材料力学PPT第二章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二章 轴 向 拉 伸 和 压 缩,2.1,拉伸和压缩,2.2,拉（压）杆横截面上的内力,2.3,轴力图,2.4,轴向拉伸与压缩时的应力,2.5,拉（压）杆斜截面上的应力,2.6,轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能,2.7,材料拉伸时的力学性能,2.8,材料压缩时的力学性质,2.9,拉伸（压缩）杆件的强度计算,2.10,应力集中,2.11,拉压超静定问题,2.1,拉伸和压缩,轴向拉伸，对应的外力称为拉力。,轴向压缩，对应的外力称为压力。,2.2,拉（压）杆横截面上的内力,以图示为例，用截面法确定杆件横截面,mm,上的内力。,用假想平面将杆件沿横截面,mm,截开,根据平衡，如图,m,m,N,m,m,N,P,P,杆件左右两段在横截面,mm,上相互作用的内力，是一个分布力系。,2.2,拉（压）杆横截面上的内力,N,m,m,P,m,m,P,N,设其合力为,有平衡条件，可得,(2-1),N,与轴线重合，称为轴力。,一般规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。,2.3,轴力图,X,坐标,表示杆件横截面的位置，平行于杆轴。,N,坐标,表示轴力的大小，垂直于杆轴。,N,P,x,按选定的比例绘出表示轴力与截面位置关系的图线,称为轴力图,轴力图的意义：,反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；,反映出最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位置为强度计算提供依据。,轴力的,正号,使微元区段有伸长趋势的轴力正。,轴力,的负号,2.4,轴向拉伸与压缩时的应力,一,.,正应力公式：,仅由上述静力关系式还不能确定,和,N,之间的具体关系。,下面从研究杆件的变形入手来寻求,的变化规律。,如左图：,变形后可观察到如下,现象,：,变形前,变形后,（,1,）杆件被拉长。但各横向线仍保持为直线，任意两相邻横向线相对地沿轴线平行移动了一段距离；,（,2,）变形后，横线仍垂直于轴线。,扭转,弯曲,由以上的观察可得，杆件变形的平截面假设,拉压,杆件的横截面在拉压、扭转或弯曲变形过程中始终保持是平面，并始终保持与轴线垂直。,根据平面假设和材料均匀、连续的性质，可知：,横截面各点处的分布内力集度（即正应力,）均相等，于是有,因此拉（压）杆横截面上的正应力为,的符号规定与,N,相同，拉应力为正，压应力为负。,二,.,正应力公式的使用条件,1.,外力合力作用线必须与杆轴线重合。,2.,杆件必须是等直杆。,若横截面尺寸沿轴线变化，对于变化缓慢的杆：,（,2-4,）,3.,公式只在距外力作用点一定距离外才是正确,的。,P,P/2,P/2,P/A,P,圣维南原理,虽然力作用于杆端的方式不同，只要它们是静力等效的，则杆件中应力分布仅在作用点附近不大的范围内,(,不大于杆的横向尺寸,),有明显影响。,应力等效,P,P/2,P/2,P/A,P,2.5,拉（压）杆斜截面上的应力,沿斜截面,kk,（如图），将杆截分为二。,研究左段杆的平衡，得到斜截面,kk,上内力,p,p,(a),(b),k,k,p,p,k,k,（,a,）,斜截面,kk,的面积为 ，横截面积为,A,，,于是有,p,p,(a),(b),k,k,p,p,k,k,式中 为,横截面,（）上的正应力。,（,b,）,A,斜截面全应力 的分解：,垂直于斜截面的正应力 ：,（,2-5,）,相切于斜截面的剪应力 ：,可见，斜截面上不仅存在正应力，而且还存在剪应力，其大小随截面的方位而变化。