FIR频率采样设计.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六章第2讲,*,单击此处编辑母版标题样式,3,FIR,滤波器频率采样法设计,设计思想,按频域采样定理,FIR,数字滤波器的传输函数,H(z,),和单位脉冲响应,h(n,),可由它的,N,个频域采样值,H(k,),唯一确定。,若要设计的,FIR,数字滤波器的频率响应为 ，,从频域出发,对理想频响在,间进行,N,点的等间隔采样得：,1,第六章第2讲,FIR,滤波器频率采样法设计,按频域采样定理由,H,d,(k,),求,H(z),或,h(n),，,其流图如下：,设计过程和公式,为使设计的滤波器为线性相位滤波器，滤波器的频率响应,及其频率采样值,H(k),必须满足一定的条件。,一般而言，给定的理想滤波器的幅度响应只给出了,范围频率采样的幅度值，上式中的,k,只能取,0,到,N/2,这,(N/2+1),点，另外,(N/2-1),点,(,从,N/2+1,到,N-1),则需根据线,性相位的奇偶对称条件求得。,下面以偶对称条件,h,(,n,)=,h,(,N,-,n,-1),为例说明设计公式,。,2,第六章第2讲,FIR,滤波器频率采样法设计,对 在,等间隔,N,点采样得,H(k),k,=0,1,N,-1,对线性相位滤波器，其相位响应为：,幅度响应,设 的频响为：,3,第六章第2讲,FIR,滤波器频率采样法设计,对频率采样的幅度值,有,：,N,为奇数,N,为偶数,按线性相位的偶对称条件,:,若,N,为偶数，,对,为奇对称,:,对,为偶对称,:,若,N,为奇数，,，,k,=0,1,(,N,-1)/2,按式 对相位进行频率采样得：,4,第六章第2讲,FIR,滤波器频率采样法设计,对,N,为偶数,，,(N-1),为奇数,取,，,k,=0,1,N,/2-1,对,N,为奇数,，,(N-1),为偶数,取,，,k,=0,1,(,N,-1)/2,综合以上分析，可得到设计公式如下：,5,第六章第2讲,FIR,滤波器频率采样法设计,综合以上分析，可得到设计公式如下：,对,N,为奇数，设计公式为：,k,=0,1,(,N,-1),/2,，,k,=0,1N,/2-1,对,N,为偶数，设计公式为：,6,第六章第2讲,滤波器的频率响应,FIR,滤波器频率采样法设计,将,代入频率采样公式得：,其中,在采样点,但,在采样点之间,，,两者误差与,特性的平滑程度有关：,在 幅度曲线的平滑段，误差较小，但在曲线的间,断点附近，会产生较大的误差，使得滤波器的阻带性能,变坏。误差还与采样点数,N,有关，,N,越大误差越小。,7,第六章第2讲,FIR,滤波器频率采样法设计,为提高阻带衰减，常用增加过渡带法如右图,8,第六章第2讲,FIR,滤波器频率采样法设计,优化原则：,在通带内要求,在阻带内要求,例,用频率采样法设计一个低通滤波器，通带截止频率,的,偶对称情况。,，采样点数,N=20,，,采用,h,(,n,)=,h,(,N,-,n,-1),解,：,N=20,，,在,范围内等间隔采样，,显然，在通带共有,3,个采样点，分别是,k,=0,1,2,采样间隔为：,又,N,为偶数，可得：,9,第六章第2讲,FIR,滤波器频率采样法设计,将,和 代入,求得 ，进而求得,或,再利用式（,6-3-11,）和式（,6-3-12,）就可求出频率响应,其相位响应由式（,6-3-6,）给出，为线性相位。,过渡带为：,2,p/20=p/10,其幅度响应如下图，图中还给出了其单位脉冲响应,10,第六章第2讲,由上图,d,）,可见，所设计的滤波器的阻带衰减很小，只有,-16dB,。,为了改进阻带衰减，在边界频率处增加一个过渡点，为了保证过渡带宽不变，将采样点数增加一倍，变为,N=40,，,并将过渡点的采样值进行优化，取,H,1,=0.3904,，,得到 和 分别为,过渡带为（,2,p/402,）,=p/10,，,求得的单位脉冲响应,和幅度响应如下图所示。,FIR,滤波器频率采样法设计,11,第六章第2讲,FIR,滤波器频率采样法设计,12,第六章第2讲,FIR,滤波器频率采样法设计,由上图,d,）,可见，,这时阻带衰减达到了,-43dB,。,为了进一步增加阻带衰减，可再增加一个过渡采样点，并将采样点数增加到,60,，两个过渡样点值经优化分别为,=0.5925,和,0.1099,相应的,和 分别为,过渡带为（,2,p/603,）,=p/10,所得单位脉冲响应,和幅度响应如下图所示。,13,第六章第2讲,FIR,滤波器频率采样法设计,14,第六章第2讲,频率采样法可以直接从频域出发进行设计，比较简单。,这种方法最适合于设计窄带滤波器。,由上图可见，这时阻带衰减达到了,-63dB,，还可以通过进一步增加过渡样点来增加阻带衰减。,显然，在保证过渡带宽不变的情况下，相应的采样点数也就随着成倍的增加，这样将使滤波器的复杂度大大增加，在实现滤波时计算量也就随着增加。,FIR,滤波器频率采样法设计,15,第六章第2讲,4,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,设希望设计的滤波器幅度响应为,，实际逼近,的幅度响应为 ，加权误差为 ，则：,将指定的频带记为,A(,包括通带和阻带,),，切比雪夫等波纹最佳逼近的设计的准则是，选择,FIR,滤波器的单位脉冲响应,h(n),使得在,A,内误差函数,的最大绝对值最小。,将该最小值记为,，则有：,预先指定的误差加权函数,下面介绍切比雪夫等波纹最佳逼近方法的基本思想和方法。,16,第六章第2讲,线性相位,FIR,滤波器幅度特性的表示,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,FIR,线性相位滤波器的幅度响应有四种情况，将,四种情况的,统一表示为：,其中 是已知的三角函数，,是关于,的线性组合，,下表列出了对于四种不同情况的,及,的表达式。