工学随机变量的数字特征.pptx

第四章 随机变量的数字特征本章学习内容本章学习内容1.R.V.的期望的期望:定义定义,性质性质,和常见随机变量和常见随机变量的期望的期望,R.V.函数的方差函数的方差.2.R.V.的方差的方差:定义定义,性质性质,和常见和常见R.V的方的方差差;3.R.V.的协方差和相关系数的协方差和相关系数:定义定义,性质性质.第一节第一节.随机变量的期望随机变量的期望1.离散型离散型R.V.期望的定义期望的定义 Def1.设离散型设离散型R.V.X的分布律为的分布律为 pi=P(X=xi),i=1,2,若级数若级数 ixipi 绝对收敛绝对收敛,则称则称R.V.X的数学期望存在的数学期望存在,且称该且称该级的和为级的和为R.V.X的数学期望的数学期望(expectation),记记为为EX,EX也称为也称为X的均值的均值(mean).例例1.某个人的五次考试成绩如下某个人的五次考试成绩如下,60,70,70,80,60,求其平均成绩求其平均成绩.解解:平均成绩为平均成绩为:(60+70+70+80+60)/5 =60X2/5+70X 2/5+80X 1/5 =68.另外一种理解另外一种理解:2.连续型连续型R.V.的期望的定义的期望的定义 Def.2.设连续型设连续型R.V.X的的p.d.f.为为f(x),如果如果积分积分绝对收敛绝对收敛,则称则称R.V.X的期望存在的期望存在,且称该积且称该积分为分为R.V.的数学期望的数学期望,记为记为EX.R.V.的数学期望的数学期望,也称为也称为R.V.的均值的均值.它揭它揭示了一个随机变量取值的集中的位置示了一个随机变量取值的集中的位置,是是R.V.取值中心位置的一种度量取值中心位置的一种度量.例例2.甲乙两名射手在相同的条件下进行射击甲乙两名射手在相同的条件下进行射击,其命中的环数分别为其命中的环数分别为X和和Y.由历史记录得到由历史记录得到X和和Y的分布律如下的分布律如下:X05678910P00.05 0.050.1 0.10.20.5Y05678910P0.2 0.2 0.20.10.10.10.1试评价甲和乙两名射手的技术优劣试评价甲和乙两名射手的技术优劣.解解:EX=0 x 0+5x 0.05+6x0.05+7x 0.1+8x 0.1+9x0.2+10 x0.5=8.85.EY=0 x0.2+5x 0.2+6x0.2+7x 0.1+8x 0.1+9x0.1+10 x 0.1=5.6.EXEY,说明什么说明什么?下面计算一些离散型分布的期望值。下面计算一些离散型分布的期望值。1)(0-1)分布分布 设设X服从服从(0-1)分布，分布律为分布，分布律为P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,0p1X的数学期望为的数学期望为 EX=1p+0(1-p)=p例例:设设R.V.X的分布律为的分布律为:练习：练习：某种疾病人群中患病率为某种疾病人群中患病率为p(很小很小)，社区普查时采用一种验血新技术：社区普查时采用一种验血新技术：k个人个人一组验血一次，若呈阴性验血结束；若呈一组验血一次，若呈阴性验血结束；若呈阳性，则该组中的每一个人需再验一次。阳性，则该组中的每一个人需再验一次。求每个人平均验血次数求每个人平均验血次数EX.下面计算常用连续型变量的数学期望：下面计算常用连续型变量的数学期望：则则它恰是区间它恰是区间a,b的中点。的中点。因此柯西分布的数学期望不存在因此柯西分布的数学期望不存在.练习练习 求伽玛分布的数学期望。求伽玛分布的数学期望。随机变量函数的数学期望公式随机变量函数的数学期望公式:练习练习 Xe),求求E(e-X)特殊情况：特殊情况：g(x,y)=x,and g(x,y)=y,有有练习：求练习：求EY例例6 设设X,Y相互独立同服从相互独立同服从N(0,1),求求EmaxX,Y均值的性质均值的性质:(1)E(c)=c;(c为常数为常数)(2)E(cX)=cE(X);(c为常数为常数)(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4)设设X,Y相互独立相互独立,则则 E(XY)=E(X)E(Y);(5)|E(XY)|2E(X2)E(Y2)(许瓦尔兹不等式许瓦尔兹不等式)例例1.二项分布的均值的计算二项分布的均值的计算:设设Xb(n,p),X表示表示n次独立重复试验中次独立重复试验中A发生发生的次数，的次数，引入引入Xi(i=1,2,n),例例2 将将n个编号为个编号为1-n的球随机放入编号为的球随机放入编号为1-n的的n个盒子，若球号与盒号相同，称为一个匹个盒子，若球号与盒号相同，称为一个匹配。配。X表示匹配数，求表示匹配数，求EX.两次课的作业：两次课的作业：1 3 9 11 13 16 21 22 25 31 342.2.方差方差 若若X为离散型为离散型r.v.