第二章单变量描述统计.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 单变量统计描述,一、基本技术,二、集中趋势测量法,三、离散趋势测量法,四、正态曲线,第一节,基本技术,一、定类层次,二、定序层次,三、定距层次,一、,定类层次,适用于简化一个定类变量资料的方法包括,:,次数分布、比例、比率、图示和对比值。,1、次数分布，即频数,次数分布,(,Frequency distribution):,变项内每一个值的原始资料出现多少次。用,f,表示。,例：甲乙两校学生父亲的职业（第,36,页）,表1 两个社区中违法者和非违法者的频数,研究对象社区1社区2违法者 初犯者 58 68 屡犯者 43 137非违法者4811081总 和 5821286,2、比例,将每类的次数(,f),除以总数(,N)，,公式,P=f/N,3、比率(百分比),把计算比例时所用的基数变大为100，即每一百有多少。,比率的公式为,百分率,：,f/N,100,千分率,：,f/N,1000,万分率：,f/N,10000,关于比率（百分比）的例子,两条重要原则,(1)一定要在百分数或比例的旁边列出个案的数目。,(2)只有在百分数基数(分母)的个案数目达到50左右，才使用百分数。如果个案数目很少,，,最好直接用每个类别的个案数目。,4、,对比值,例：某地总人口中有28600名男性和23500名女性,则性别对比值：男性人数：女性人数=28600：23500=1217：1000,5、图示法,以图形来简化资料。,定类资料使用较多的有,条形图,和,圆形图,。,（1）条形图,以长方形的长度来表示次数或百分率的多少，宽度没有意义。长方形之间可以分开(也可以不分)。,例：某地区人口构成：干部110人，工人152人，农民288人，总数550,三者百分比的条形图,（2）圆形图：,把一个圆形平面按数值的比例分割,。,农民360,52.4%=188.64,工人360,27.6%=99.36,干部360,20.0%=72,二,、,定序层次,以上基本技术，如次数、比例、比率、对比值、长条图和圆形图等，也可以用于简化定序资料。,适用于定序层次而不可用于定类层次的，有,累加次数和累加百分率,。,1、累加次数,累加次数就是把次数逐级相加起来，分为两种；,向上累加(,cf,),向下累加(,cf,),作用：容易知道某值以下(或以上)之次数总和,。,向上累积(,cf,),表示由低层向高层累加，如下表五级,一级；向下累积(,cf,),表示由高层向低层累加，如下表一级,五级,2,、累加百分率(%),将各级的百分率数值逐渐相加,三、,定距层次,以上方法对定距层次的变量都适用。,但定距层次的变量在使用这些方法时,必须先进行分组，由具体数字转化为区间。,收入（元）,f,cf,cf,1500-1899,40,550,40,1300-1499,141,510,181,1100-1299,158,369,339,900-1099,136,211,475,700-899,65,75,540,500-699,10,10,550,总数,550,例：某校学生家庭每月总收入（,p41,）,直方图,直方图：又称矩形图，以一个矩形的面积,(,长,宽,),表示每组数值的次数或百分率的多少。,与条形图的不同：条形图的宽度没有意义。直方图的,长度与宽度均有意义,；直方图,各个矩形要相连排列,，条形图可以分开。,直方图的绘制,以坐标横轴的宽度表示,组距,，以纵轴的长度表示,频次密度,，,二者乘积为该组的,次数,。,频次密度,=,频次,/,组距,等距分组的情况下，可以用频次作为长条的长度。,多角线图,多角线图：把各个矩形顶端的,中点,用直线连结起来，其作用是使各组的次数,(,或百分率,),的分布情况更显而易见。,组距的大小，会影响线条的平滑程度，组距愈小，线条就愈平滑。,第二节,集中趋势测量法,集中趋势测量法,含义：找出一个数值来代表变项的资料分布，以反映资料的集中情况。,意义：根据这个代表值来估计或预测每个研究对象的数值。,常用指标：,众值、中位值、均值,一个人到某公司求职，经过调查，得出关于该公司工资的一些数据，如果是你，应该如何选择？,员工,经理,副经理,职员,A,职员,B,职员,C,职员,D,职员,E,职员,F,职员,G,月薪（元）,6000,4000,1700,1300,1200,1100,1100,1100,500,关于集中趋势的小故事：,吉斯莫先生有一个小工厂，生产超级小玩意儿。,管理人员由吉斯莫先生、他的弟弟、六个亲戚组成。工作人员由,5,个领工和,10,个工人组成。