概率论与数理统计JA(4.1).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,2,方差,3,几种重要随机变量的数学,期望和方差,4,协方差及相关系数,5,矩,(1),去掉最高、低分的启示,算术平均数,是最常用的技巧，平均数作为衡量标,准科学合理吗？,班级有,30,个学生，其中两个学生数学考试只得,2,分,和,10,分。此外，有,5,个学生得,90,分，,22,个得,80,分，,1,个得,78,分。此时该班数学成绩的平均分是：,确实，,该结果不能反映多数人的真实状况,(80,分左,右合理）。去掉一个最低分，总平均约是,79.2,分，,去掉两个最低分，总平均则是,81.7,分。这似乎比较,符合实际了。,第四章 随机变量的数字特征,演员竞赛：演员表演完后，先由,10,个（或若干个）,评委亮分，裁判长总要,去掉最高分和最低分,，再用其,余的,8,个数据的,平均值,作为最后得分。,算术平均数,有两个缺点,：受异常值的影响；计算,比较复杂（不能一眼看出）。,去掉最高分或最低分，有“弄虚作假”之嫌，不见得都合适。,平均数就是中等水平,-,是不合适的。,上述,30,个学生的数学成绩中，总平均是,76.67,分。,某同学得,78,分，超过平均数，,似乎该是“中上”水平,了，其实他是倒数第三名！,第四章 随机变量的数字特征,例,:,在体操比赛中，规定有四个裁判给一个运动员,打分。例如：,9.30,，,9.35,，,9.45,，,9.90(,按顺序排列,),给分是当中两项的平均值：,9.4,。,这样给分规定，避免了过高分数,9.90,的影响，同时,9.40,分处于四个裁判分的,中间位数,，不偏不倚，十,分公正。,第四章 随机变量的数字特征,怎样刻划“中等水平”呢？,-,中位数。,例：,上面的,30,个学生的数学成绩依大小排列后，第,15,位和,16,位都是,80,分，所以,中位数是,80,分,。那么,78,分,低于此数，当然是,中下水平,无疑了。,众数,也是常常使用的代表数，即数据中重复出现次,数最多的那个数据。,比如，美国某厂职工的月工资数统计如下：,月工资数（美元）得此工资的人数,10000 1,（总经理）,8000 2,（副总经理）,5000 2,（助理）,2000 5,1000 12,900 18,800 23,700 5,500 2,第四章 随机变量的数字特征,如何来选取该厂的月工资代表数呢？,经计算，平均值为,1387,美元，中位数为,900,美元，众,数为,800,美元。,工厂主为了显示本厂职工的收入高，用少数人的高,工资来提高平均数，故采用,1387,美元。,工会领导人则不同意，主张用众数,800,美元（职,工中以拿每月,800,美元的人最多）。,而税务官则希望取中位数，以便知道目前的所得,税率会对该厂的多数职工有利还是不利，以便寻求,对策。,第四章 随机变量的数字特征,(2)“,伟大的”期望值,例如，,一个体户有一笔资金，如经营西瓜，风险,大但利润高（成功的概率为,0.7,，获利,2000,元）；,如经营工艺品，风险小但获利小（,95,会赚，但,利润为,1000,元）。,究竟该如何决策？于是计算期望值。若经营西,瓜，期望值,E1=0.7*2000=1400,元。而经营工艺品,为,E2=0.95*l000=950,元。,所以权衡下来，情愿“搏一记”，去经营西瓜，,因它的期望值高。,第四章 随机变量的数字特征,再举一个用期望值进行,决策,的例子。,某投资者有,10,万元，有两种投资方案：一是购买股,票二是存入银行获取利息。,买股票的收益取决于经济形势：形势好,(,获利,40000,元,),、形势中等,(,获利,10000,元,),、形势不好,(,损失,20000,元,),。,如果是存入银行,(,年利率为,8,),，即可得利息,8000,元。,又设经济形势好、中、差的概率分别为,30,、,50,和,20,。,试问应选择哪一种方案？,第四章 随机变量的数字特征,下面给出采用期望标准的解法。,第四章 随机变量的数字特征,按最大收益原则，取期望收益高的方案，淘汰期,望收益低的方案，,所以应采用购买股票的方案。,买股票和存银行的期望值分别为,第四章 随机变量的数字特征,设,X,表示获利,它是离散型随机变量,分布律为,X,40000 10000 -20000,0.3 0.5 0.2,则获利的期望值为,数学期望的定义,随机变量函数的数学期望,数学期望的性质,1,数学期望,第四章 随机变量的数字特征,一、数学期望定义,1,）离散型,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,设离散型随机变量,X,的分布律为：,若级数 绝对收敛，则称随机变量,X,的数,学期望存在，记作,EX,，,且,数学期望也称为,均值,。,2,）连续型,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,设连续型随机变量,X,的概率密度为 ，,若积分 绝对收敛，则称积分,的值为,X,的数学期望。