运动学第七章.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,*,*,*,第七章,点 的 合 成 运 动,1,运动学,/,点的合成运动,第七章 点的合成运动,在前两章中研究点和刚体的运动,时,，认为地球（参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。,如果建立一,地心坐标系,来观察地球的运动，则地球绕自转轴自转，此时固连于地球上的坐标系随地球一起作定轴转动。如果建立一,日心坐标系,来观察地球的运动，则地球在自转的同时，还绕太阳沿椭圆轨道运动。,2,运动学,/,点的合成运动,另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。下面先看几个例子。,3,运动学,/,点的合成运动,4,运动学,/,点的合成运动,5,运动学,/,点的合成运动,本章将用,点的合成运动,的方法来研究这类问题。,6,运动学,/,点的合成运动,第七章 点的合成运动,7-1,点的合成运动的概念,7-2,点的,速度合成定理,7-3,牵连运动为,平动,时,点的,加速度合成定理,7-4,牵连运动为,转动,时,点的,加速度合成定理,7,运动学,/,点的合成运动7-1,点的合成运动的概念,1,、坐标系,定坐标系,：建立在固定参,考物上的坐标系，简称,定系,。,一般将定系固结在地面上。,动坐标系,：建立在相对于定系运动着的物体上的坐,标系，简称,动系,。,图示原点在轮心与车厢固连的坐标系,oxy,即为动坐标系。,例如，如图所示固结在地面上的坐标系 。,o,x,y,车厢,车轮,O,x,y,8,运动学,/,点的合成运动,2,、动点,动点,是指相对于定系和动系均有运动的点，本章就是研究动点相对于定系和动系的运动。,如图中任选车轮上的一点,P,作为动点。,3,、三种运动、三种速度与三种加速度,(1),绝对运动,：动点相对于定系的运动。,如,P,相对于地面 的运动。,(2),相对运动,：动点相对于动系的运动。,如,P,相对于车厢 的运动。,点的运动,点的运动,O,x,y,车厢,车轮,o,x,y,P,9,运动学,/,点的合成运动,刚体的运动,(,3),牵连运动,：动系相对于定系的运动。,如行驶的汽车 相对于地面 的运动。,10,定参考系,？,动参考系,？,绝对运动,？,牵连运动,？,相对运动,？,工程实例,11,定参考系,？,动参考系,？,绝对运动,？,牵连运动,？,相对运动,？,工程实例,12,定参考系,？,动参考系,？,绝对运动,？,牵连运动,？,相对运动,？,工程实例,13,定参考系,？,动参考系,？,绝对运动,？,牵连运动,？,相对运动,？,工程实例,14,运动学,/,点的合成运动,绝对（加）速度,：动点相对于定系的（加）速度，,用 表示。,牵连点,：在某瞬时，,动坐标系上与动点相重合的点,，为该瞬时动点的牵连点。不同的瞬时动点的位置不同，牵连点也不同。,相对（加）速度,：动点相对于动系的（加）速度，,用 表示。,牵连（加）速度,：,牵连点,相对于定系的（加）速度，,用 表示。,举例说明以上各概念。,15,运动学,/,点的合成运动,AB,杆上的,A,点,动 系：,凸轮,定 系：,地面,绝对运动：,直线,相对运动：,曲线（圆弧）,牵连运动,：,直线平移,动 点：,16,运动学,/,点的合成运动,A,(,在,AB,杆上,),偏心轮,C地面,直线,圆周（,C,）,定轴转动,动 系：,定 系：,绝对运动：,相对运动：,牵连运动,：,动 点：,17,运动学,/,点的合成运动,套筒,A,滑杆,O,1,B,地面,圆周（,O,）,直线（沿,O,1,B,）,定轴转动,（绕,O,1,）,动 系：,定 系：,绝对运动：,相对运动：,牵连运动,：,动 点：,18,运动学,/,点的合成运动,套筒,A,滑杆,OC,地面,圆周（,O,1,）,直线（沿,OC,）,定轴转动,（绕,O,）,动 系：,定 系：,绝对运动：,相对运动：,牵连运动,：,动 点：,19,注意的问题,：,三种运动的分析必须明确什么物体相对什么参考体的 运动。