,P,a,t,a,s,a,a,（,2-6,）,x,、的符号规定如下,x,1.,当 时（横截面）,即横截面上的正应力是所有各截面上正应力的最大值。,（,2-5,）,（,2-6,）,3.,当 时,当 时,即在斜截面上，剪应力有最大、最小值，且其数值为最大正应力的一半。,（,2-5,）,（,2-6,）,一、纵向变形虎克定律,一等直杆如图所示，设杆的原长为，横截面面积为,A,。在轴向拉力,P,作用下，杆的长度由 变为 。,2.6,轴向拉伸（压缩）时的弹性变形、变形能,p,p,轴线方向总伸长为,(a),p,p,试验表明：,引入比例系数,E,，则有,（,b,）,对于仅在两端受轴向外力作用的等直杆，由于,N=P,，故式（,b,）可改写为,杆件拉伸时，为正；杆件压缩时，为负。,（,2-7,）,式（,2-7,）就是轴向拉伸与压缩时等直杆轴向变形的计算公式，通常称为,虎克定律,。,E ,与材料的性质有关，,称为,材料的拉压弹性模量,，其值可由实验确定。,EA,反映了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力，,称为,杆件的抗拉（压）刚度,。,（,2-7,）,p,p,若将 和 代入公式（,2-7,）,可得,或 （,2-8,）,这是虎克定律的另一种表示形式。,虎克定律又可表述为：当应力不超过某一极限值时，应力与应变成正比。因为应变,没有量纲，弹性模量,E,有与应力相同的量纲。,最后指出，公式（,2-7,）只有当轴力,N,、横截面面积,A,、材料的弹性模量,E,在杆长,l,内为常量时才能应用。,（,2-7,）,对于阶梯杆或轴力分段变化的杆件：,当轴力 和横截面积 沿杆轴线,x,方向连续变化时，有,二、横向变形泊松比,设杆件变形前的横向尺寸为,b,，变形后为,b,1,，则杆的横向线应变为,（,2-9,）,（,2-10,）,试验表明：横向应变与纵向应变,之间满足如下关系,因,与,的符号相反，,故有,称为泊松比或横向变形系数，是一个无量纲的量，其值随材料的不同而不同。,E,、,都是材料本身所固有的弹性常数，是反映材料弹性变形能力的参数。,（,2-11,）,（,2-12,）,三、轴向拉压时的变形能,在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，成为,变形能或应变能,。,弹性体变形,储存能量,外力做功,外力减小,变形减小,释放能量,如图，受轴向拉伸的直杆，下端受从零开始逐渐增加的拉力作用，直至最终数值,P,。作用点的位移也逐渐增大至,在应力小于比例极限的范围内，拉力,P,与,成正比。,p,p,(a),(b),显然,dW,等于图中画阴影线部分的微分面积。,W,等于 图中三角形的面积,:,若不计任何能量损耗，根据功能原理，弹性体内储存的变形能,U,应等于拉力,P,所做的功,W,。即,考虑轴力，并引出虎克定律，得,（,2-13,）,（,2-14,）,变形能的单位为焦（,J,）,引入单位体积内的变形能,的概念，我们称为变形比能（简称比能），记作,u,。,由虎克定律，上式又可写成,比能的单位是,（,2-15,）,（,2-16,）,.7,材料拉伸时的力学性能,材料的力学性能,材料在受力变形过程中所表现出来的变形、破坏等方面的特性。,1.,实验条件：材料在室温下，以缓慢平稳加载方式进行的拉伸试验和压缩试验,2.,实验对象：圆截面的拉伸标准试件如图所示：,p,p,l,l,p,p,标矩。,圆试件的直径,在国家标准中标矩，与直径,d,有两种比例：,即 和,一、低碳钢拉伸时的力学性质,低碳钢是指含碳量在,0.25%,以下的各种碳素钢。用它来阐明塑性材料的一些特性。,下图是低碳钢拉伸时绘制的曲线，这个曲线也称为拉伸图。,e,f,g,p,l,0,a,b,c,d,h,1.,在低碳钢的整个拉伸试验过程中，其曲线可以分为如下四个阶段：,h,g,bd,0,a,e,c,一、弹性阶段,二、屈服阶段,三、强化阶段,四、局部变形阶段,f,2.,延伸率和截面收缩率,延伸率是衡量材料塑性的主要指标。