,记为,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,说 明,变化的平均值,的数学期望刻划了,X,X,),1,(,的数学期望表示的是随,机变量,由于随机变量,X,),2,(,变化的平均值,X,因此，只有当级数,的求,和顺序无关,的和与其级数,=,1,n,n,n,p,x,绝对收敛时，才能,保证级数,=,=,1,1,n,n,n,n,n,n,p,x,p,x,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,例,2,，其密度函数为,分布,服从,设随机变量,Cauchy,X,(,),(,),+,-,+,=,x,x,x,f,2,1,1,1,p,由于,(,),+,-,dx,x,f,x,+,+,=,0,2,1,2,dx,x,x,p,+,-,+,=,dx,x,x2,1,1,p,(,),+,+,=,0,2,1,ln,1,x,p,(,),不绝对收敛，,这表明积分,+,-,dx,x,xf,不存在,因而,EX,例,3,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,此例说明了数学期望更完整地刻化了,X,的均值状态。,设离散型随机变量,X,的分布律为：,设离散型随机变量,X,的分布律为：,X,0 1 2,0.1 0.2 0.7,X,0 1 2,0.7 0.2 0.1,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,例,4,甲、乙两人射击，他们,的射击水平由下表给出,:,：甲击中的环数；,X,：乙击中的环数；,Y,试问哪一个人的射击水,平较高？,第四章 随机变量的数字特征1,数学期望,解：,甲、乙,击中的,的平均环数为,因此，从平均环数上看,，甲的射击水平要比乙的好,例,5,第四章 随机变量的数字特征,按规定，火车站每天,8:009:00,9:0010:00,都恰,有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且,两者到站的时间相互独立，其规律为：,到站时间,8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50,概率,1/6 3/6 2/6,(1),旅客,8:00,到站，求他侯车时间的数学期望。,(2),旅客,8:20,到站，求他侯车时间的数学期望。,1,数学期望,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,解：,X,10,30,50,1/6 3/6 2/6,(1),旅客,8,：,00,到达,（,2,）旅客,8,：,20,到达,X,的分布率为,X,的分布率为,X,10 30 50 70 90,3/6 2/6 (1/6)(1/6)(3/6)(1/6)(2/6)(1/6),设旅客的候车时间为,X,（以分记）,二、随机变量函数的数学期望,定理,1,：,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,设,Y,=g(,X,),g(,x,),是连续函数，,(2),若,X,的概率密度为,f,(,x,),，,（,1,）若,X,的分布率为,定理,2,：,第四章 随机变量的数字特征,若,(,X,Y,),是二维随机变量，,(1),若,(,X,Y,),的分布律为,(2),若,(,X,Y,),的概率密度为,f,(,x,y,),，且,g,(,x,y,),是二元连续函数，,1,数学期望,第四章 随机变量的数字特征,解：,例,6,设,(,X,Y),在区域,A,上服从均匀分布，其中,A,为,x,轴,y,轴和直线,x,+,y,+1=0,所围成的区域。求,EX,，,E,(-3,X,+2,Y,),，,EXY,。,1,数学期望,第四章 随机变量的数字特征,例,7,国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量,是随机变量,X,（吨），,X,U2000,4000,，每售出这,种商品,一吨,，可为国家挣得外汇,3,万元，但销售不出,而囤积在仓库，则,每吨,需浪费保养费,1,万元。,问需要,组织多少货源，才能使国家平均收益最大。,设,y,为预备出口的该商品的数量，则,用,Z,表示国家的收益（万元）,解：,1,数学期望,第四章 随机变量的数字特征,下面求,EZ,，,并求,y,使,EZ,达到,最大,值，,即，组织,3500,吨此种商品是最佳的决策。,例,8(,续）,1,数学期望,三、数学期望的性质,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,.,),4,EXEY,EXY,Y,X,=,独立，则,若,例,8,第四章 随机变量的数字特征,对,N,个人进行验血，有两种方案：,（,2,）将采集的每个人的血分成两份，然后取其,中的一份，按,k,个人一组混合后进行化验（设,N,是,k,的倍数），若呈阴性反应，则认为,k,个人的血都,是阴性反应，这时,k,个人的血只要化验一次；如,果混合血液呈阳性反应，则需对,k,个人的另一份,血液逐一进行化验，这时,k,个人的血要化验,k,+1,次,;,（,1,）对每人的血液逐个化验，共需,N,次化验；,假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是,p,，且各,次化验结果是相互独立的。