在两端垂直于轴线的平面内作用一对大小相等、转向相反的力偶作用,变形特点：,M,e,M,e,材 料 力 学,、传动轴的外力偶矩,传动轴的转速,n,；,某一轮上所传递的功率,P,(kW),作用在该轮上的外力偶矩,M,e,。,已知：,求：,一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所作的功：,M,e1,M,e2,M,e3,n,从动轮,主动轮,从动轮,材 料 力 学,传动轮的转速,n,、功率,P,及其上的外力偶矩,M,e,之间的关系：,主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。,M,e1,M,e2,M,e3,n,从动轮,主动轮,从动轮,材 料 力 学,、扭矩及扭矩图,圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为,扭矩,，用符号,T,表示。,扭矩大小可利用,截面法,来确定。,1,1,T,T,M,e,M,e,A,B,1,1,B,M,e,A,M,e,1,1,x,材 料 力 学,扭矩的符号规定,按右手螺旋法则确定,:,扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负类似于轴力图，可作,扭矩图,，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。,T,T,T,(+),T,(-),T,T,材 料 力 学,1,1,T,M,e,M,e,A,B,A,M,e,1,1,x,M,e,T,图,+,T,1,1,B,M,e,材 料 力 学,例,:,一传动轴如图，转速,n,=300r/min,；主动轮输入的功率,P,1,=500kW,，三个从动轮输出的功率分别为：,P,2,=150kW,，,P,3,=150kW,，,P,4,=200kW,。试作轴的扭矩图。,材 料 力 学,首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩,解：,2,2,1,1,3,3,M,1,M,2,M,3,M,4,A,B,C,D,材 料 力 学,分别计算各段的扭矩,2,2,1,1,3,3,M,1,M,2,M,3,M,4,A,B,C,D,T,1,1,1,x,M,2,A,T,2,A,M,2,B,M,3,2,2,x,D,M,4,T,3,3,3,x,材 料 力 学,扭矩图,T,max,=9.56 kNm,在,CA,段内,M,1,M,2,M,3,M,4,A,B,C,D,4.78,9.56,6.37,T,图,(kN,m),材 料 力 学,8-2,圆轴扭转时强度计算,内力偶矩,扭矩,T,一、薄壁圆筒扭转,n,n,M,e,M,e,d,l,T,M,e,n,n,d,r,0,材 料 力 学,通常指 的圆筒，可假定,其应力沿壁厚方向均匀分布,薄壁圆筒,圆筒两端截面之间相对转过的圆心角,相对扭转角,表面正方格子倾斜的角度,直角的改变量,切应变,即,g,j,A,B,D,C,M,e,M,e,薄壁圆筒受扭时变形情况：,g,A,B,C,D,B,1,A,1,D,1,C,1,D,D,1,C,1,C,材 料 力 学,M,e,M,e,圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距不变；,变形特点及分析：,横截面在变形前后都保持为形状、大小未改变的平面，没有正应力产生,;,所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。,横截面上有与圆轴相切的切应力且沿圆筒周向均匀分布,g,j,A,B,D,C,材 料 力 学,A,B,C,D,B,1,A,1,D,1,C,1,1,、横截面上无正应力；,2,、只有与圆周相切的切应力，且沿圆筒周向均匀分布；,薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：,M,e,M,e,g,j,A,B,D,C,g,A,B,C,D,B,1,A,1,D,1,C,1,D,D,1,C,1,C,n,n,M,e,r,0,x,t,3,、对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚也均匀分布。,材 料 力 学,薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式,：,静力学条件,因薄壁圆环横截面上各点处的切应力相等,得,t,d,A,n,n,M,e,r,0,x,d,r,0,材 料 力 学,此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面体,二、剪应力互等定理,单元体,Me,M,e,x,y,z,a,b,O,c,d,d,x,d,y,d,z,t,t,t,t,自动满足,存在未知,t,得,材 料 力 学,单元体的两个相互垂直的截面上，与该两个面的交线垂直的切应力数值相等，且均指向,(,或背离,),两截面的交线。,切应力互等定理,单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为,纯剪切应力状态,。