,相对,、,绝对运动指点的运动，可以是直线或曲线运动；牵连运动是指参考体的运动，是刚体的运动，可以是平移或定轴转动以及刚体的其他运动形式。,牵连点指某瞬时动系上与,动点相重合的点，不同瞬时,牵连点的位置不同。,以上可归结为一点、两系、三运动。,动点相对动系、定系必须有运动，不能和动系在同一物体上。,20,运动学,/,点的合成运动,4,、运动方程及坐标变换,可以利用坐标变换来建立绝对、相对和牵连运动之间的关系。,（,1,）,绝对运动方程,：,（,2,）,相对运动方程,：,（,3,）,牵连运动方程,：,坐标变换关系,：,以二维问题为例。设定系 ，动系 。动点,M,，,如图所示。,21,运动学,/,点的合成运动,根据题意，是求车刀刀尖,P,相对于工件的轨迹方程。,设刀尖,P,为动点，动系固定在工件上。则动点在动系,Ox,1,y,1,和定系,Oxy,中的坐标关系为,：,解,：,P,y,1,x,1,例,1,用车刀切削工件的端面，车刀刀尖,P,沿水平轴,x,作往复运动，如图所示。设 为定坐标系，刀尖的运动方程为 。工件以等角速度,逆时针方向转动。,求车刀在,工件圆端面上切出的痕迹。,x,1,y,1,22,运动学,/,点的合成运动,从上式中消去时间,t,，,得刀尖的,相对轨迹方程,即：车刀在工件上切出的痕迹是一个半径为 的圆，该圆的圆心,C,在动坐标轴,Oy,1,上,，圆周通过工件的中心,O,。,将点,P,的绝对运动方程代入上式中，得：,车刀相对于工件的运动方程。,23,7-2,点的速度合成定理,速度合成定理建立了动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系,:,24,运动学,/,点的合成运动,当,t,t,+,t,AB,AB,M,M,动点,M,M,M,MM,为绝对轨迹,为绝对位移,M,1,M,为相对轨迹,为相对位移,25,运动学,/,点的合成运动,将上式两边同时除以,t,并取,t,0,得,即：,在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速,度的矢量和，这就是点的速度合成定理。,点的速度合成定理是,瞬时矢量式,，共包括大小,方向,六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。,26,注意的问题,由速度合成定理的矢量形式知,:,绝对速度是以相对速度和牵连速度为邻边组成的平行四边形的,对角线,。,点的速度合成定理是,瞬时矢量式,，共包括大小,方向,六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。,该定理在推导的过程中，,牵连运动未加限制,，可以是平移、定轴转动以及其他形式的刚体运动。,牵连速度为该瞬时,动系上,与动点相重合的,点的速度,。,27,运动学,/,点的合成运动,例,2,桥式吊车,已知：小车水平运动，速度大小为,v,1,，,物块,A,相对小车垂直上升的速度大小为,v,2,。,求物块,A,的运,动,速度。,28,运动学,/,点的合成运动,选取,动点：,A,点,动系：,小车,定系：,地面,则,绝对运动：,曲线,AA,相对运动：,直线,牵连运动：,直线平移,解,：,大小,方向,?,?,v,1,v,2,作出,速度平行四边形,如图示，则物块,的速度大小和方向为,v,r,=,v,2,v,e,=,v,1,v,a,29,运动学,/,点的合成运动,例,3,曲柄摇杆机构,已知：,OA=r,，,，,OO,1,=l,，,图示瞬时,OA,OO,1,求,：,摆杆,O,1,B,的,角速度,1,选取,动点：,OA,上的,A,点,动系：,O,1,B,定系：,基座,解：,大小,方向,?,?,O,1,B,沿,O,1,B,作出,速度平行四边形,如图示,r,OA,（）,绝对运动：圆周,相对运动：直线运动,牵连运动：定轴,30,运动学,/,点的合成运动,已知：,OC,e,，,（,匀角速度），图示瞬时，,O,C,CA,，,且,O,，,A,，,B,三点共线。