第2讲 概率三大定义 加法定理.ppt

概率论与数理统计,第二讲,主讲教师：张冬梅 博士 副教授,浙江工业大学理学院,1.2,事件的概率,1.2.1,事件的频率,I.,频率定义,设,A,是一个事件,在相同条件下进行,n,次试验，,A,发生了,m,次。,则称,m,为事件,A,在,n,次试验中发生的,频数,或,频次,，称,m,与,n,之,比,m/n,为事件,A,在,n,次试验中发生的,频率,，记为,f,n,(,A,),。,当试验次数,n,充分大时，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，,一般说来,摆动的幅度越小。,频率的稳定性。,当,n,足当大，频率就会非常接近一个固定值,概率,。,因此,概率可以通过频率来,“,度量,”频率是概率的近似,概率是频率某种意义下的极限。,考虑在相同条件下进行的,k,组试验,（,P.2,掷硬币）,事件,A,在各组试验中的频率形成一个数列,稳定在概率,p,附近,在实际问题中，当概率不易求出时，人们在试验次数很大情况下，常用事件的频率作为概率的估计，并称此概率为,统计概率。概率的统计定义,例如,:,若需了解某射箭运动员中,10,环的概率，应对该运动员在相同条件下的多次射箭情况进行观测、统计。,假设其射击,n,次，中,10,环,m,次，当,n,很大时，就,m,/,n,作为其命中,10,环的概率。,缺点 优点？,1933,年，前苏联数学家,(,概率统计学家,),柯尔莫哥洛夫,(,Kolmogorov,),给出了概率如下,公理化,定义。,1.2.2,事件概率,I.,概率定义,概率的公理化定义,(2),.,P()=1;,(3).,若事件,A,1,A,2,两两互斥，则有,设,E,是随机试验，,是样本空间，对,中的每个事件,A,，赋予一个实数,P,(,A,),，如果,事件,(,集合,),函数,P,(,A,),满足下述三条,:,(1).,P,(,A,),0,；,则称,P(,A,),为事件,A,的概率,。（可列可加性）,注意：,这里的函数,P(,A,),与以前所学过的函数不同：,P(,A,),的自变量是事件,(,集合,),。,泛函,这一定义搁置了所有关于概率本质的哲学争议，成为概率论最原始的出发点。,II.,概率的性质（利用公理化定义可得）,1.P(,)=0,，,即不可能事件的概率为零；,2.,若事件,A,1,A,2,A,n,两两互斥，则有：,P(,A,1,A,2,A,n,)=P(,A,1,)+,+,P(,A,n,),即互斥事件并的概率等于它们各自,概率之和,(,有限可加性,),；,4.,对两个事件,A,和,B,，若,A,B,则,有,:,P(,B,-,A,)=P(,B,)-P(,A,),P(,B,),P(,A,),。,3.,对任一事件,A,均有,证明：,5(,概率加法定理,).,对任意两个事件,A,B,，有,因,AB,，,A,AB,，,B,AB,两两互斥，且,由概率的可加性，有,P(,A,B,),=P(,AB,)+P(,A,AB,)+P(,B,AB,）,=,P(,AB,)+P(,A,),P(AB)+P(B),P(AB),=P(,A,)+P(,B,),P(,AB,).,A,B,=,AB,(,A,AB,),(,B,AB,),说明,推广到,n,个的情形,特别地，,n=,3,时，有,1.3,古典概率模型,I,.,什么是古典概率模型,如果试验,E,满足,(1).,试验结果只有有限种；,(2).,各种结果出现的可能性相同。,则称为,等可能概型,或,古典概型,。,II.,古典概率模型中事件概率求法,因,试验,E,的结果只有有限种，即样本点是有限个,:,1,2,n,。,=,1,2,n,，,i,是基本事件，且各自发生的概率相等。,于是，,有,1=P()=P(,1,2,n,),=,n,P(,i,),i,=1,2,n,。,从而，,P(,i,),=1/n,，,i,=1,2,n,.,因此，若事件,A,包含,k,个基本事件，即,则,III.,古典概模型举例,例,1,：,掷一颗均匀骰子，设,A,表示所掷结果为,“,四点或五点,”,，,B,表示所掷结果为,“,偶数点,”,，求,P(,A,),和,P(,B,),。,解：,由,n,=6,，,k,A,=2,得,P(,A,)=2/6=1/3,；,再由,k,B,=3,，得,P(,B,)=3/6=1/2,。,例,2,：,货架上有外观相同的商品,15,件，其中,12,件来自产地甲,3,件来自乙。现从,15,件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产地概率。,解：,从,15,件商品中取出,2,商品，共有,C,2,15,=,105,种取法，且每种取法都是等可能的，,令,A,=,两件商品都来自产地甲,k,A,=C,2,12,=66,B,=,两件商品都来自产地乙,k,B,=C,2,3,=3,，,事件,:,两件商品来自同一产地,=,A,B,且,A,与,B,互斥,A,B,包含基本事件数,66+3=69,。,故，所求概率,=69/105=23/35,。,例,3,：,n,个球随机地放入,N,(,N,n,),个盒子中，,若盒子的容量无限制,。求“每个盒子中至多有一球”的概率。（,分球模型,）,解,:,因,每个球都可以放入,N,个盒子中的任何一个，,故,每个球有,N,种放法。,由乘法原理，,将,n,个球放入,N,个盒子中共有,N,n,种不同的放法。,每个盒子中至多有一个球的放法,(,由乘法原理,):,N(,N,-,1),(,N,-,n,+1)=,A,N,n,种。,故，,P(,A,)=,A,n,n,/,N,n,.,注,：,N=,365,n,个人生日各不相同,的概率为,A,365,n,/365,n,。,于是,n,个人中至少有两人生日相同的概率为,1-,A,365,n,/365,n,。,如,(,生日问题,),：,在座有,n,个人，至少有两人生日相同的概率有多大（,B,）？,在,40,人左右的人群里,十有八九,会发生,两人或两人以上生日相同,这一事件。,把,n,个物品分成,k,组，使第一组有,n,1,个,第二组有,n,2,个,第,k,组有,n,k,个，且,n,1,+,n,2,+,+,n,k,=,n,，,则不同的分组方法数为,一个有用的公式：分堆公式,例,5,：,某公司生产的,15,件产品中，有,12,件正品,3,件次品。现将它们随机地分装在,3,个箱中,每箱装,5,件，设,A,=,每箱中恰有一件次品,B,=,三件次品都在同一箱中,。求,P(,A,),和,P(,B,),。,解：,15,件产品装入,3,个箱中，每箱装,5,件，有,种等可能的装法。,故基本事件总数为,把三件次品分别装入三个箱中，共有,3!,种装法。这样的每一种装法取定以后，把其余,12,件正品再平均装入,3,个箱中，每箱装,4,件，有,个基本事件。,再由乘法原理，可知装箱总方法数有,即,A,包含,从而，,把三件次品装入同一箱中,共有,3,种装法。这样的每一种装法取定以后,再把其余,12,件正品装入,3,个箱中,(,一箱再装,2,件,另两箱各装,5,件,),又有,个基本事件。故，,由乘法原理，知装箱方法,共有,即,B,包含,小结,概率的描述定义；,概率的公理化定义；,概率的主要性质；,古典概型中概率的定义及事件概率的求法：,若事件,A,包含,k,个基本事件，则有,P(,A,)=,k,(1/,n,)=,k,/,n,；,古典概型中随机事件概率的求法实例,。,