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机械波,*,第,6,章 机械波,6.1,机械波的产生、传播和描述,6.2,平面简谐波的波函数,6.3,波的能量,6.4,惠更斯原理,波的衍射、反射和折射,6.5,波的干涉,6.6,驻波,6.7,多普勒效应,*,6.8,声波 超声波 次声波,内容提要,5/22/2026,振动,:,于平衡位置，无随波逐流,.,波动,:,机械波,：机械振动在弹性介质中的传播过程,.,电磁波,：,交变电磁场在空间的传播过程,.,物质波,：,微观粒子的运动,其本身具有的波粒二象性,.,波动的种类,:,振动的传播过程,.,5/22/2026,波动的共同特征：,具有一定的传播速度，且都伴有能量的传播。能产生反射、折射、干涉和衍射等现象,.,水波,声波,天线发射出电磁波,5/22/2026,6.1,机械波的产生、传播和描述,6.1.1,机械波产生的形成,条件,波源：,作机械振动的物体,.,机械波,:,机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远,地传播出去，就形成机械波,.,弹性介质：,承担传播振动的物质,.,机械振动只能在弹性介质,中传播,.,说明,6.1.2,横波与纵波,横波：,纵波：,质元的振动方向与波的传播方向垂直,.,质元的振动方向与波的传播方向平行,.,5/22/2026,振动曲线,t,y,结论,(1),波动中各质点并不随波前进；,y,x,波动曲线,(2),各个质点的相位依次落后,波,动是相位的传播；,(3),波动曲线与振动曲线不同,.,5/22/2026,6.1.3,波的几何描述,在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位,相同的点构成的曲面,.,沿波的传播方向作的有方向的线,.,波面,:,波线,:,波前,:,波传播过程中,某一时刻最前面的波面,.,在各向同性均匀媒质中，,波线波面,.,注意,5/22/2026,6.1.4,波速 波长 周期（频率）,同一波线上相邻两个相位差为,2,的质点,之间的,距离,；即,波源作一次完全振动，波前进的距离,.,波前进一个波长距离所需的时间,.,周期表征了波的,时间周期性,.,单位时间内，波前进距离中完整波的数目,.,频率与周期的关系为,:,振动状态在媒质中的传播速度,.,波速与波长、周期和频率的关系为,:,波长反映了波的,空间周期性,.,5/22/2026,(1),波的周期和频率与媒质的性质无关,;,一般情况下,与波源振动的周期和频率相同,.,a.,拉紧的绳子或弦线中横波的波速为：,b.,均匀细棒中，纵波的波速为：,(2),波速实质上是相位传播的速度,故称为相速度,;,其,大小主要决定于媒质的性质,与波的频率无关,.,说明,张力,线密度,固体棒的杨氏模量,固体棒的密度,例如：,5/22/2026,d.,液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出,:,c.,固体媒质中传播的横波速率由下式给出：,固体的切变弹性模量,固体密度,流体的容变弹性模量,流体的密度e.,稀薄大气中的纵波波速为,:,气体摩尔热容比,气体摩尔质量,气体摩尔常数,5/22/2026,6.2,平面简谐波的波函数,波面为平面的简谐波,.,平面简谐波,:,简谐波,:,介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质,中各质点作同频率的谐运动,.,6.2.1,平面简谐波波函数的建立,一、波函数,:,设,波源的振动表达式为,(,x,0),：,简谐振动,平面简谐波的波函数,5/22/2026,从时间看,P,点,t,时刻的位移是,O,点,时刻的位移,.,P,点的振动表达式：,即,t,=,x,/,u,时,P,点的振动状态与,O,点,t,=0,时的状态相同,.,平面简谐波的波函数,5/22/2026,将,代入,上式,波函数的其它形式,如果波沿,x,轴的负方向传播，则,P,点的相位要比,O,点的相位,超前,.,则波函数,为,:,5/22/2026,讨论波函数的物理意义,当,x,=,x,0,(,常数,),时，,表示,x,0,处质元的振动表达式,.,(2),当,t,=,t,0,(,常数,),时，,表示各质元的位移分布函数,.,对应函数曲线,波形图,.,5/22/2026,y,x,O,x,1,x,2,u,(3),波形图的分析：,a,.,可表示振幅,A,，,A,波长,；,b.,波形图中,x,1,和,x,2,两质点的相位差,:,相位差：,波程差,:,x,2,x,1,1s,，,试根据图中绘出的条件求出波动表达式，并,求,A,点的振动表达式。,(,已知,A,=0.01m),解：,由图可知,:,波速：,y,(cm),x,(cm),1,2,3,4,5,6,A,原点振动表达式：,5/22/2026,波动表达式：,A,点振动表达式：,5/22/2026,例,:,一平面简谐波在介质中以速度,u,=20,m/s,沿,x,轴的负向传播。