,试说明适当选取,k,可使第二个方案减少化验次数。,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,解：,设,X,表示第二个方案下的总化验次数，,表示第,i,个组的化验次数，则,例,8,（续）,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,只要选,k,使,即,就可使第二个方案减少化验次数；,当,q已知时，,.,1,p,q,-,=,第四章 随机变量的数字特征,例如：当,p,=0.1,，,q,=0.9,时，可证明,k,=4,可使最小；,这时，,工作量将减少,40%.,1,数学期望,就可使化验次数最少。,第四章 随机变量的数字特征,例,9,一民航送客载有,20,位旅客自机场开出，旅客,有,10,个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客,下车就不停车。以,X,表示停车的次数。,求,EX,（设,每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅,客是否下车相互独立）。,解：,1,数学期望,第四章 随机变量的数字特征,例,10,对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产,品不合格，并结束抽样。若抽样到第,n件仍未发现,废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽,查到废品的概率是,p,，试求平均需抽查的件数。,解：,设,X,为停止检查时，抽样的件数，,则,X,的可能取值为,1,2,n,，且,1,数学期望,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,第四章 随机变量的数字特征,例,11,用某台机器生产某种产品，已知正品率随着,该机器所用次数的增加而指数下降，即,假设每次生产,100,件产品，试求这台机器前,10,次生,产中平均生产的正品总数。,解：,设,X,是前,10,次生产的产品中的正品数，并设,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,所以,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,某工厂的自动生产线加工的某零件的内径,X,（单位：,mm,）服从 规定该零件的内径小于,10 mm,或大于,12 mm,时为不合格品，其余的情形为合格品。又已知该零件的销售利润,Y,与,X,有如下关系：,思考题：,问零件的平均内径 取什么值时，销售一个零件的平均利润最大？,第四章 随机变量的数字特征,1,数学期望,本节小结：,1,）数学期望的定义。,2,）随机变量函数的数学期望。,3,）数学期望的性质。,上一节课内容复习,1,）熟练掌握期望定义,会求随机变量函数的数学期望,.,（下面三组公式是本章最重要的基础公式）,设,Y,=g(,X,),g(,x,),是连续函数，,2,）掌握数学期望的性质,会用性质求期望,.,),4,EXEY,EXY,Y,X,=,独立，则,若,3,）熟练掌握方差的定义和性质；,(,),2,2,EX,DX,EX,+,=,(,),2,2,EX,EX,-,=,称,Y,是随机变量,X,的,标准化,了的随机变量。,则,EY=,0,DY=,1,。,2,方差,第四章 随机变量的数字特征,方差的定义,方差的性质,切比晓夫不等式,一、方差的定义,2,方差,第四章 随机变量的数字特征,在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度，,可用,E|X-EX|,，但不方便；所以通常用,设,X,是随机变量，若 存在，,来度量随机变量,X,与其均值,EX,的偏离程度。,称其为随机变量,X,的方差，记作,DX,或,Var,(,X,),，即：,1,）定义：,离散型：,连续型：,第四章 随机变量的数字特征,2,）方差公式,注：,方差描述了随机变量的取值与其均值的偏 离程度。,由此式还可得：,(,),2,2,EX,EX,DX,-,=,(,),2,EX,X,E,DX,-,=,证明：,(,),(,),(,),2,2,2,EX,X,EX,X,E,+,-,=,(,),(,),2,2,2,EX,EX,EX,EX,+,-,=,(,),(,),2,2,2,2,EX,EX,EX,+,-,=,(,),2,2,EX,EX,-,=,(,),2,2,EX,DX,EX,+,=,2,方差,第四章 随机变量的数字特征,例,1,甲、乙两人射击，他们,的射击水平由下表给出,:,X,：甲击中的环数；,Y,：乙击中的环数；,试问哪一个人的射击水,平较高？