求：,从动杆,AB,的速度。,动点：,AB,上的,A,点,动系：,圆盘,定系,：,基座,解：,大小,方向,OA,?,OA,CA,作出,速度平行四边形,如图示,?,沿,AB,例,4,圆盘凸轮机构,绝对运动：直线,相对运动：圆周,牵连运动：定轴,31,例,5,曲杆,OBC,以匀角速度,绕固定轴,O,转动，使圆环,M,沿固定直杆,OA,上滑动。设曲柄长,OB,=10 cm,，,OB,垂直,BC,。,=,0.5,rad/s,，,求,=60,时,，,小环的绝对速度,。,OA,B,M,C,32,解：,1,.,选择动点，动系与,定系,。,动系,固连于摇杆,OBC,。,绝对运动,沿,OA,的直线运动。,相对运动,沿,OB,的直线运动,。,牵连运动,绕,O,轴的,定,轴转,动,。,动点,小环,M,。,定系,固连于机座,。,例题,5,O,A,B,M,C,33,O,A,B,M,C,y,x,绝对速度,v,a,：,大小未知,，,方,向沿,OA,向右。,相对速度,v,r,：,大小未知，方向沿,杆,BC,。,牵连速度,v,e,：,v,e,=,OM,方向垂直于,OA,。,v,a,v,e,v,r,投影到,x,轴，得,所求小环的绝对速度,水平向右。,34,运动学,/,点的合成运动,求解合成运动的,速度问题,的,一般步骤,为：,选取,动点,，,动系,和,定系,；,分析,三种运动,；,分析,三种速度,；,根据,速度合成定理,作出,速度,合成,平行四边形,；,根据速度平行四边形，求出未知量。,1.,动点、动系不能,选在,同一物体上,;,2.,动点相对动系的,相对运动轨迹,易于直观判断。,恰当选择,动点,、,动系,和,定系,是求解合成运动问题的,关键：,35,动 点,？,动参考系,？,绝对运动,？,牵连运动,？,相对运动,？,思考题,2,思考题,2,36,37,运动学,/,点的合成运动,例,5,已知,:,凸轮半径,r,图示时 杆,OA,靠在凸轮上。,求：杆,OA,的角速度。,分析相接触的两个物体的,接触点位置都随时间而变化,，因此两物体的接触点都,不宜选为动点,，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的,非接触点为动点,。,38,运动学,/,点的合成运动,选取动点：,凸轮上的,C,点,动系：,OA,杆,定系：,基座,由,大小,方向,OC,?,OC,/,OA,作出速度平行四边形如图示,v,（）,解：,绝对运动：直线,相对运动：,C,点到凸轮与,OA,接触点的距离不变，方位改变。,C,点相对,OA,圆周运动。,牵连运动：定轴,39,动 点,？,动参考系,？,绝对运动,？,牵连运动,？,相对运动,？,思考题,3,思考题,3,40,41,运动学,/,点的合成运动,再分析例,4,已知：,OC,e,，,（,匀角速度），图示瞬时，,OC,CA,，,且,O,，,A,，,B,三点共线。求：从动杆,AB,的速度。,选取,动点：,圆盘中心,C,点,动系：,AB,杆,定系,：,基座,解：,由,大小,方向,OC,?,OC,CA,作出,速度平行四边形,如图示,?,铅垂向上,例,4,圆盘凸轮机构,绝对运动：圆周,相对运动：圆周。,C,相对,AB,牵连运动：平移,42,运动学,/,点的合成运动,8-3,牵连运动为,平移,时,点的加速度合成定理,由于,牵连运动为平移,，故,由速度合成定理,设有一动点,M,按一定规律沿着固连于动系,的曲线,AB,运动,曲线,AB同时又随同动系,相对定系,O,xyz,平移,。