,d,a,b,c,t,t,t,t,x,y,z,a,b,O,c,d,d,x,d,y,d,z,t,t,t,t,材 料 力 学,三、剪切胡克定律,由前述推导可知,薄壁圆筒的扭转实验曲线,M,e,M,e,g,j,A,B,D,C,材 料 力 学,钢材的切变模量值约为：,这就是,剪切胡克定律,其中：,G,材料的,切变模量,t,p,剪切比例极限,材 料 力 学,四、圆轴扭转时横截面上应力计算,、横截面上的应力,几何方面,表面变形情况,相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变；,纵向线倾斜了同一个角度,g,，表面上所有矩形均变成平行四边形。,g,(a),M,e,M,e,(b),材 料 力 学,杆的横截面上,只有垂直于半径的切应力,，,没有正应力,。,平面假设,等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。,推论：,(a),g,M,e,M,e,(b),材 料 力 学,g,M,e,M,e,d,j,g,D,G,G,E,T,T,O,1,O,2,ab,a,b,d,x,D,A,g,r,r,d,j,g,D,G,G,E,O,1,O,2,D,A,g,r,r,d,x,d,横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律,材 料 力 学,即,相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量,d,j,g,D,G,G,E,T,T,O,1,O,2,a,b,a,b,d,x,D,A,g,r,r,d,j,g,D,G,G,E,O,1,O,2,D,A,g,r,r,d,x,d,材 料 力 学,剪切胡克定律,物理方面,静力学方面,称为横截面的,极惯性矩,t,r,d,A,t,r,d,A,r,r,r,O,令,得,T,材 料 力 学,O,d,等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式,r,t,max,t,r,t,max,T,材 料 力 学,发生在横截面周边上各点处。,称为,扭转截面系数,最大切应力,t,max,t,max,令,即,O,d,r,t,r,T,材 料 力 学,同样适用于空心圆截面杆受扭的情形,t,max,t,max,O,D,d,T,r,t,r,材 料 力 学,圆截面的极惯性矩,I,p,和扭转截面系数,W,p,实心圆截面：,几何性质,O,d,r,r,d,材 料 力 学,空心圆截面：,D,d,r,r,O,d,材 料 力 学,注意：对于空心圆截面,D,d,r,r,O,d,材 料 力 学,例,实心圆截面轴,和空心圆截面轴,(,a,=,d,2,/,D,2,=0.8,),的材料、扭转力偶矩,M,e,和长度,l,均相同。试求在两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，,D,2,/,d,1,之比以及两轴的重量比。,(a),M,e,M,e,d,1,l,M,e,(b),M,e,l,D,2,d,2,材 料 力 学,解：,已知,得,材 料 力 学,两轴的重量比,可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。,讨论：,为什么说,空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构件？,材 料 力 学,五、圆轴扭转时强度条件,等直圆轴,材料的许用切应力,强度条件,材 料 力 学,例 图示阶梯状圆轴，,AB,段直径,d,1,=120mm,，,BC,段直径,d,2,=100mm,。扭转力偶矩,M,A,=22 kN,m,，,M,B,=36 kN,m,，,M,C,=14 kN,m,。材料的许用切应力,t,=80MPa,，试校核该轴的强度。,解：,1,、求内力，作出轴的扭矩图,22,14,T,图,（,kNm,）,M,A,M,B,M,C,A,C,B,材 料 力 学,BC,段,AB,段,2,、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度,即该轴满足强度条件。,22,14,T,图,（,kNm,）,材 料 力 学,8-3,圆轴扭转时的变形及刚度条件,、扭转时的变形,两个横截面的,相对扭转角,j,扭转角沿杆长的变化率,相距,d,x,的微段两端截面间相对扭转角为,g,M,e,M,e,j,d,j,g,D,T,T,O,1,O,2,ab,a,b,d,x,D,A,材 料 力 学,等直圆杆仅两端截面受外力偶矩,M,e,作用时,称为等直圆杆的,扭转刚度,相距,l,的两横截面间相对扭转角为,g,M,e,M,e,j,(,单位：,rad,),材 料 力 学,、刚度条件,等直圆杆在扭转时的刚度条件：,对于精密机器的轴,对于一般的传动轴,常用单位：,/m,材 料 力 学,例 图示钢制实心圆截面轴，已知：,M,1,=1592N,m,M,2,=955 N,m,，,M,3,=637 N,m,，,d,=70mm,，,l,AB,=300mm,，,l,AC,=500mm,，钢的切变模量,G,=80GPa,。求横截面,C,相对于,B,的扭转角,j,CB,。,解：,1,、先用截面法求各段轴的扭矩：,BA,段,AC,段,M,1,M,3,B,A,C,M,2,d,l,AB,l,AC,材 料 力 学,2,、各段两端相对扭转角：,j,CA,j,AB,M,1,M,3,B,A,C,M,2,d,l,AB,l,AC,材 料 力 学,3,、横截面,C,相对于,B,的扭转角：,j,AB,j,CA,M,1,M,3,B,A,C,M,2,d,l,AB,l,AC,材 料 力 学,例 图示空心圆杆,AB,，,A,端固定，底板,B,为刚性杆，在其中心处焊一直径为,d,2,的实心圆杆,CB,。