第二章 轴向拉伸和压缩.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,第二章 轴向拉伸和压缩,2,-,1,轴向拉伸和压缩的概念,工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短,。,屋架结构简图,3,拉压,轴向压缩，对应的力称为压力。,轴向拉伸，对应的力称为拉力。,力学模型如图,4,拉压,工程实例,拉伸压缩工程实例,7,拉压,一、内力,指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。,轴力与轴力图,求内力的方法,F,F,求内力方法,截面法,m,m,F,F,N,切:,假想沿,m-m,横截面将杆切开,留:,留下左半段或右半段,代:,将抛掉部分对留下部分的作用用内力代替,平:,对留下部分写平衡方程求出内力即轴力的值,F,F,N,轴力和轴力图,轴力符号,:,(,由变形决定）拉为正、压为负,轴力图：轴力沿杆件轴线的变化,由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。,F,F,m,m,F,F,N,F,F,N,轴力图,(,F,N,图,),显示横截面上轴力与横截面位置的关系。,F,(c),F,(f),轴力和轴力图,试画出图示杆件的轴力图。,已知F,1,=10kN；,F,2,=20kN；,F,3,=35kN；,F,4,=25kN；,1,1,例题2-1,F,N1,F,1,解：,1、计算杆件各段的轴力。,F,1,F,3,F,2,F,4,A,B,C,D,AB,段,BC,段,2,2,3,3,F,N3,F,4,F,N2,F,1,F,2,CD,段,2、绘制轴力图。,例题,2-2,：试作此杆的轴力图。,F,F,F,q,F,R,1,1,2,2,3,3,F,F,F,F,R,F=2ql,F,F,F,l,2l,l,解：,F,q,F,F,x,1,F,F,x,1,2,F,F,F,q,1,1,2,3,3,x,F,F,q=F/l,l,2l,l,F,F,N,图,FF,F,+,-,+,轴力和轴力图,16,拉压,练习,杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。,BD,段：,解：,DE,段：,AB,段：,注,：,内力的大小与杆截面的,大小无关，与材料无关。,轴力图要求：,1.,正负号,2.,数值,3.,阴影线与轴线垂直,30KN,20KN,30KN,40,20,10,+,+,2,-2,应力,拉,(,压,),杆内的应力,应力的概念,受力杆件,(,物体,),某一截面的,M,点附近微面积,A,上分布内力的平均集度即,平均应力,，其方向和大小一般而言，随所取,A,的大小而不同。,该截面上,M,点处分布内力的集度为 ，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为,总应力,总应力,p,法向分量,正应力,s,某一截面上法向分布内力在某一点处的集度,切向分量,切应力,t,某一截面上切向分布内力在某一点处的集度,拉,(,压,),杆横截面上的应力,(1),与轴力相应的只可能是正应力,s,，与切应力无关；,(2),s,在横截面上各点处,s,相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力,轴力,F,N,；横截面上各点处,s,不相等时，特定条件下也可组成轴力,F,N,。,21,拉压,变形前,1.,变形规律试验及平面假设：,试验现象：,1.,原来的纵向线仍然平行，伸长一致。,2.,原来的横向线相对移动，但仍然相互平行，仍垂直纵向线。（纵向纤维共同承担外力的作用）,假设：,1平面截面假设,：变形前的平面横截面在变形后仍然是平面横截面。,2.,内力是均匀分布的,。,a,b,c,d,受载后,P,P,d,a,c,b,拉（压）杆横截面上的应力,22,由此可知：杆件可以看成是有许多纵向纤维构成的。当其受到轴向挤压时，自杆件表面到内部所有的纵向纤维的变形都相等，因此，各纤维所受到的内力也完全相等。因此，应力在横截面上的分布是均匀的，而且应该与横截面垂直。,横截面上的轴力（内力）,=,横截面面积,注意：,1.,上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如,锲形变截面杆,，受拉伸,(,压缩,),时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。,2即使是,等直杆,，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。,圣维南原理,圣维南原理,力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响,横截面上的应力,例题,试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知,F,=50 kN,。