,43,运动学,/,点的合成运动,对,t,求导：,因为,动系为平动,，故,方向不变,，,是,常矢量,，有,44,运动学,/,点的合成运动,即：当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。,牵连运动为平动时点的加速度合成定理,45,运动学,/,点的合成运动,例,6,已知：凸轮半径,求：,j,=60,o,时,顶杆,AB,的加速度。,选取,动点：,AB,上的,A,点,动系：,凸轮,定系：,基座,解,：,由,大小,方向,v,0,?,CA,作速度平行四边形，有,?,由于求加速度分析需,故先求,沿,AB,46,运动学,/,点的合成运动,因牵连运动为平移,大小,方向,?,沿,AB,a,0,?,CA,沿,CA,指向,C,n,将上式投影到,n,方向,，得,47,运动学,/,点的合成运动,n,整理得,注意,：,加速度矢量方程的投影是,等式两端的投影,，与静平衡方程的投影关系不同。,48,例,7,。图示机构，,OA,=,r,，,以匀角速度,0,转动，套筒,A,可沿,BC,滑动，,BC,=,DE,，,BD,=,CE,=,l,。求图示位置,BD,的角速度及角加速度。,30,0,60,0,o,A,B,C,D,E,O,解,：,（,1,）,动点,A,，,动系,BC,，,定系机座,。,（,2,）,运动分析：绝对运动为圆周运动；相对运动为直线运动；牵连运动为曲线平移,（,3,）,速度分析,大小,方向,r,0,OA,l,(,未知）,BD,未知,C,B,v,a,v,r,v,e,60,0,由图知,v,e,=,v,r,=,v,a,=r,0,=,r,0,/l,转向如图,49,30,0,60,0,o,A,B,C,D,E,O,v,r,v,a,v,e,60,0,=,r,0,/l,转向如图,v,e,=,v,r,=,v,a,=r,0,（,4,）加速度分析,大小,方向,A,O,0,2,r,A,O,0,/,未知,设,A,B,a,r,2,l,B,D,l,(,未知,）,BD,60,0,30,0,30,0,向垂直方向投影：,转向如图,求图示位置,BD,的角速度及角加速度。,50,运动学,/,点的合成运动,7-4,牵连运动为,转动,时点的加速度合成定理,上一节我们证明了牵连运动为平移时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一,特例,。,设一圆盘以匀角速度,绕定轴,顺时针转动，盘上圆槽内有一点,M,以大小不变的相对速度,v,r,沿槽作圆周运动，那么,M,点相对于定系的绝对加速度应是多少呢？,51,运动学,/,点的合成运动,选取,动点：,点,M,动系：,圆盘,定系：,基座,大小,方向,R,v,r,(,常数,）,?,?,即绝对运动也为匀速圆周运动,，所以,52,运动学,/,点的合成运动,而,（指向圆心指向圆心,）,多出一项,2,v,r,可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。,那么他们之间的关系是什么呢？,2,v,r,又是怎样出现的呢？它的物理意义又是什么呢？,（指向圆心,）,53,预备知识,动坐标系单位矢量对时间的变化率,已知动系,oxyz,以角速度,e,绕定系,oxyz,的,z,轴转动，如图示,同理：,54,运动学,/,点的合成运动,M,动点：,动系：,A xyz,定系：,O xyz,如图所示,牵连运动为转动时点的加速度合成定理,55,运动学,/,点的合成运动,其中 为相对加速度。,项反映由于牵连运动（转动）引起,方向之变化,。,56,运动学,/,点的合成运动,其中 为牵连加速度。,反映相对运动引起的,大小,的改变。,57,运动学,/,点的合成运动,即：,当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的,矢量和,。,科氏加速度：,方向：按右手法则确定。