1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、对偶问题的提出,1、,对偶思想举例,周长一定的矩形中，以正方形面积最大；面积一定的矩形中，以正方形周长最小；,Chapter 3 LP,的,对偶问题,2、,换个角度审视生产计划问题,例2-1要求制定一个生产计划方案，在劳动力和原材料可能供应的范围内，使得产品的总利润最大。,资源,产品,人力,原材料,单位利润,甲,1,1,2,乙,1,4,3,丙,1,7,3,现有资源,3,9,若工厂自己不生产产品,甲,、,乙,和,丙,，,将现有的工时及原材料转而接受外来加工时，工厂要求包工及原材料的总价格最低。,对偶变量
2、的经济意义可以解释为,对工时及原材料的单位定价；,（用于生产第,i,种产品的资源转让收益不小于生产该种产品时获得的利润）,当原问题和对偶问题都取得最优解时，这一对线性规划对应的目标函数值是相等的：,Zmax,=,Wmin,=8,考察原问题和对偶问题的解，给作决策的管理者另一个自由度；,怎样通过增加更多的资源来增加利润？,怎样使用不同类型的资源来增加利润？,价格,Va,Vb,Vc,甲,0.8,1000,0.6,17.5,乙,0.5,1500,0.27,7.5,丙,0.9,1750,0.68,0,丁,1.5,3250,0.3,30,例2-2 采购甲、乙、丙、丁4种食品量分别为,x1，x2，x3，x
3、4，,在保证人体所需维生素,A(4000)、B(1)、C(30),前提下，使总的花费最小。,3、饮食与营养问题,换一个角度，生产营养药丸的制药公司力图使营养师相信，各种营养药丸勿须通过多种食品的转换就能供营养师调剂。,制药公司面对的问题是,为营养药丸确定单价,，以,获得最大的收益,，同时,与真正的食品竞争,。,于是，营养药丸的单位成本,不能超过,相应食品的市价。,1.,对称形式的对偶关系的矩阵描述,（,D）,（,L）,怎样从原始问题写出其对偶问题？,按照定义；,记忆法则：,“上、下”交换，矩阵转置，,不等式变号，“极小,”,变“极大”,二、对偶问题的一般形式,例2-3 写出下面线性规划的对偶问
4、题：,2,、非对称形式的对偶关系：,（1）原问题 对偶问题,（特点：对偶变量符号 不限，系数阵转置）,(,特点：等式约束,),（,2,）怎样写出非对称形式的对偶问题？,把一个等式约束写成两个不等式约束，再根据对称形式的对偶关系定义写出；,按照原始-对偶表直接写出,；,（,3,）原始,-,对偶表,原问题（或对偶问题）,对偶问题（或原问题）,目标函数,Min,目标函数,Max,约束条件数：,m,个,对偶变量数：,m,个,决策变量数：,n,个,约束条件数：,n,个,课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：,三、对偶定理,对偶定理是揭示,原始问题的解与对偶问题的解之间重要关系,的,一系列定理。,定理,3
5、1,对称性定理,对偶问题的对偶是原问题,。,定理,3-2,弱对偶定理,若一对对称形式的对偶线性规划,（,L）,和 （,D）,均有可行解，分别为 和 ，则,该结论对非对称形式的对偶问题同样成立,。,定理,3-3,最优性准则定理,若,、分别为一对对偶线性规划的可行解，且两者目标函数的相应值相等，即,，,则 ，分别为原始问题和对偶问题的最优解。,定理,3-4,强对偶定理,若原始问题和对偶问题两者均可行，则两者均有最优解，且此时目标函数值相同。,原始问题,对偶问题,有最优解,有最优解,无界,不可行,不可行,无界,不可行,不可行,LP,原始问题与对偶问题的关系：,（,P,）,和 （,D）,定理,3-5,设,分别是原问题（,P,）,和对偶问题（,D,）的可行解，则,为（,P,）和（,D,）最优解的充要条件是,
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