空心杆的内、外径分别为,D,1,和,d,1,，外力偶矩,M,e,、两杆的长度,l,1l,2,及材料的切变模量,G,均为已知。试求：,1,、两杆横截面上的切应力分布图；,2,、实心杆,C,端的绝对扭转角,j,C,。,I,D,1,d,1,d,2,l,1,l,2,A,B,C,I,M,e,I-I,刚性板,材 料 力 学,解：,1,、分析两轴的受力如图，求出其扭矩分别为,I,D,1,d,1,d,2,l,1,l,2,A,B,C,I,M,e,I-I,刚性板,M,e,M,e,A,B,M,e,B,C,M,e,材 料 力 学,2,、求横截面上的切应力,空心圆轴,实心圆轴,材 料 力 学,空心圆轴,实心圆轴,t,2,max,t,1,max,t,1,min,T,1,T,2,材 料 力 学,3,计算绝对扭转角,j,C,A,B,C,M,e,M,e,M,e,B,C,A,B,M,e,M,e,A,C,j,C,j,BA,j,CB,材 料 力 学,例 由,45,号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比,a,=0.5,。已知材料的许用切应力,t,=40MPa,，切变模量,G,=80GPa,。轴的横截面上最大扭矩为,T,max,=,9.56 kNm,，轴的许可单位长度扭转角,j,=0.3,/m,。试选择轴的直径。,解：,1,、按强度条件确定外直径,D,材 料 力 学,2,、由刚度条件确定所需外直径,D,3,、确定内外直径,材 料 力 学,：圆轴强度与刚度设计的一般过程,根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。,应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加扭力矩时，,需要画出扭矩图。,根据轴的扭矩图，确定可能的,危险面,以及危险面上的扭矩数值。校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。,计算危险截面上的,最大剪应力,或单位长度上的,相对扭转角,。,根据需要，应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴进行强度与刚度校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。,8-5,结论与讨论,材 料 力 学,需要指出的是，工程结构与机械中有些传动轴都是通过与之连接的零件或部件承受外力作用的。这时需要首先将作用在零件或部件上的力向轴线简化，得到轴的受力图。这种情形下，圆轴将同时承受扭转与弯曲，而且弯曲可能是主要的。这一类圆轴的强度设计比较复杂。,：圆轴强度与刚度设计的一般过程,此外，还有一些圆轴所受的外力,(,大小或方向,),随着时间的改变而变化。这些问题将在以后的章节中介绍。,材 料 力 学,：关于公式的应用条件,扭转剪应力公式是圆轴在弹性范围内导出的，其适用条件是：,1,、必须是圆轴否则横截面将不再保持平面，变形协调公式,将不再成立。,材 料 力 学,2,、,材料必须满足胡克定律，而且必须在弹性范围内加载只有这样，剪应力和剪应变的正比关系才成立,二者结合才会得到剪应力沿半径方向线性分布的结论，才会得到反映学习分布的剪应力公式,图 示一长为,l,的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成,内外两杆均在线弹性范围内工作，其抗扭刚度,GI,Pa,，,GI,Pb,。当此组合杆的两端各自固定在刚性板上，并在刚性板处受一对矩为,M,的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩。,：超静定问题：,材 料 力 学,M,M,l,A,B,代入变形几何方程，得补充方程,物理关系是,M,M,M,l,A,B,M,b,M,a,材 料 力 学,联立平衡方程和补充方程，解得：,M,M,M,l,A,B,M,b,M,a,材 料 力 学,s,1,.,B,、,C,两点的剪应力分别达到,s,时，横截面上的扭转剪应力怎样分布；,3.,A,点以内圆截面上的内力,偶矩与横截面上的总扭矩之间的关系,O,2,R,B,C,R/,2,A,3,R/,4,2.,A,点的切应力怎样确定；,：关于公式的应用条件,材 料 力 学,1,、变形特征翘曲,扭转后，横截面将不再保持平面,：矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力,材 料 力 学,2,、由平衡直接得到的结论,角点切应力等于,零,边缘各点切应力,沿切线方向,3,、剪应力分布与剪应力公式,角点切应力等于零,;,边缘各点切应力沿切线方向,;,最大切应力发生在长边中点,.,矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力,长边中点处,短边中点处,材 料 力 学,厚度,h,4,、狭长矩形截面,矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力,材 料 力 学,两种情形下横截面上的切应力是怎样分布的？,两种情形下横截面上的最大切应力公式怎样确定？,开口与闭口薄壁圆环的扭转切应力,材 料 力 学,