,（,1,）延伸率：,（,2-17,）,（,2,）截面收缩率,A,1,试件断裂后断口处最小横截面面积，,A,0,试件原来的横截面面积,截面收缩率,也是衡量材料塑性的指标。,（,2-18,）,3.,卸载定律和冷作硬化,（,1,）,卸载定律,超过弹性范围后的任一点,d,所对应的总应变包含弹性应变和塑性应变两部分。,h,g,e,f,0,a,b,c,d,（,2,）冷作硬化,e,f,h,g,0,a,b,c,d,在常温下，把材料拉到塑性变形，然后卸载，当再次加载时比例极限提高而塑性降低,工程上某些塑性材料没有明显的屈服阶段，通常规定塑性应变 时的应力为名义屈服极限，用 表示。,s,e,0.2%,二、其他塑性材料拉伸时的力学性能,灰口铸铁是典型的,脆性材料,断裂时的应力就是强度极限,它是唯一的强度指标。,有时选一条割线来确定,E,值，,并认为材料服从虎克定律。,三、铸铁拉伸时的力学性质,125,100,75,50,25,0,0.15,0.30,0.45,2,(MN/m),s,(%),e,2-8,材料压缩时的力学性质,（一）塑性材料,黄色线,低碳钢压缩时的曲线,绿色线,低碳钢拉伸时的曲线,P,e,s,s,s,（二）脆性材料,如图：铸铁压缩时 的曲线。,实验表明：,曲线没有“屈服点”，试件在较小变形下突然破坏，破坏面与轴线大致成,45,度的倾角。,p,p,600,500,(%),e,2,MN/m,s,1,100,200,300,400,4,2,3,5,0,6,（三）几种常用材料的主要力学性能,比例极限,弹性极限,屈服极限 （）,强度极限,弹性模量,E,延伸率,截面收缩率,衡量材料力学性能的主要指标有：,材料允许承受的最大应力。,破坏应力材料破坏时的应力值，或称,极限应力,n,为大于,1,的数，称为,安全系数,。,(2-19),塑性材料,脆性材料,2-9,拉伸（压缩）杆件的强度计算,一、许用应力与安全系数,二、强度条件,对等截面杆,式（,2-20a,，,b,）即是轴向拉（压）杆件的强度条件。产生最大工作应力的截面称为,危险截面,。,(2-20a),（,2-20b,）,利用强度条件，可以解决工程中下列三个方面的强度计算问题：,1.,强度校核,2.,设计截面,由上式算出需要的横截面面积，然后确定截面尺寸。,3.,确定许用载荷,.10,应力集中,应力集中,在构件截面突然改变的局部区域内，应力急剧增加，而离开这个区域稍远处，应力又趋于缓和。,P,P,P,(a),P,P,P,(b),应力集中系数,:,发生应力集中的截面上的最大应力,截面上的平均应力,A,A,p,p,(a),p,(b),A,max,s,max,s,比较均质的脆性材料,灰口铸铁这类非均质的脆性材料,在静载下，不同材料对应力集中的敏感程度是不同的,(d),S,s,S,s,A,A,p,(c),S,s,S,s,A,p,2.11,拉压超静定问题,一、超静定的概念,作用于研究对象上的未知力数多于静力平衡方程的数目，就不能单凭静力平衡方程求出未知力，这种问题称为,超静定问题,（或静不定问题）。,未知力多于静力平衡方程的数目称为超静定次数。,A,B,C,D,Q,Q,1,N,2,N,3,N,B,1,2,3,二、超静定问题的解法,以图为例，说明超静定问题的解法。,两端固定的杆，在,C,、,D,两截面有一对力,P,作用，杆横截面积为,A,，弹性模量为,E,，现计算杆内最大应力。,（,1,）平衡方程：,A,、,B,两端的约束反力,A,R,B,R,P,P,A,C,B,D,l,l,l,(a),P,P,(b),(a),A,C,B,D,l,l,l,P,P,P,P,A,R,B,R,(a),(b),两端固定的杆，在,C,、,D,两截面有一对力,P,作用，杆横截面积为,A,，弹性模量为,E,，现计算杆内最大应力。