,2,方差,第四章 随机变量的数字特征,例,1,（续）,解：,比较两个人,击中,的平均环数,甲击中的平均环数为,乙,击中,的平均环数为,由于,，,DX,DY,这表明乙的射击水平比,甲稳定,因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，但两个人射击环数的方差分别为,二、方差的性质,第四章 随机变量的数字特征,证,3,）：,第四章 随机变量的数字特征,称,Y,是随机变量,X,的,标准化,了的随机变量。,则,EY=,0,DY=,1,。,性质,4,）的证明将在后面给出。,2,方差,第四章 随机变量的数字特征,例,14,解：,第四章 随机变量的数字特征,先求：,例,14,（续）,2,方差,第四章 随机变量的数字特征,则：,第四章 随机变量的数字特征,三、定理：（,切比晓,夫不等式）,则对任意,设随机变量,X,有数学期望,证明：,(,只证,X,是连续型,),例如：在上面不等式中，取 ，有：,2,方差,第四章 随机变量的数字特征,这个不等式给出了随机变量,X,的分布未知情况下，事件,的概率的一种估计方法。,2,方差,第四章 随机变量的数字特征,例,15,设种子的良种率为,1/6,，任选,600,粒，试用切比晓,夫（,Chebyshev,）不等式估计：这,600,粒种子中良种所占比例与,1/6,之差的绝对值不超过,0.02,的概率。,解：,2,方差,第四章 随机变量的数字特征,例,16,2,方差,第四章 随机变量的数字特征,例,16,（续）,我们有：,由此例及方差的性质，,(,),为常数,C,C,X,P,1,=,=,的充分必要条件为,0,=,DX,2,方差,第四章 随机变量的数字特征,小结：,1,）方差的定义；,2,）方差的性质；,3,）切比晓夫不等式。,第四章 随机变量的数字特征,3.,几种重要随机变量,的数学期望及方差,两点分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,正态分布,第四章 随机变量的数字特征,2,）二项分布,1,）两点分布,3,几种期望与方差,方法,1,：2,1,1,0,n,i,p,X,P,q,X,P,i,i,L,=,=,=,=,=,则,第四章 随机变量的数字特征,，,所以,方法,1,说明了二项分布与两点分布的关系。,即,3,几种期望与方差,3,几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,方法,2,：,第四章 随机变量的数字特征,3,几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,3,几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,3,）泊松分布,设,X,服从参数为,的,泊松分布，,3,几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,3,几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,4,）均匀分布,3,几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,5,）正态分布,作变换,3,几种期望与方差,第四章 随机变量的数字特征,说明：,第四章 随机变量的数字特征,第四章 随机变量的数字特征,3,几种期望与方差,注意：,在上一节用切比晓夫不等式估计概率有,因此，对于正态随机变量,X,来说，它的值落在区间,x,0,内几乎是肯定的。,第四章 随机变量的数字特征,3,几种期望与方差,要求：熟记,两点分布、二项分布、泊松分布、,均匀分布、正态分布的期望值和方差值。,4,协方差及相关系数,第四章 随机变量的数字特征,协方差的定义,协方差的性质,相关系数的定义,相关系数的性质,4 协方差,第四章 随机变量的数字特征,一、协方差,称,Cov,(,X,Y,),=E,(,X EX,)(,Y-EY,),=E XY EX EY,为随机变量,X,Y,的,协方差,.,C,ov,(,X,X,)=,DX,称为随机变量,X,Y,的,相关系数,。,是一个无量纲的量；,1）,协方差的定义,2）相关系数的定义,4 协方差,第四章 随机变量的数字特征,证明：,E XY=EX EY,所以,Cov,(,X,Y,),=,0,.,由数学期望的性质,:,定理,：,若,X,，,Y,独立，则,X,Y,不相关。,(反之，不然）,称,X,Y,不相关,，,此时,Cov,(,X,，,Y,)=0.,若,X,，,Y,独立，,注意：,若,E,(,X,EX,)(,Y,-,EY,),则,X,，,Y,一定相关，且,X,，,Y,一定不独立。,即,EXY,-,EXEY,二、协方差的性质,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,1),Cov,(,X,Y,)=,Cov,(,Y,X,),2),Cov,(,aX,，,bY,)=,abCov,(X,，,Y,),；,3),Cov,(,aX,+,bY,cZ,)=,acCov,(,X,Z,)+,bcCov,(,Y,Z,);,5),X,，,Y,不相关,COV,(,X,Y,),=E,(,X EX,)(,Y-EY,),三、相关系数的性质,证明：,令：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,求,a,，,b,使,e,达到最小。