,科氏加速度,58,运动学,/,点的合成运动,D,A,B,C,点,M,1,的科氏加速度,例,8,矩形板,ABCD,以匀角速度,绕固定轴,z,转动，点,M,1,和点,M,2,分别沿板的对角线,BD,和边线,CD,运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和 ，计算点,M,1,、,M,2,的科氏加速度大小,并标出方向。,点,M,2,的科氏加速度,垂直板面向里,解,：,59,运动学,/,点的合成运动,例,9,已知：凸轮机构以匀角速度,绕,O,轴转动，图示瞬时,OA,=,r,，,A,点曲率半径,已知。求：,该瞬时顶杆,AB,的速度和加速度。,选取,动点：,AB,上的,A,点,动系：,凸轮,定系：,地面,解：,由,大小,方向,r,?,n,作出,速度平行四边形,如图示,?,沿,AB,60,运动学,/,点的合成运动,由牵连运动为转动时的加速度合成定理,大小,方向,2,r,?,n,?,沿,AB,同,n,0,与,n,相反,作出,加速度矢量图,，并向,n,轴投影得,a,a,61,运动学,/,点的合成运动,例,10,曲柄摆杆机构。已知：,O,1,A,r,，,1,；,取,O,1,A,杆上,A,点为动点，动系固结在,O,2,B,上，试计算动点,A,的科氏加速度。,解：,根据,作出,速度平行四边形,方向：与 相同。,62,运动学,/,点的合成运动,点的合成运动,小结,1.,一点、二系、三运动,3.,加速度合成定理,牵连运动为,平移,时,牵连运动为,转动,时,2.,速度合成定理,一、概念及公式,点的,绝对运动,为点的,相对运动,与,牵连运动,的,合成,。,63,运动学,/,点的合成运动,1.,选择,动点,、,动系,和,定系,；,2.,分析,三种运动,：绝对运动、相对运动和牵连运动；,3.,作,速度分析,：画出,速度平行四边形,，求出有关未,知量（速度，角速度）；,4.,作,加速度分析,：画出,加速度矢量图,，,求出有关未,知量（加速度、角加速度）。,二、解题步骤,64,运动学,/,点的合成运动,1.,恰当地,选择动点、动系和定系,动点和动系不能,选,在同一刚体上；,若有始终,接触的点，应选择,始终,接触的那一点为,动点（如导杆滑块机构中的滑块，凸轮导杆机构中导,杆上与凸轮接触的点）。,2.,速度问题,：一般采用,几何法,求解简便，即作出速,度平行四边形；,加速度问题,：往往超过三个矢量，一般采用,解析法,（投影法）,求解。,三、解题技巧,注意投影轴的选取！,65,运动学,/,点的合成运动,1.,牵连速度和牵连加速度是,牵连点,(,动系上的与动点相 重合的点相对定系）,的速度和加速度；,2.,作速度平行四边形时，要使绝对速度为平行四边,形的,对角线,；,3.,牵连运动为,转动,时，作加速度分析不要丢掉,科氏,加速度,，正确分析和计算；,4.,加速度矢量方程的投影是,等式两端的投影,，与静,平衡方程的投影式不同。,四、注意问题,66,运动学,/,点的合成运动,已知：。,求,:,OA,杆的,a,。,选取,动点：,BC,上的,D,点,动系：,OA,杆,解：,大小,方向,?,?,沿,OA,作出,速度平行四边形,如图示。,v,OA,练习,1,摇杆滑道机构,v,a,v,e,v,r,67,运动学,/,点的合成运动,（）,牵连运动为转动时的加速度合成定理,大小,方向,OD,2,?,沿,OA,指向,O,沿,OA,a,OA,?,OA,其中：,v,a,v,e,v,r,68,加速度矢量,如图示。,（）,向,轴投影,(,因不需要求相对,a,),，得,69,运动学,/,点的合成运动,(1),先,取,动点：,O,1,A,上的,A,点,动系：,BCD,解：,已知：；,图示瞬时 。,大小,方向,?,?,沿,BC,作出,速度平行四边形,如图示。,1,r,O,1,A,水平,练习,2,曲柄滑块机构,求,:,该瞬时,O,2,E,杆的,w,2,。