已知,A,点的振动方程为,y,=3cos 4,t,.,y,解：,A,点为坐标原点,B,点为原点,波源坐标为,:,A,x,y,B,u,求,:,(1),以,A,点为坐标原点求波函数；,(2),以距,A,点,5m,处的,B,为坐标原点求波函数。,5/22/2026,*,6.2.2,波动方程,由,知,(2),不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；,(1),上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；,(3),若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程为右式,.,说明,5/22/2026,6.3.1,波动能量的传播,6.3,波的能量,波动过程,质元由静止开始振动,质元也发生形变,波动过程是能量的传播过程,以平面简谐纵波在直棒中的传播为例：,设波沿,x,方向传播,波动表达式：,1.,介质元的能量,1),介质元的振动动能：,5/22/2026,2),介质元的弹性势能：,5/22/2026,3),介质元的总能量：,结论,(1),介质元,d,V的总能量：,周期性变化,(2),介质元的动能、势能变化是同周期的，且相等,.,(3),机械能不守恒，因为不是孤立体系，有能量传播,.,(4),最大位移处,:,平衡位置处,:,5/22/2026,2.,波的能量密度,单位体积介质中的波动能量,.,1),能量密度：,2),平均能量密度：,单位,:,Jm,-3,结论,机械波的能量与,振幅的平方,、,频率的平方,以及,介质的密度,成正比,.,一个周期内的平均值,.,5/22/2026,6.3.2,能流和能流密度,单位时间内垂直通过介质中某一面积的波的能量,S,u,u,能流,(,P,),：,平均能流：,能流密度,(,波的强度,),：,单位时间内流过垂直于波传播方向的单位面积的波的平均能量,一个周期内的平均值,.,单位,:,Wm,-2,5/22/2026,6.3.3,波能量的吸收,吸收媒质,实验表明：,O,为,介质吸收系数,，与介质的性质、温度、及波的频率有关,I,x,I,x,I,0,I,0,O,5/22/2026,6.4,惠更斯原理,波的衍射、反射和折射,6.4.1,惠更斯原理,介质中波动传播到的各点，都可以看成是发射子波的波源，而在其后的任一时刻，这些子波的包络面就是新的波前,子波波源,波前,子波,5/22/2026,平 面 波,球 面 波,5/22/2026,6.4.2,波的衍射,1.,波的衍射现象：,波在传播的过程中遇到障碍物或小孔后能够绕过障碍物的边缘继续传播的现象,.,5/22/2026,6.4.3,波的反射和折射,由图可得到，折射率,:,5/22/2026,波的反射,波的折射,5/22/2026,6.5,波的干涉,6.5.1,波的叠加原理,1.,波传播的独立性原理,几列波在空间某点相遇后，每一列波都能独立地保持自己原有的特性,(,频率，波长，振幅，振动方向,),传播，就像在各自的路程中，并没有遇到其他波一样,.,2.,波的叠加原理,在波相遇区域内，任一质点的振动，为各波单独存在时所引起的振动的合振动,.,5/22/2026,6.5.2,波的干涉条件和公式,1.,干涉现象：,两列波在空间相遇,(,叠加,),时，介质中有些点的振动始,终加强，有些点的振动始终,减弱或完全消失的现象,.,3.,相干波,:,2.,相干条件,:,频率相同、振动方向相同、相位差恒定,.,4.,相干波源,:,满足相干条件的波,.,产生相干波的波源,.,5/22/2026,5.,干涉规律,根据叠加原理可知，,P,点处振动方程为,:,S,1,S,2,合振动的振幅,:,P,P,点处波的强度,:,S,1,S,2,P,5/22/2026,相位差,当,干涉相长,当,干涉相消,空间点振动的情况分析,:,5/22/2026,讨论,干涉相长,(1),若,(2),若,干涉相消,干涉相长,干涉相消,从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区域，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和，而是发生重新分布。这种新的强度分布是时间上稳定的、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。