,令：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,得：,)DX,Y,X,Cov,=,第四章 随机变量的数字特征,第四章 随机变量的数字特征,即,由上式得,:,4 协方差,现在证明：,由上面知此时,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,从而,所以,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,反之，若存在 使,，,这时,故,则,故,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,说 明,X,与,Y,之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。,X,与,Y,不相关，但不一定相互独立。,程度的量,之间线性关系,紧密,与,相关系数是表征随机变,量,Y,X,存在着线性关系；,之间以,概率,与,1,Y,X,之间的线性关系越弱；,与,Y,X,时，,越接近于,当,0,XY,r,时，,当,1,=,XY,r,时，,当,0,=,XY,r,(,不相关,).,之间不存在线性关,系,与,Y,X,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,例1,(,),，记,，,，,，,是二个随机变量，已知,，,设,1,Cov,4,1,=,=,=,Y,X,DY,DX,Y,X,Y,X,Y,X,-,=,-,=,2,2,h,x,，,试求：,xh,r,解：,(,),Y,X,D,D,2,-,=,x,(,),Y,X,DY,DX,，,Cov,4,4,-,+,=,13,=,(,),Y,X,D,D,-,=,2,h,(,),Y,X,DY,DX,，,Cov,4,4,-,+,=,4,=,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,(,),h,x,，,Cov,(,),Y,X,Y,X,-,-,=,2,2,Cov,，,(,),X,X,，,Cov,2,=,(,),X,Y,，,Cov,4,-,(,),Y,X,，,Cov,-,(,),Y,Y,，,Cov,2,+,(,),DY,Y,X,DX,2,Cov,5,2,+,-,=,，,5,=,所以，,(,),h,x,h,x,r,xh,D,D,，,Cov,=,4,13,5,=,26,13,5,=,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,由上述知：,则：,例2,设(,X,，,Y,),服从二维正态分布，求：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,令,：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,第四章 随机变量的数字特征,第四章 随机变量的数字特征,故,4 协方差,例3,证明：,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,2）,则根据切比晓夫不等式有,3）,思考题：,1),第四章 随机变量的数字特征,4 协方差,小结：,1）协方差的定义和性质；,2）相关系数的定义性质；,3）,不相关的定义及等价条件；,4）独立性与不相关性的关系；,5）二维正态分布的不相关性与独立性等价。,5,矩,第四章 随机变量的数字特征,矩,二维正态分布的性质,一、矩的定义,5,矩,第四章 随机变量的数字特征,若 存在，称之为,X,的,k,阶中心矩。,若 存在，称之为,X和,Y,的,k+l,阶混合中心矩。,所以,EX,是一阶原点矩，,DX,是二阶中心矩，,协方差,Cov,(,X,，,Y,),是二阶混合中心矩。,第四章 随机变量的数字特征,5,矩,例1,第四章 随机变量的数字特征,第四章 随机变量的数字特征,5,矩,第四章 随机变量的数字特征,5,矩,第四章 随机变量的数字特征,5,矩,二、二维正态分布的性质,第四章 随机变量的数字特征,5,矩,服从一维正态分布。,二维正态分布。,相互独立,第四章 随机变量的数字特征,5,矩,例2,解：,第四章 随机变量的数字特征,5,矩,求随机变量,X,和,Y,的密度函数,(2)问,X,和,Y,是否独立？为什么？,第四章 随机变量的数字特征,则,解：,由题意，不妨设二维随机变量,例3（续,）,5,矩,第四章 随机变量的数字特征,因此有,5,矩,且,例3（续,）,第四章 随机变量的数字特征,5,矩,随机变量,X,和,Y,的相关系数,例3（续,）,第四章 随机变量的数字特征,（2）由题设,例3（续,）,5,矩,思考题：,第四章 随机变量的数字特征,5,矩,小结：,1）矩的定义.,2）二维正态分布的性质.,且它们独立，,若,),(,),(,2,2,s,m,s,m,N,Y,N,X,1 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握,它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学,期望和方差。