,段柱横截面上的正应力,所以，最大工作应力为,s,max,=,s,2,=,-,1.1 MPa,(,压应力）,解：,段柱横截面上的正应力,(,压应力,),(,压应力,),2.3,拉压杆应力,例题,图示结构，试求杆件,AB、CB,的应力。已知,F,=20kN；,斜杆,AB,为直径20,mm,的圆截面杆，水平杆CB,为15,15的方截面杆。,F,A,B,C,解：,1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点,B,为研究对象,45,1,2,F,B,F,45,2.3,拉压杆应力,2、计算各杆件的应力。,F,A,B,C,45,1,2,F,B,F,45,例题2-2,斜截面上的应力,P,P,m,为了考察斜截面上的应力，我们仍然利用截面法，即假想地用截面,m-m,将杆分成两部分。并将右半部分去掉。,该截面的外法线用,n,表示，,法线与轴线的夹角为：,根据变形规律，杆内各纵向纤维变形相同，因此，斜截面上各点受力也相同。,p,设杆的横截面面积为,A，,A,则斜截面面积为：,由杆左段的平衡方程这是斜截面上与轴线平行的应力,m,斜截面上的应力,n,p,P,下面我们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力,斜截面的外法线仍然为,n,，,斜截面的切线设为,t,。,t,根据定义，,沿法线方向的应力为正应力,沿切线方向的应力为剪应力,利用投影关系，,为横截面正应力,斜截面上的应力,例题,试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：,d,=200 mm,，,=5 mm,，,p,=2 MPa,。,而,所以,解：,薄壁圆环,(,d,),在内压力作用下，径向截面上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法向力,F,N,后用式 求拉应力。,2.,3,轴向拉伸或压缩时的变形,细长杆受拉会变长变细，,受压会变短变粗,d,L,P,P,d-,D,d,L+,D,L,长短的变化，沿轴线方向，称为纵向变形,粗细的变化，与轴线垂直，称为横向变形,P,P,P,P,1、纵向变形,实验表明,变形和拉力成正比,引入比例系数,E,，,又拉压杆的轴力等于拉力,E,体现了材料的性质，,称为材料的,拉伸弹性模量,，,单位与应力相同,称为胡克（虎克）定律,显然，纵向变形与,E,成反比，也与横截面积,A,成反比,EA,称为抗拉刚度,为了说明变形的程度，令,称为纵向线应变，显然，伸长为正号，缩短为负号,也称为胡克定律,2、横向变形,P,P,P,P,同理，令,为横向线应变,实验表明，对于同一种材料，存在如下关系称为泊松比，是一个材料常数,负号表示纵向与横向变形的方向相反,是最重要的两个材料弹性常数，可查表,例题,如图所示杆系，荷载,P,=100 kN,，试求结点,A,的位移,A,。已知：,a,=30,，,l,=2 m,，,d,=25 mm,，杆的材料,(,钢,),的弹性模量为,E,=210 GPa,。,由胡克定律得,其中,1.,求杆的轴力及伸长,解：,结点,A,的位移,A,系由两杆的伸长变形引起，故需先求两杆的伸长。,由结点,A,的平衡,(,如图,),有,2.,由杆的总变形求结点,A,的位移,根据杆系的布置、约束、杆的材料以及受力情况均与通过结点,A,的铅垂线对称可知，结点,A,只有竖向位移,(如图,),。,亦即,画杆系的变形图，确定结点,A,的位移,由几何关系得,从而得,此杆系结点,A,的位移,(,displacement,),是因杆件变形,(,deformation,),所引起，但两者虽有联系又有区别。,变形是指杆件几何尺寸的改变，是个标量；位移是指结点位置的移动，是个矢量,，它除了与杆件的变形有关以外，还与各杆件所受约束有关。,2.,4,材料拉伸和压缩的力学性能,力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学性能,一 试件和实验条件,常温、静载,材料拉伸,材料的拉伸和压缩试验,拉伸试样,圆截面试样：,l,=10,d,或,l,=5,d,(,工作段长度称为标距,),。,矩形截面试样：或 。,试验设备：,(1),万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。,(2),变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。