,令,波程差,5/22/2026,例,:,AB,为两个相干波源,振幅均为,5cm,频率为,100Hz,，,波速为,10m/s.,A,点为波峰时,B,点恰为波谷,试确定两列波在,P,点干涉的结果,.,15m,A,B,P,20m,解：,依题意,设,的奇数倍，,干涉为零，,P,点静止,.,5/22/2026,例,:,两相干波源,S,1,和,S,2,的间距为,d,=30m,均在,x,轴上,S,1,位于原点,O,.,设两波源分别发出两列平面波沿,x,轴传播,强度保持不变,.,x1,=9m,和,x,2,=12m,处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点,.,O,S,1,S,2,x,1,x,2,x,解：,设,S,1,和,S,2,的振动相位分别为,:,依题意,x,1,点的振动相位差：,-(1),求,:,两波长及两波源间最小相位差,.,5/22/2026,x,2,点的振动相位差：,-(2),(2)-(1):,由,(1),式,当,k,=-2,，,-3,时位相差最小，故,5/22/2026,6.6,驻 波,6.6.1,驻波的产生,两列振幅相同的相干波相向传播时叠加形成的波称为,驻波,.,驻波是波的一种干涉现象,.,驻波的波形特点,5/22/2026,6.6.2,驻波方程,设,x,0,处两波初相均为,0,即,:,讨论,即驻波是各质点振幅按余弦分布,的特殊谐振动；,(1),5/22/2026,波腹,(,A,=,A,max,),：,波节,(,A,=,A,min,),：,相邻两,波腹,之间的距离：,相邻两,波节,之间的距离：,5/22/2026,(2),所有波节点将媒质划分为长 的许多段,;,每段中各质点的振动振幅不同，但相位皆相同；,而相邻段间各质点的振动相位相反,;,相位中没有,x,坐标，,没有相位的传播,.,x,波节,波腹,(3),没有波形的推进，也没有能量的传播，参与波动,的各个质点处于稳定的振动状态,.,5/22/2026,例,:,在弦线上有一简谐波，其表达式为：为了在此弦线上形成驻波，并且在,x,=0,处为一波节，,此弦上还应有一简谐波，,求,其表达式,.,解：,依题意设,反向波为,:,因为,x,=0,处为波节，,5/22/2026,6.6.3,驻波的能量,A,B,C,波节,波腹,位移最大时,平衡位置时,驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化,在相邻的波节间发生动能和势能间的转换,动能,主要集中在,波腹,势能,主要集中在,波节,但无能量的定向传播,.,5/22/2026,驻波与行波的区别,5/22/2026,1.,入射波与反射波产生驻波,振源,固定端反射,软绳,自由端反射,当形成,驻波时,总是出现波腹,总是出现波节,6.6.4,半波损失,5/22/2026,2.,半波损失,波密介质：,密度,与波速,u,的乘积,u,较大的介质,.,波疏介质：,密度,与波速,u,的乘积,u,较小的介质,.,入射波,入射波,驻波,驻波,反射波,反射波,波密介质,波,疏介质,由波疏介质入射,在波密介质界面上反射,在界面处,反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相反，即差了,;,形成驻波时,总是出现波节,.,相位差了,，相当于波程差了,称为,“半波损失”,.,5/22/2026,6.6.5,振动的简正模式,驻波条件,:,本征频率,:,1.,两端固定的弦线形成驻波,2.,一端固定一端自由的弦线形成驻波,5/22/2026,6.7,多普勒效应,波源或观察者或它们二者相对于介质运动时，观察者接收到的频率和波源的真实频率并不相等，这一现象称为,多普勒效应,.,观察者,R,S,波源,u,观察者,相对于介质的运动,速度,，,接近波源为正，反之为负,.,u,R,:,波,的,传播,速度,，,接近观察者为正，反之为负,.,u,:,波源,相对于介质的运动,速度,，,接近观察者为正，反之为负,.,u,S,:,5/22/2026,波源静止,观察者静止,:,观察者接收到的频率,观察者在单位时间内接收到完整波形的数目,.,观察者,R,S,波源,u,波源的频率,波源在单位时间内发出的完全波的数量,.,波的频率,单位时间内通过介质中某点的完全波的数量,.,R,:,S,:,W,:,5/22/2026,6.7.1,波源静止，观察者以速度,u,R,相对于介质运动,1.,观察者接近波源,观察者单位时间内接收的完全波的数量为：,2.,观察者离开波源,5/22/2026,6.7.2,观察者静止，波源以速度,u,S,相对介质运动,1.,波源接近观察者,在每个周期中，波源移近观察者,y,y,即每个波长缩短了,的距离为,频率变高,5/22/2026,2.,波源离开观察者,频率变低,y,y,在每个周期中，波源离开观察者,即每个波长增加了,的距离为,5/22/2026,波源与观察者相互接近时，感觉到的频率较高，,反之波源与观察者相互远离时，感觉到的频率较低,.,6.7.3,波源以,u,S,运动，观测者以,u,R,运动（相向为正）,由于波源的运动，介质中波的频率,:,由于观察者的运动，观察者接收到的频率与波的频率之间的关系,:,观察者接收到的频率,:,结论,5/22/2026,6.7.4,冲击波和马赫锥,5/22/2026,当波源速度大于波的速度时,波源比波前进得快,波的前面不可能形成波动，在各个时刻波源发出的波到达的波前的包络面呈现出一个以波源为顶点的圆锥面,这种波叫,冲击波,也叫,马赫波,此锥面叫,马赫锥,.,M,为马赫数,如核爆炸、超音速飞行等,5/22/2026,