工厂经营得很顺利，现在需要一个新工人。,现在吉斯莫先生正在接见萨姆，谈工作问题。,吉斯莫：我们这里报酬不错。平均薪金是每周,300,美元。你在学徒期间每周得,75,美元，不过很快就可以加工资。,萨姆工作了几天之后，要求见厂长。,萨姆；你欺骗我！我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周,100,元。平均工资怎么可能是一周,300,元呢？,吉斯莫：啊，萨姆，不要激动。平均工资是,300,元。我要向你证明这一点。,吉斯莫：这是我每周付出的酬金。我得,2400,元，我弟弟得,1000,元，我的六个亲戚每人得,250,元，五个领工每人得,200,元，,10,个工人每人,100,元。总共是每周,6900,元，付给,23,个人，对吧？,萨姆：对，对，对！你是对的，平均工资是每周,300,元。可你还是蒙骗了我。,吉斯莫；我不同意！你实在是不明白。我已经把工资列了个表，并告诉了你，工资的中位数是,200,元，可这不是平均工资，而是中等工资。,萨姆：每周,100,元又是怎么回事呢？,吉斯莫：那称为众数，是大多数人挣的工资。,吉斯莫：老弟，你的问题是出在你不懂平均数、中位数和众数之间的区别。,萨姆：好，现在我可懂了。我,我辞职！,一、众数,(Mode),众数（,Mode,）：,次数最多之值,。,*,众数适合于分析定类变项，也可以用来分析定序、定距变项的资料。,*,；,*,对于定类变项，以众数作预测所犯的错误是最小的。,二、定序变项：中位值,(Median),中位值,(,Md,),：在一个序列的中央位置之值，即高于此值的有,50%,的研究个案，低于此值的,也有,50%,。,如果个案数是奇数，中位数就是中间个数的记分数。如果,N,是偶数，按惯例，取两个中间个案的平均值。,1,、根据原始资料求中位值,将个案由低到高排序：,(1),如果N,是奇数，,中位数位置,就是第(,N+1)/2,个个案所在的位置。,(2),如果,N,是偶数，,中位数落在最,中央的两个个案之间。,如果重复数值多，可以利用累加次数寻找中位值,。,例：学生的学业成绩（,p47,）,等级,f,cf,甲,5,80,乙,20,75,丙,30,55,丁,25,25,总数,80,2,、根据分组资料计算中位值,公式；,Md,=L+()W,L,：中位值组的真实下限,f,：中位值组的频数,CF,：低于中位值组真实下限的累积次数,W,：中位值组的组距,N,：全部个案数目,（例：,p48,，表,2-6,）,三、均值(,Mean),定义：将变项的各个数值之和除以个案的总数目。习惯上用,X,来代表均值，,X=,X=,均值的代数性质：,(1)每一个取值对均值的偏差的总和为0，即：,(,x,i,-,x)=0,(2),各数值对均值的偏差平方和小于任何其他数的偏差平方和，即：,(,x,i,-,x),2,=,极小值,1、未分组资料,(1)根据原始资料求均值,X=,例 7，3，11，10，4,X=,(2)根据频数分布求均值,X=,例：求以下550人的平均数,则：,X,=,=,69.6,如果给出的频数是比例：,P,i,=,f,i,/N，,那么，均值计算还可以进一步简化为：,X,=P,1,X,1,+P,2,X,2,+,+P,i,X,i,=,P,i,X,i,2、分组数据,对于分组数据，可用组中心值来代替变量值。计算方法与未分组数据相同，,X,=,(,假定所有的个案集中于它们各自的间距的中点。),例：青年人阅读小说书的数目（,p51,）,四、众值、中位值和均值比较,1.三值设计的共同目的：希望通过一个数值来描述整体特征，以便简化资料。三者均反映了变量的集中趋势。,众值：适用于定类、定序和定距变量,中位值：适用于定序和定距变量,均值：适用于定距变量,、,众值中位值,均值,众值：仅使用了资料中最大频次这一信息，因此，资料使用是不完全的。,中位值：由于考虑了变量的顺序和居中位置，它和总体的频次分布有关。,均值：既考虑到频次，又考虑变量值的大小，因此最灵敏。,虽然均值对资料的信息利用最充分，但,对严重偏态的分布，会失去它应有的代表性,。,3,、偏态和三值的关系：,对于对称的图形，众值、中位值和均值三者位置重叠，当图形正偏或负偏时，均值变化最快，中位值次之，众值不变。,如图：,对称 正偏斜 负偏斜,M,0,=,M,d,=,X M,0,M,d,X,X,Md,M,0,第三节,离散趋势测量法,试比较以下三组数据：,甲组：80 86 90 94 100,X=90,乙组：88 89 90 91 92,X=90,丙组：90 90 90 90 90,X=90,离散趋势测量法,含义：求出一个值来表示一个变项上的个案与个案之间的差异情况。