,2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀,分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。,3 给出了切比晓夫不等式，要会用,切比晓夫,不等式,作简单的概率估计。,4 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的,性质与计算。,5 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价,性。,6 给出了矩，,二,维正态分布的性质,。,第四章 小 结,第五章 大数定律及中心极限定理,1 大数定律,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,1,大数定律,大数定律的定义,切比晓夫大数定律,贝努里大数定律,辛钦大数定律,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,问题：,测量一个工件时，由于测量具有误差，,为什么,以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的,次数足够多，总可以达到要求的精度？,我们把这问题给出数学表达：,这里反映了什么样的客观统计规律呢？,如果工件的真值为,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,即大量测量值的算术平均值具有稳定性。,这就是大数定律所阐述的。,测量的经验就是：,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,定义1,若对任意,想想：,数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列 收敛性的区别。,一、定义,第五章,大数定律及中心极限定理,定义2,对任意,1 大数定律,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,定理1,回忆数列的性质，比较它们的相似和不同性。,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,定理2,（,切比晓,夫,大数,定律,）,且具有相同的数学,期望及方差，,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,由切比晓夫不等式得：,证：,思考：,能否把定理中独立性条件减弱？,第五章,大数定律及中心极限定理,定理3,（贝努里大数定律）(,Bernoulli,大数定律),证：,令,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,由定理2有,该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义,1 大数定律,1 大数定律,第五章,大数定律及中心极限定理,注：,贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。,定理4,（辛钦大数定律）,且具有数学期望,思考：,比较辛钦大数定律与,切比晓夫,大数定律条件的 差别及强弱。,第五章,大数定律及中心极限定理,2,中心极限定理,定义,独立同分布的中心极限定理,德莫佛-拉普拉斯定理,用频率估计概率时误差的估计,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,一、定义,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,定理1,(列维-林德伯格定理）（,Levy-Lindberg),（独 立同分布的中心极限定理）,中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。,二、中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,由定理1有结论成立。,定理2,（德莫佛-拉普拉斯定理）,(,De Moivre-Laplace),证明：,由二项分布和两点分布的关系知,其中 相互独立且都服从于两点分布，且,2 中心极限定理,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,推论：,说明：,这个公式给出了,n,较大时二项分布的概率 计算方法。,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,例1,车间有200台车床，它们独立地工作着，开,工率为0.6,开工时耗电各为2千瓦，问供电所至少,要供给这个车间多少电力才能以不低于99.9%的概率保证这个车间正常生产。,设至少要供给这个车间,r,千瓦电才能以99.9%的概,率保证这个车间正常生产。