,压缩试样,圆截面短柱,(,用于测试金属材料的力学性能,),正方形截面短柱,(,用于测试非金属材料的力学性能,),50,试验仪器：万能材料试验机,二 低碳钢的拉伸,材料拉伸,材料拉伸,二 低碳钢的拉伸（含碳量,0.3%,以下）,明显的四个阶段,1,、弹性阶段,ob,比例极限,弹性极限,2,、屈服阶段,bc,（失去抵抗变形的能力）,屈服极限,3,、强化阶段,ce,（恢复抵抗变形的能力）,强度极限,4,、局部径缩阶段,ef,材料拉伸和压缩的力学性能,二 低碳钢的拉伸（含碳量0.3%以下）,两个塑性指标,断后伸长率,断面收缩率,为塑性材料,为脆性材料,低碳钢的,为塑性材料,材料拉伸,材料拉伸和压缩的力学性能,材料拉伸,三 卸载定律及冷作硬化,1,、弹性范围内卸载、再加载,2,、过弹性范围卸载、再加载,即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，这就是,卸载定律,。,d,点卸载后，弹性应变消失，遗留下塑性应变。,d,点的应变包括两部分。,d,点卸载后，短期内再加载，应力应变关系沿卸载时的斜直线变化。,材料的应力应变关系服从胡克定律，即比例极限增高，伸长率降低，称之为,冷作硬化或加工硬化,。,材料拉伸和压缩的力学性能,材料拉伸,四 其它材料拉伸时的力学性质,对于没有明显屈服阶段的塑性材料国标规定：可以将产生,0.2%,塑性应变时的应力作为屈服指标。并用,p0.2,来表示。,材料拉伸,四 其它材料拉伸时的力学性质,对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为,0.5%,。为典型的脆性材料。,bt,拉伸强度极限（约为,140MPa,）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。,割线弹性模量,用于基本上无线弹性阶段的脆性材料,铸铁拉伸时的应力应变曲线,一 试件和实验条件,常温、静载,材料压缩,二 塑性材料（低碳钢）的压缩,屈服极限,比例极限,弹性极限,拉压在屈服阶段以前,完全相同。,E,-弹性摸量,材料压缩,低碳钢材料轴向压缩时的试验现象,材料压缩,三 脆性材料（铸铁）的压缩,脆性材料的抗拉与抗压性质完全不同,对于脆性材料（铸铁），压缩时的应力应变曲线为微弯的曲线，试件压断前。出现明显的屈服现象（鼓形），并沿着与轴线,45,55,度的斜面压断。,bc,压缩强度极限（约为,800MPa,）。它是衡量脆性材料（铸铁）压缩的唯一强度指标。远大于拉伸时的强度极限,试样沿着与横截面大致成,50,55,的斜截面发生错动而破坏。,铸铁压缩破坏断口：,铸铁压缩破坏,几种非金属材料的力学性能,(1),混凝土压缩时的力学性能,使用标准立方体试块测定,端部加润滑时的实验情况,端部未加润滑时的实验情况,压缩强度,s,b,及破坏形式与端面润滑情况有关。以,s,e,曲线上,s,=,0.4,s,b,的点与原点的连线确定,“,割线弹性模量,”,。,混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如,C20,混凝土是指经,28,天养护后立方体强度不低于,20 MPa,的混凝土。,压缩强度远大于拉伸强度。,木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为木材是,正交各向异性材料,。,松木在顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的,s,e,曲线如图。,(2),木材拉伸和压缩时的力学性能,木材的横纹拉伸强度很低,(,图中未示,),，工程中也避免木材横纹受拉。,(3),玻璃钢（玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料）,纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的,s,e,曲线如图中,(,c,),，纤维增强复合材料所用的纤维尚有碳纤维、硼纤维等。,2.,5,轴向拉伸和压缩时的强度计算,一 安全系数和许用应力,要使构件有足够的强度,工作应力应小于材料破坏时的极限应力,工作应力,为了保证构件的正常工作和安全，必须使构件有必要的强度储备。即工作应力应小于材料破坏时的极限应力的若干分之一。,n,安全系数,是大于1的数，其值由设计规范规定。把极限应力除以安全系数称作,许用应力,。,极限应力,塑性材料,脆性材料,塑性材料的许用应力,n,s,塑性材料的安全系数脆性材料的许用应力,n,b,脆性材料的安全系数,2.,5,轴向拉伸和压缩时的强度计算,二 强度条件,要使拉压杆有足够的强度，要求杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力，即强度条件为,根据强度条件，可以解决三类强度计算问题,1、强度校核：,2、设计截面：,3、确定许可载荷：,71,常温、静载一般工作条件下 几 种 常 用 材 料 的 许 用 应 力 约 值,材料,许用应力（,MPa),+,-,Q215(A,2,),140,140,Q235(A,3,),160,160,45,钢（调质）,190,190,16Mn,钢,240,240,铜,30-120,30-120,铝,29-78,29-78,灰铸铁,31-78,120-150,松木（顺纹）,6.9-9.8,9.8-11.7,混凝土,0.098-0.69,0.69-8.8,材料力学,例题,每个螺栓承受轴力为总压力的1/6,解：,油缸内总压力,根据强度条件,即螺栓的轴力为,得,即,螺栓的直径为,油缸盖和缸体采用6个螺栓联接。