其分布律为其分布律为PX=xk=pk,k=1,2,则则方差的计算公式方差的计算公式:1.X服从服从(0-1)分布分布,则则EX=0(1-p)+1p=p,故故 D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p)E(X2)=02(1-p)+12p=p,下面计算一些常见分布的方差下面计算一些常见分布的方差2 求伽玛分布的方差求伽玛分布的方差练习：练习：1 求几何分布求几何分布g(p)的方差的方差方差的性质方差的性质:1 设设C是常数是常数,则则D(C)=0;2 C是常数是常数,则有则有 D(CX)=C2D(X);3 设设X,Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,则有则有 D(X Y)=D(X)+D(Y);4 D(X)=0的充要条件是的充要条件是X以概率以概率1取常数取常数C,即即 PX=C=1.D(X Y)=D(X)+D(Y);因为因为X和和Y相互独立相互独立,所以所以,X-EX和和Y-EY也独立也独立;例例1 设设XB(n,p),分解分解X求其方差求其方差DX.X1,X2,Xn独立同服从独立同服从(0-1)分布，因此分布，因此切比雪夫不等式切比雪夫不等式:练习练习 XB(100,1/2),估计估计P(40X0,表明表明X和和Y有相同的变化趋势的有相同的变化趋势的可能性大，即，当可能性大，即，当X大于大于EX时，时，Y通常也大于通常也大于EY；反；反之，若之，若Cov(X,Y)0,则表明则表明X和和Y相对于各自均值变化相对于各自均值变化趋势相反的可能性大。趋势相反的可能性大。展开可得计算公式展开可得计算公式:Cov(X,Y)=EX-EXY-EY =EX*(Y-EY)-EEX*Y-EY)=E(XY)-E(X)E(Y).由方差性质证明知对于任意的由方差性质证明知对于任意的X和和Y,有有 D(X Y)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).协方差的性质协方差的性质:1 Cov(X,Y)=Cov(Y,X);2 Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数是常数;3 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);6|Cov(X,Y)|2D(X)D(Y);5 若若X,Y相互独立相互独立,则则Cov(X,Y)=0.4 Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=DX,a为常数为常数;例，求例，求X,Y的协方差的协方差 例例1.(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,求求X和和Y的相关系数的相关系数.2 求相关系数求相关系数公式：公式：Cov(aX+bY,cX+dY)=acDX+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdDY例例2 XN(2003,1),YN(2004,1),且且X与与Y独立，独立，求求3X-Y与与X+Y的相关系数。的相关系数。解：由于解：由于X，Y独立，则独立，则Cov(3X-Y,X+Y)=3DX+2Cov(X,Y)-DY=2 D(3X-Y)=9DX+DY=10D(X+Y)=DX+DY=2作业：作业：35 38 39 42 43 5.矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵一一.定义定义:设设X和和Y是随机变量是随机变量,显然显然显然显然,E(X),E(Y)为一阶原点矩为一阶原点矩,D(X),D(Y)为二阶中心为二阶中心矩矩,cov(X,Y)为二阶中心混合矩为二阶中心混合矩.(1)若若E(Xk),k=1,2,存在存在,则称它为则称它为X的的k阶原点矩阶原点矩.(2)若若EX-E(X)k,k=1,2,存在存在,则称它为则称它为X的的k阶中心矩阶中心矩.(3)若若EXkYl,k,l=1,2,存在存在,则称它为则称它为X和和Y的的k+l阶混合矩阶混合矩.(4)若若EX-E(X)kY-E(Y)l,k,l=1,2,存在存在,则称它则称它为为X和和Y的的k+l阶中心混合矩阶中心混合矩.二维随机变量二维随机变量(X1,X2)由四个二阶中心矩，分由四个二阶中心矩，分别记为别记为将它们排成矩阵形式将它们排成矩阵形式称这个矩阵为称这个矩阵为(X1,X2)的的协方差矩阵。协方差矩阵。N维正态分布性质练习1某箱装有某箱装有100件产品，其中一、二、三等件产品，其中一、二、三等品分别有品分别有80件，件，10件，件，10件，从中任取一件，记件，从中任取一件，记求（求（1）X1与与X2的联合分布律（的联合分布律（2）X1与与X2 2的的相关系数相关系数。2 将将n个编号为个编号为1-n的的n个球随机放入个球随机放入m个盒子中个盒子中去去(盒子容量不限盒子容量不限)，X表示有球的盒子数，求表示有球的盒子数，求EX