保险精算CH3.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,保险精算,第三章 生命表基础,第三章 生命年表基础,3.1,生命函数,3.2,生命表,3.1,生命函数,3.1.1,分布函数,用,X,表示初生婴儿未来寿命的随机变量，则,X,的分布函数 可以表述为：,3.1.1,分布函数,Pr(X,50),Pr(x,x),E(X),D(X),3.1.2,生存函数,意义：新生儿能活到 岁的概率。,与分布函数的关系：,与密度函数的关系：,人类寿命生存函数曲线图示,例,假设某人群的生存函数为,求：,一个刚出生的婴儿活不到,50,岁的概率；,一个刚出生的婴儿寿命超过,80,岁的概率；,一个刚出生的婴儿会在,60,70,岁之间死亡的概率；,一个活到,30,岁的人活不到,60,岁的概率。,3.1.3,剩余寿命,定义：已经活到,x,岁的人（简记,(x),），,还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作,T(x,),。,分布函数 ：,密度函数,剩余寿命的生存函数 ：,特别：,剩余寿命,定义：已经活到,x,岁的人（简记,(x),），,还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作,T(x,),。,剩余寿命与寿命变量图示,剩余寿命,：,x,岁的人至少能活到,x+1,岁的概率,：,x,岁的人将在,1,年内去世的概率,：,X,岁的人将在,x+t,岁至,x+t+u,岁之间去世的概率,生存函数表示生存率和死亡率,3.1.4,整值剩余寿命,定义：未来存活的完整年数，简记,概率函数,整值剩余寿命,剩余寿命与整值剩余寿命的比较图示,常见精算符号及其含义,0,岁的人与,x,岁的人（,x,）：,X,与,T(x,),F,X,(x,),、,S,X,(x,),、,f,X,(x,),与,F,T(x),(t,),、,S,T(x),(t,),、,f,T(x),(t,),X,q,0,、,x,p,0,与,t,q,x,、,t|u,q,x,、,t,p,x,、,q,x,与,p,x,整值剩余寿命：,K(x,),T(x,),整值剩余寿命的概率分布：,Pr,（,K(x,)=k,）,3.1.5,死力,定义：的瞬时死亡率，简记,死亡效力与生存函数的关系,人类的死亡效力曲线图示,人类死亡效力的规律,人类的死亡效力曲线类似于一个两头高、中间低的盆状结构，被称为“浴盆曲线”。,人类的“浴盆曲线”意味着：,刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。,青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。,中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。,常见精算符号及其含义,0,岁的人与,x,岁的人（,x,）：,X,与T(x,),死亡力：,x,生存函数或分布（死亡）函数：,F,X,(x,),与,S,X,(x,),、,x,q,0,与,x,p,0,F,T(x),(t,),与,S,T(x),(t,),、,f,T(x),(t,),、,t,q,x,与,t,p,x,t|u,q,x,密度函数：,f,X,(x,),与,f,T(x),(t,),例,已知给出生存函数,请计算 和,解,3.1.6,的解析表达式,De,Moivre,模型,(1729),Gompertze,模型,(1825),Makeham,模型,(1860),Weibull,模型,(1939),参数模型的问题,至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。,使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差,寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。,在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。,例,已知某人寿命,X,的分布函数为：,试求：,（,1,）生存函数,S,X,(x,),；,（,2,）密度函数,f,X,(x,),；,（,3,）死亡力函数,X,(x,),。,例,3.2,生命表,生命表的定义,根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表,.,生命表的发展历史,1662,年,Jone,Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过生命表的自然和政治观察,。这是生命表的最早起源。,1693,年，,Edmund Halley,根据,Breslau,城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计,，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把,Halley,称为生命表的创始人。,生命表的特点,构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）,原理,在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）,3.2.2,生命表的内容,常用符号,新生生命组个体数：,年龄：,极限年龄：,个新生生命能生存到年龄,X,的期望个数：,个新生生命中在年龄,x,与,x+n,之间死亡的期望个数：,特别：,n=1,时，记作,生存函数表示生存率和死亡率,个新生生命在年龄,x,至,x+t,区间共存活年数：,个新生生命中能活到年龄,x,的个体的剩余寿命总数：,剩余寿命的期望与方差,期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记,剩余寿命的方差,整值剩余寿命的期望与方差,期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值(均值),简记,整值剩余寿命的方差,生命表实例（美国全体人口生命表）,年龄区间,死亡比例,期初生存数,期间死亡数,在年龄区间共存活年数,剩余寿命总数,期初存活者平均剩余寿命,天,0-1,.00463,100000,463,273,7387758,73.88,1-7,.00246,99537,245,1635,7387485,74.22,7-28,.00139,99292,138,5708,7385850,74.38,年,0-1,.01260,10000,1260,98973,7387758,73.88,1-2,.00093,98740,92,98694,7288785,73.82,2-3,.00065,98648,64,98617,7190091,72.89,例,已知,20,岁的生存人数为,1000,人，,21,岁的生存人数为,998,人，,22,岁的生存人数为,992,人。试求,20,岁的人在,21,岁那年死亡的概率。,1,q,20,例,已知,计算,例,如果,40,岁以前死亡效力恒定为,0.04,，,40,岁之后死亡效力提高到,0.06,，求,25,岁的人在未来,25,年内的期望存活时间,在常数死亡力下，则,25,岁的人在未来,25,年内的期望存活时间为,已知,计算下面各值：,（,1,）,（,2,）,20,岁的人在,5055,岁死亡的概率。,（,3,）该人群平均寿命。,