,17,第六章第2讲,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,表中,的系数,与原系数,和,的关系为：,（,6-4-4,）,（,6-4-5,）,（,6-4-6,）,18,第六章第2讲,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,将（,6-4-3,）式代入（,6-4-1,）式，得：,因而最优化的问题变成了选择,的系数使误差函数,的最大绝对值最小。,19,第六章第2讲,利用切比雪夫等波纹最佳逼近法设计,FIR,滤波器的原理,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,交错定理：,设,为,的线性组合，即：,在,A,上能唯一的最佳逼近连续函数,的充分必要条件是加权误差函数,在,A,内至少,有,r+1,个极值频率点即在,A,内必须存在,r+1,个频率点,，其中,且,及,则,以情况,1,为例，讨论线性相位滤波器幅度响应极值数目的约束问题,20,第六章第2讲,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,表示成,多项式：,将余弦函数,将其代入对情况,1,的,，得：,式中,r=(N+1)/2,，是与 和 有关的常数,求极值频率，将,对,微分一次得：,21,第六章第2讲,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,根据等波纹最佳一致逼近定理，误差函数至少应有,r+1,个极值，因此 本身至少还应再增加一个独立极值。对理想低通特性的 ，的边界频率 和 也是 的极值点,(,不是 的极值点,),，这样 就有,r+2,个极值频率,(,这种情况称为,超波纹逼近,),。,上式右边余弦函数多项式的最高阶次为,r-2=(N-3)/2,，,应有,r-2,个根，,sin,在,=0,和,=,处有两个根,(,零点,),，,在区间,0,上，应有,r,个极值点。,对逐段恒定的幅度特性，的极值点也是 的极值点,22,第六章第2讲,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,例如，,N=13,，,(N+1)/2=7,时幅度特性最多有,7,个极值点，而误差函数,E(),有,9,个极值点，如下图所示。,23,第六章第2讲,求解方法及,Remez,算法,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,设已知在,A,上,r+1,个极值频率为：,将这些频率代入式,式中,按最佳逼近定理得：,令,a,n,=B(n),，,将,上,式写成矩阵形式：,24,第六章第2讲,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,上式中有,r+1,个极值频率需要求解，实际求解起来很困难。,引入,Remez,算法,25,第六章第2讲,Remez,算法的计算步骤,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,Remez,算法,：靠一次次迭代求得一组交错点即极值频率点，从而求出系数，而且在每一次求解极值频率的迭代过程中能够避免直接求解。具体步骤为：,首先给出,r+1,个极值频率的初始估计值，通常在,A,上等间隔地取,r+1,个初始频率点,即,由下式计算,值,式中,一般不可能是最优值,26,第六章第2讲,将,值及,r1,个极值频率点代入,(6-4-13),式，可求得,的离散值,利用拉格朗日（,Lagrange,）,插值公式,可由,的离散,(6-4-16),值得到连续的,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,27,第六章第2讲,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,将,代入,(6-4-10),式可求得误差函数,E(,),。,若在子集,A,的,所有频率上都有,，则,是最佳的极值，初始估计值,恰好就是交错点组，工作可结束。,若在某些频率点处，,则初始估计的极值点不对，然后在这些点附近搜索局部极值点，于是得到一组新的交错点，从而完成了一次迭代。,利用和步骤,相同的方法，把在各频率处使,的局部极值点作为新的极值频率的估计值，从而又得到一组新的极值估计值。,重复以上步骤，每次迭代后的,都是递增的,最后收敛到,也就最佳一致逼近 。,最佳极值，此时,28,第六章第2讲,迭代结束后，最后按新的最佳极值频率求出,的,r,个,系数,B(n,),（即,），从而求得,FIR,滤波器的,单位脉冲响应,h(n),。,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,在滤波器的,p,和,s,及,p,和,s,等指标给定后，在利用,Remez,交换算法开始设计前，需要能比较准确地确定,N,值。,对低通滤波器，当,时，,N,值可由下述经验公式进行估计：,式中,29,第六章第2讲,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,也可用下式进行粗略的估计,其中,30,第六章第2讲,FIR,数字滤波器的等波纹优化设计,对于带通滤波器，,N,值的估计可按以下经验公式进行：令,p,和,s,分别为带通滤波器的通带和阻带边频（取带通滤波器的两个过渡带中过渡带最小的边频），则有：,式中,其中,31,第六章第2讲,