,（,2,）变形协调方程：,（,3,）通过物理关系将变形用未知力表示,(b),A,C,B,D,l,l,l,P,P,P,P,A,R,B,R,(a),(b),两端固定的杆，在,C,、,D,两截面有一对力,P,作用，杆横截面积为,A,，弹性模量为,E,，现计算杆内最大应力。,带入,(b),式得：,(b),A,C,B,D,l,l,l,P,P,P,P,A,R,B,R,(a),(b),两端固定的杆，在,C,、,D,两截面有一对力,P,作用，杆横截面积为,A,，弹性模量为,E,，现计算杆内最大应力。,整理后得：,(c),（,c,）式称为补充方程,(b),(a),联立（,a,）、（,c,）求解得,A,C,B,D,l,l,l,P,P,P,P,A,R,B,R,(a),(b),各段内力：,可见,CD,段内力最大，故,求解超静定问题的一般步骤归纳为：,平衡方程；,几何方程,变形协调方程；,物理方程,胡克定律；,补充方程：由几何方程和物理方程得；,解由平衡方程和补充方程组成的方程组,。,例,2-3,由三根杆组成的结构，如下图所示。若,1,、,2,杆的抗拉刚度同为 ，,3,杆的抗拉刚度为 ，在,P,力作用下，试求三杆的内力。,a,a,A,B,C,D,1,2,3,E,P,解：（,1,）静力平衡关系,设三杆轴力皆为拉力，有节点,A,的平衡条件,（,2,）变形几何关系,在中有以下变形谐调条件,a,a,A,B,C,D,1,2,3,E,1,A,P,3,l,D,l,1,D,(a),A,2,N,1,N,3,N,P,(b),（,b,）,（,a,）,a,a,A,B,C,D,1,2,3,E,1,A,P,3,l,D,l,1,D,(a),A,2,N,1,N,3,N,P,(b),（,3,）物理关系,根据虎克定律,代入（,b,）式得补充方程,（,4,）联立求解式（,a,）、（,c,）得,（,a,）,（,c,）,（,d,）,例,.4,支架中三根杆件的材料相同，横截面面积分别为，试求各杆内的应力。,P,1,2,3,A,30,30,(a),N,1,N,2,N,3,P,A,解：,（,1,）平衡条件,设三杆皆为拉杆，由（,b,）图可知，,(b),（,a,）,（,b,）,(c),（,2,）变形条件,设是变形后,A,点的位置，由分别向,1,、,2,、,3,杆轴线做垂线，,设，则有,o,1,2,3,A,A,a,B,h,消去参数后有,这就是变形协调条件，将物理关系代入后就得到补充方程。以下请同学们自行完成。,装配应力,例,2-5,吊桥吊索的一节有三根长为,l,的钢杆组成。若三杆的横截面积相等，材料相同，中间钢杆的加工误差为，这里负号表示短于名义长度。设，试求各杆的装配应力。,l,(a),解：吊索的一节简化成图,b,所示的超静定结构。,(,1),平衡条件为,(,2),变形谐调条件为,（,a,）,（,b,）,D,1,N,1,N,2,N,1,l,D,2,l,D,(b),则有物理关系,代入式（,b,）得补充方程，,（,c,）,联立求解（,a,）、（,c,）得,（,a,）,（,b,）,D,1,N,1,N,2,N,1,l,D,2,l,D,(b),两侧杆和中间杆的装配应力分别是,D,1,N,1,N,2,N,1,l,D,2,lD,(b),温度应力,例,2-6,蒸汽锅炉与原动机见的管道连接的示意图，通过高温蒸汽后，管道温度增加，设管道材料的线膨胀系数为，弹性模量为，试求温度应力。,高,压,蒸,汽,锅,炉,原,动,机,A,B,l,（,1,）平衡方程,把管道两端,A,、,B,简化为固定端，管道的计算简图如,b,。,（,2,）,变形谐调条件,（,a,）,（,b,）,解：,B,R,A,B,t,l,D,A,R,(b),（,a,）,（,b,）,（,3,）物理关系,有虎克定律和热膨胀定律：,代入式（,b,）得补充方程,由（,a,）、（,c,）解得,（,c,）,B,R,A,B,t,l,D,A,R,于是温度应力为,设管子是刚制的，取 温度变化，由（,d,）得温度应力为,（,d,）,A,R,B,R,B,R,A,B,t,l,D,A,R,