已知油缸内径,D=350mm，,油压,p=1MPa。,若螺栓材料的许用应力,=40MPa，,求螺栓的直径。,例题,试选择计算简图如图中,(,a,),所示桁架的钢拉杆,DI,的直径,d,。已知：,F,=,16 kN,，,s,=,120 MPa,。,2.,求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径,由于圆钢的最小直径为,10 mm故钢拉杆,DI,采用,f,10,圆钢。,解,:,1.,由图中,(,b,),所示分离体的平衡方程得,2.,5,轴向拉伸和压缩时的强度计算,例题,图示结构，已知斜杆,AC,为50,50,5的等边角钢，水平杆,AB,为10号槽钢，材料的许用应力为,=120MPa,。,试求许可载荷,F,。,解：,1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点,A,为研究对象,2、根据斜杆的强度，求许可载荷,A,F,查表得斜杆,AC,的面积为,A,1,=2,4.8cm,2,2.,5,轴向拉伸和压缩时的强度计算,3、根据水平杆的强度，求许可载荷,A,F,查表得水平杆,AB,的面积为,A,2,=2,12.74cm,2,4、许可载荷,例题,图中,(,a,),所示三角架,(,计算简图,),，杆,AC,由两根,80 mm,80 mm,7 mm,等边角钢组成，杆,AB,由两根,10,号工字钢组成。两种型钢的材料均为,Q235,钢，,s,=170 MPa,。试求许可荷载,F,。,解,:,1.,根据结点,A,的受力图,(,图,b,),，得平衡方程：,(,拉,),（压）,解得,2.,计算各杆的许可轴力,先由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积，再乘以,2,得,由强度条件 得各杆的许可轴力：,杆,AC,的横截面面积,杆,AB,的横截面面积,3.,求三角架的许可荷载,先按每根杆的许可轴力求各自相应的许可荷载：,此例题中给出的许用应力,s,=,170 MPa,是关于强度的许用应力；对于受压杆,AB,实际上还需考虑其稳定性，此时的许用应力将小于强度许用应力。,该三角架的许可荷载应是,F,1,和,F,2,中的小者，所以,81,2.6,拉压超静定问题,1,、超静定问题：,单凭静力平衡方程不能确定出全部未知力（外力、内力、应力）的问题。,一、超静定问题及其处理方法,拉压,2,、超静定问题的处理方法：,平衡方程、,变形协调方程,、,物理方程,相结合，进行求解。,82,例,设,1,、,2,、,3,三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：,L,1,=L,2,=L,、,L,3,；各杆面积为,A,1,=A,2,A,、,A,3,；各杆弹性模量为：,E,1,=E,2,=E,、,E,3,。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。,83,、几何方程,变形协调方程：,、物理方程,弹性定律：,、补充方程：由几何方程和物理方程得。,解：,、平衡方程,:,、解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得,:,拉压,84,超静定问题的解题方法步骤：,、平衡方程；,、几何方程,变形协调方程、物理方程,胡克定律：、补充方程：由几何方程和物理方程得；、,解由平衡方程和补充方程组成的方程组,。,拉压,85,例,木制短柱的四角用四个,4040 4,的,等边角钢,加固，角钢和木材的许用应力分别为,1,=160MPa,和,2,=12MPa,，,弹性模量分别为,E,1,=200G,Pa,和,E,2,=10G,Pa,；,求许用载荷,P,。,、几何方程,、物理方程及,补充方程,：,解：,、平衡方程,:,拉压,86,拉压,、解平衡方程和补充方程，得,:,角钢面积由型钢表查得,:A,1,=3.086,c,、求结构的许可载荷：方法,1:,87,拉压,例,两端固定直杆受轴向外力,P,作用。截面尺寸如图所示，求两端反力。,解,:,P,88,例：图示结构中,AB,为刚体，,1,、,2,杆的,EA,相同，试求,1,、,2,杆的轴力。,解：取横梁,AB,为研究对象，画受力图。,变形协调方程：,拉压,89,拉压,联立，解得：,kN,kN,90,本章结束,