,与集中趋势测量法互相补充。如果个案差异大，众数、中位数和均值的代表性就差。,一、定类变量：离异比率(,Variation Ration),离异比率(,V),就是非众值的次数与全部个案数目的比率。,公式如下：,V=,N,：全部个案数目，,f,mo,：,众值的次数。,非众值的比例越小，众值的代表性越好。,例：调查了200名大学生，内心的苦恼倾诉对象意愿为：,党团组织41人、家长49人、知心朋友52人、闷在心里32人、班团干部15人、随便议论11人,可见,N=200,f,mo,=52,V=,众数的代表性很低,注意：众值与众值频数，即,M,O,与,f,mo,的区别。,二、定序变项：四分位差,将个案由低至高排列，然后分为四个等分；则第一个四分位置的值,(Q,1,),与第三个四分位置的(,Q,3,),的差异，就是四分位差(简写,Q)，,公式是,Q=Q,1,-Q,3,),25%25%25%25%,低,Q,1,Q,2,Q,3,高,Q,1,与,Q,3,差异越大，表示有,50%,的个案越是远离中位值，因此中位值的代表性就越差。,1,、根据原始资料计算四分位差,（例：,p55,）,甲队有11户人家，每户人数如下：,2 2 3 4 6 9 10 10 11 13 15,M,d,位置=,Md,=9,Q,1,位置=,Q,1,=3,Q,3,位置=,Q,3,=11,所以四分位差,Q=Q,3,-Q,1,=11-3=8,2,、根据分组资料计算四分位差,Q,1,=L,1,+()w,1,Q,3,=L,3,+()w,3,三、定距变项：标准差,例：标准差的计算,对于分组资料，用组中值来代表变量值，标准差计算公式与上述相同（例：表,2-7,）,第四节,正态曲线,一、正态曲线的一般形式,正态曲线方程,正态曲线的特点,1、单峰，有一个最高点；,“中间高、两边低”；,当,x=x,时，取得最大值。,正态曲线特点：,2一个对称曲线，曲线在高峰处有一个对称轴，在轴的左右两边是对称的，对称轴是直线,x,x,3,一,条,渐近线。曲线无论向左或向右延伸，都越来越接近横轴，但不会和横轴相交，以横轴为渐近线。,二、两个参数对曲线形状的影响,当 和 确定后，正态曲线的图形也就唯一被确定了因此 和 称作正态分布曲线的两个参数。,改变,2,值：当,x,不变的情况下，越小，则对应图形越尖瘦。,只要是正态分布，在一定的标准差数值范围内，个案的比例是一定的。,标准正态分布（,1,）：标准分（,Z,分）,（,1,）,Z,是和,X,一一对应的变量值；,（,2,）,Z,分数实际表达了变量值距均值有几个标准差。,计算标准分的意义,1,、根据标准分的大小，一眼就能看出该变量值在一种正态分布中的位置；,标准差以标准分为计量单位，不受原变量计量单位的影响，所以可以跨越不同的正态分布,比较大小,。,如果把服从正态分布的随机变量的变量值都转换为标准分，这些,Z,分又能组成一个新变量，称为标准化变量，其分布仍然服从正态分布,均值为,0,、标准差为,1,的,标准正态分布,。,标准正态分布,Z,1.65,比例是0.05,Z,1.96,比例是0.025,Z,2.33,比例是0.01,Z,2.58,比例是0.005,Z,3.09,比例是0.001,Z,3.30,比例是0.0005,假设某变量,X,服从正态分布，其平均值为,60,，标准差为,4,，求,p55X63,的值。,解,：（,1,）,先将,X,标准化，,当,X=55,时，对应的标准分,Z=,（,55-60,）,/4=-1.25,；,当当,X=63,时，对应的标准分,Z=,（,63-60,）,/4=0.75,；,（,2,）,p55X63=p-1.25z0.75,=0.2734+0.3944=0.6678,习题 一、判断以下统计表是否有误？,表一：某学校对最喜爱影片的调查,表2 某村实行责任制后经济情况调查,习题,二、根据以下统计资料：汉族，50,000人，苗族22,000人，布衣20,000人，藏族1,000人，问能制成哪些统计图？对变量值的排列是否有要求？,三、直方图的高度有什么意义？,四、抽查50名学员，他们的统计学成绩如下：,试以10分为组距，编制次数分配表，并绘制直方图。,五、将习题四的50名学员统计学成绩接下表分组,七、以下是68名职工婚姻状况的调查,N“,未婚”；,M“,已婚”,D“,离婚”；,W“,丧偶”,选择适当的集中值和离散值，并讨论之。,八、设以下是72名离婚者婚龄的统计,(1)试作直方图,(2)试求众值、中位值和均值并作简单讨论,(3)试求四分位差和标准差,