由题意有,解：,记某时刻工作着的车床数为,X,，,则,X,B(200,0.6).,第五章,大数定律及中心极限定理,即供给282千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车,间正常生产。,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,用频率估计概率时误差的估计：,由上面的定理知,用这个关系式可解决许多计算问题。,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,第一类问题是,第二类问题,是,问最少应做多少次试验？,这时只需求满足下式的最小的,n,第三类问题,是,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,例2,今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能,以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的,比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的良种,粒数在哪个范围内？,解：,由德莫佛-拉普拉斯定理,第五章,大数定律及中心极限定理,故近似地有,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,良种粒数,X,的范围为,2 中心极限定理,第五章,大数定律及中心极限定理,例3,系统由100个相互独立起作用的部件组成，每,个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有,85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。,解：,由德莫佛-拉普拉斯定理有,则,X,B(100,0.1)。,则整个系统能正常工作当且仅当,设,X,是损坏的部件数，,第五章,大数定律及中心极限定理,例4,一加法器同时收到20个噪声电压，,设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上,服从均匀分布，记,2 中心极限定理,一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。,例5,解：,设最多可装,n,箱，保障不超载的概率大于0.977。,由中心极限定理有,第五章,大数定律及中心极限定理,2 中心极限定理,例5（续）,因此最多可装,98,箱，保障不超载的概率大于0.977。,第五章,大数定律及中心极限定理,1),了解大数定律的意义和内容，理解贝努里、辛,钦大数定律，了解切比晓夫大数定律。,第五章,小 结,要求：,1),大数定律的定义，贝努里、辛钦大数定律，切比,晓夫大数定律；,主要内容：,2),中心极限定理的定义，独立同分布的中心极限,理和德莫佛-拉普拉斯定理及应用。,2),理解中心极限定理的含义及其客观背景，要掌,握独立同分布的中心极限定理和德莫佛-拉普拉,斯定理，会利用中心极限定理解决一般实际应,用问题。,第六章 参数估计,2,点估计,1,样本与统计量,3,估计量的评选标准,4,正态总体统计量的分布,5,置信区间,第六章 参数估计,总体,个体,样本,统计量,1,样本与统计量,1,样本与统计量,第六章 参数估计,一、总体和个体,1,）总体：研究对象的某项数量指标的值的全体。,2,）个体：总体中的每个元素为个体。,例如：,某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体每一,个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全,体一个总体，每个男生的身高是一个个体。,由定义知：,若 为,X,的一个样本，则 的联合分布函数为：,定义：,设,X,是具有分布函数,F,的随机变量，若,是,具有同一分布函数,F,的,相互独立,的随机变量，则称,为从总体,X,中得到的容量为,n,的简单,随机样本,，,简称为样本，其观察值,二、样本,1,样本与统计量,第六章 参数估计,若设,X,的概率密度为,f,(,x,),，则 的联合概率密度为：,若设,X,的分布律为 ，则 的联合分布律为：,例,1,1,样本与统计量,第六章 参数估计,例,2,解：,1,样本与统计量,第六章 参数估计,例,3解：,1,样本与统计量,第六章 参数估计,例,4,解：,1,样本与统计量,第六章 参数估计,三、统计量,注：统计量是随机变量。,1,）定义,：,设 为来自总体,X,的一个样本，,g,是的函数，且,g,中不含任何,未知,参数，则称,1,样本与统计量,第六章 参数估计,例,5,设 为来自总体 的一个样本，,问下列随机变量中那些是统计量,2,）常用的统计量,样本均值,样本方差,1,样本与统计量,第六章 参数估计,证明：,1,样本与统计量,第六章 参数估计,它们的观察值分别为：,样本标准差,样本,k,阶原点矩,样本,k,阶中心矩,1,样本与统计量,第六章 参数估计,分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本,k,阶原点矩、样本,k,阶中心矩的,观察值,。