,v,a,v,e,v,r,70,运动学,/,点的合成运动,（,2,）再,取,动点：,BCD,上的,F,点,动系：,O,2E,杆,大小,方向,?,?,沿,O,2,E,作出,速度平行四边形,如图示。,r,1,sin,O,2,E,）,（,v,aF,v,eF,v,rF,71,运动学,/,点的合成运动,练习,3,凸轮机构,已知：凸轮半径为,R,，,图示瞬时,O,、,C,在一条铅直线上,选取,动点：,凸轮上的,C,点,动系：,OA,杆,解：,大小,方向,?,?,沿,OA,v,OC,求:该瞬时,OA,杆的角速度和角加速度。,作出,速度矢量图,如图示。,v,r,v,a,v,e,72,运动学,/,点的合成运动,）,（,由牵连运动为转动时的加速度合成定理,OC,2,?,沿,OC,指向,O,沿,OA,a,?,OC,0,其中：,a,r,a,a,73,运动学,/,点的合成运动,加速度矢量,如图示。,转向,由上式符号决定，,0,则，,0,则,向,轴投影，得,OC,2,?,沿,OC,指向,O,/,OA,a,?,OC,0,a,r,a,a,74,运动学,/,点的合成运动,已知,:,主动轮,O,转速为,n,=30r/min,，,OA,=150mm,。,图示瞬时,OA,OO,1,。,求,:,O,1,D,杆的,1,、,1,和滑块,B,的速,度及加速度。,(1),先,选取,动点：,轮,O,上的,A,点,动系：,O,1,D,杆,定系：,基座,解：,由,大小,方向,?,?,/,O,1,D,OA,OA,O,1,D,练习,4,刨床机构,作出,速度平行四边形,如图示。,v,a,v,e,v,r,75,运动学,/,点的合成运动,其中：,）,（,牵连运动为转动时的加速度合成定理,v,e,v,r,v,a,76,运动学,/,点的合成运动,加速度矢量,如图示。,O,1,A,2,1,?,D,指向,O,1,沿,O,1,D,2,OA,?,O,1,D,O,1,D,向,方向投影得,）,（,77,运动学,/,点的合成运动,（,2,）再,选取,动点：,滑块,B,动系：,O,1,D,杆,O,1,B,1,?,/,O,1,D,作出,速度平行四边形,如图示。,?,水平,O,1,D,v,aB,v,eB,v,rB,78,运动学,/,点的合成运动,牵连运动为转动时的加速度合成定理,O,1,B,2,1,?,D,指向,O,1,/,O,1,D,?,水平,O,1,B,1,O,1,D,O,1,D,作出,加速度矢量,如图示，向,x,方向投影得,(,),79,运动学,/,点的合成运动,已知：图示瞬时 ，,h,。,求：套筒,O,的,，,。,练习,5,套筒滑道机构,选取动点：,CD,上的,A,点,(,亦即,AB,上的,A,点）,动系：,套筒,定系：,基座,80,运动学,/,点的合成运动,大小,方向,?,/,OA,作出速度合成平行四边形如图,v,OA,v,a,v,r,v,e,?,81,运动学,/,点的合成运动,由牵连运动为转动时的加速度合成定理,大小,方向,OA,2,?,A,指向,O/,OA,a,?,OA,OA,向,方向投影得,（）,82,运动学,/,点的合成运动,已知：图示瞬时 ，,h,。,求：套筒,O,的,，,。,解法,2,：,A,点作直线运动,代入图示瞬时的已知量，得,（）,（）,练习,5,套筒滑道机构,对比两种方法,83,a,运动学,/,点的合成运动,已知：,OA,l,，,=45,o,时,w,、,a,。,求：小车的速度与加速度。,选取,动点：,OA,上的,A,点,动系：,滑杆,定系：,基座,解：,?,?,水平,铅垂,l,OA,练习,6,曲柄滑杆机构,作,速度平行四边形,如图示。,小车的速度,v,a,v,e,v,r,84,运动学,/,点的合成运动,因牵连运动为平动，故有,l,OA,l,2,沿,OA,指向,O,?,?,水平,铅垂,作出,加速度矢量图,将上式投影到 水平,方向,，得,小车的加速度,85,运动学,/,点的合成运动,本章作业,:,第,3,次,7-21,7-24,7-26,86,