,统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布称为,抽样分布,。,1,样本与统计量,第六章 参数估计,则,3,）结论：,设为来自总体,X,的一个样本，,请记熟此结论！,1,样本与统计量,第六章 参数估计,1,样本与统计量,第六章 参数估计,2,点估计,点估计,矩法,极大似然法,第六章 参数估计,第六章 参数估计,在数理统计学中，总体的分布是未知的。它包括,两种情形：,1,）,总体分布的类型是已知的，但其中包含未知参数。,我们的任务就是通过样本来估计这些未知参数。这就,是参数估计问题。,2,）,总体分布的类型是未知的。我们的任务就是通过,样本来估计总体的分布。这就是非参数估计问题。,我们这里只讨论参数估计问题。,2,点估计,例：,2,点估计,第六章 参数估计,一、,点估计问题,2,点估计,第六章 参数估计,注意：,2,点估计,第六章 参数估计,二、矩估计法,2,点估计,第六章 参数估计,第六章 参数估计,2,点估计,这种估计量称为,矩估计量,；矩估计量的观察值称为,矩估计值,。,矩法原理：,由辛钦大数定律知,2,点估计,第六章 参数估计,矩法求估计量的步骤：,2,点估计,第六章 参数估计,例,1,设某炸药厂一天中发生着火现象的次数,X,服从,2,点估计,第六章 参数估计,例,2,解：,2,点估计,第六章 参数估计,解得：例,2,（续）,2,点估计,第六章 参数估计,例,3,2,点估计,第六章 参数估计,例,4,2,点估计,第六章 参数估计,2,点估计,第六章 参数估计,例,5,2,点估计,第六章 参数估计,例,6,2,点估计,第六章 参数估计,例,6(,续）,2,点估计,第六章 参数估计,例,6(,续）,2,点估计,第六章 参数估计,三、极大似然法,例,1,如果一个射手击中目标的概率可能是,现在让他打三发子弹，在不同的命中目标的次数下，我们应该如何取,p,的估计值,用,X,表示命中目标的次数，,则,X,B,(3,p,),即,计算结果列表如下：,2,点估计,第六章 参数估计,由实际推断原理知，,例,1,（续）2,点估计,第六章 参数估计,因此，由上表可得下面的结论：,打三发命中次数,x,=1,时，命中率,p,的合理估计,打三发命中次数,x,=2,时，命中率,p,的合理估计,打三发命中次数,x,=3,时，命中率,p,的合理估计,例,1,（续）,2,点估计,第六章 参数估计,2,点估计,第六章 参数估计,极大似然法原理：,2,点估计,第六章 参数估计,2,点估计,第六章 参数估计,2,点估计,第六章 参数估计,-,对数似然方程,-,似然方程,2,点估计,第六章 参数估计,-,对数似然方程组,-,似然方程组,2,点估计,第六章 参数估计,极大似然法求估计量的步骤：,(,一般情况下,),说明：若似然方程组）无解，或似然函数不可导，此法失效，改用其它方法。,2,点估计,第六章 参数估计,试求参数,p,的极大似然估计量。,故似然函数为,例,2,2,点估计,第六章 参数估计,-,它与矩估计量是相同的。,例,2,（续）,2,点估计,第六章 参数估计,例,3,2,点估计,第六章 参数估计,例,3,（续）,2,点估计,第六章 参数估计,似然函数为：,例,4,2,点估计,第六章 参数估计,例,4,（续）,2,点估计,第六章 参数估计,例,5,2,点估计,第六章 参数估计,例,5,（续）,2,点估计,第六章 参数估计,X,的概率密度为：,例,6,分析：,似然函数为,但这不能说明不存在极大似然估计量，只是不能由似然方程组求解。,显然，似然方程组无解，,2,点估计,第六章 参数估计,解：,例,6,（续）,则,2,点估计,第六章 参数估计,例,6,（续）,2,点估计,第六章 参数估计,设罐中装有,a,只黑球,b,只白球，则,例,7,一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取,n,个球，发现有,k,个黑球。试求罐子里黑球数与白球数之比,R,的极大似然估计量。,解：,2,点估计,第六章 参数估计,2,点估计,第六章 参数估计,极大似然估计性质：,2,点估计,第六章 参数估计,例,8,解：,2,点估计,第六章 参数估计,第六章 参数估计,3,估计量的的评选标准,无偏性,有效性,一致性,第六章 参数估计,3,估计标准,我们注意到，在上一节中对于同一个未知参,数，用不同方法可以得到不同的估计量。究竟采,用哪个为好呢？这就涉及到用什么标准来评价估,计量的问题。我们介绍三个常用的标准：,1,）无偏性；,2,）有效性；,3,）一致性。,第六章 参数估计,3,估计标准,一、无偏性,例,1,第六章 参数估计,3,估计标准,第六章 参数估计,3,估计标准,例,2,第六章 参数估计,3,估计标准,例,3,解：,在上一节我们知道,第六章 参数估计,3,估计标准,第六章 参数估计,3,估计标准,例,4,第六章 参数估计,3,估计标准,说明：,第六章 参数估计,3,估计标准,二、有效性,例,5,第六章 参数估计,3,估计