弹性力学_一点应力状态01.ppt

弹性力学补充内容一,1-1,弹性力学中的几个基本概念,1-2,弹性力学中的基本假定,研究内容,:,弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。,任务,:,解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。,研究方法,仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，,放弃了材力中的大部分假定,。,1-1,弹性力学中的几个基本概念,基本概念：,外力、应力、形变、位移。,1.,外力,体力、面力,（材力：集中力、分布力。）,(1),体力,弹性体内,单位体积,上所受的外力,体力分布集度,（矢量）,x,y,z,O,X,、,Y,、,Z,为体力矢量在坐标轴上的投影,单位：,N/m,3,kN/m,3,说明：,(1),F是坐标的连续分布函数,；,(2),F,的加载方式是任意的,(,如：重力，磁场力、惯性力等,),(3),X,、,Y,、,Z,的正负号由坐标方向确定。,(2),面力,作用于物体表面上的外力,面力分布集度（矢量）,x,y,z,O,面力矢量在坐标轴上投影,单位：,1N/m,2,=1Pa(,帕,),1MN/m,2,=10,6,Pa=1MPa(,兆帕,),说明：,(1),F,是坐标的连续分布函数,；,(2),F,的加载方式是任意的,;,(3),的正负号由坐标方向确定。,2.,应力,(1),一点应力的概念,A,Q,内力,(1),物体内部分子或原子间的相互作用力,;,(2),由于外力作用引起的相互作用力,.不考虑,),P,(1),P,点的内力面分布集度,(2),应力矢量,.,-,-P,点的应力,的极限方向,由外力引起的在,P,点的某一面上内力分布集度,应力分量,n,(,法线,),应力的法向分量,正应力,应力的切向分量,剪应力,单位,:,与面力相同,MPa(,兆帕,),应力关于坐标连续分布的,(2),一点的应力状态,通过一点,P,的各个面上应力状况的集合,称为一点的应力状态,x,面的应力：,y,面的应力：,z,面的应力：,用矩阵表示：,其中，只有,6,个量独立。,剪应力互等定理,应力符号的意义：,第,1,个下标,x,表示,所在面的垂线线方向；,第,2,个下标,y,表示,的方向,.,应力,正负号,的规定：,正应力,拉为正，压为负。,剪应力,坐标,正面,上，与坐标正向一致时为正；,坐标,负面,上，与坐标正向相反时为正。,x,y,z,O,与材力中剪应力,正负号,规定的区别：,x,y,规定使得单元体顺时针的剪应力,为正，反之为负。,在用,应力莫尔圆,时必须此规定求解问题,x,y,z,O,3.,形变,形变,物体的形状改变,x,y,z,O,（,1,）线段长度的改变,（,2,）两线段间夹角的改变。,P,B,C,A,用线（正）应变,度量,用剪应变,度量,（剪应变,两垂直线段夹角,（直角）,的改变量）,三个方向的线应变：,三个平面内的剪应变：,(1),一点形变的度量,应变的正负：,线应变：,伸长,时为,正,，,缩短,时为,负,；,剪应变：,以直角,变小时为正,，,变大时为负,；,(2),一点应变状态,代表一点,P,的,邻域内,线段与线段间夹角的改变,x,y,z,O,P,B,C,A,其中,应变无量纲；,4.,位移,注：,一点的位移,矢量,S,应变分量均为位置坐标的函数，即,x,y,z,O,S,w,u,v,P,位移分量：,u,x,方向的位移 分量；,v,y,方向的位移 分量；,w,z,方向的位移 分量。,量纲：,m,或,mm,弹性力学问题：,已知,外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（,E,、,）、约束条件,等，求解,应力、应变、位移,分量,。,需建立三个方面的关系：,（,1,）静力学关系：,应力,与,体力、面力,间的关系,(,平衡,),；,（,2,）几何学关系：,形变,与,位移,间的关系；,（,3,）物理学关系：,形变,与,应力,间的关系。,1-2,弹性力学中的基本假定,1.,连续性假定,整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。,作用：,使得,、,、,u,等量表示成坐标的连续函数。,保证,中极限的存在。,2.,线弹性假定,假定物体完全服从虎克（,Hooke,）定律，,应力与应变间成线性比例关系,（正负号变化也相同）。,比例常数,弹性常数（,E,、,）,脆性材料,一直到破坏前，都可近似为线弹性的；,塑性材料,比例阶段，可视为线弹性的。,3.,均匀性假定,作用：可使求解方程线性化,假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性质相同。,作用：,弹性常数（,E,、,）,不随位置坐标而变化；,取微元体分析的结果可应用于整个物体。,4.,各向同性假定,假定物体内一点的,弹性性质,在所有,各个方向都相同,。,作用：,弹性常数（,E,、,）,不随坐标方向而变化；,金属,上述假定符合较好；,木材、岩石,上述假定不符合，称为,各向异性材料,；,符合上述,4,个假定,的物体，称为,理想弹性体,。,5.,小变形假定,假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小物体的原来的尺寸。,作用：,建立方程时，可略去高阶微量；,可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。,使求解的方程,线性化,。,1-3,平面应力问题与平面应变问题,1.,平面应力问题,(1),几何特征,x,y,y,z,t,b,a,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。,平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,(2),受力特征,外力,（体力、面力）和,约束,，仅,平行于板面作用,，沿,z,方向不变化。,x,y,y,z,t,b,a,(3),应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为,xy,平面，垂直于中面的任一直线为,z,轴。,由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿,z,轴方向不变。,可认为,整个薄板的各点,都有：,由剪应力互等定理，有,结论：,平面应力问题只有三个应力分量：,x,y,应变分量、位移分量也仅为,x,、,y,的函数，与,z,无关。,2.,平面应变问题,(1),几何特征,水坝,滚柱,厚壁,圆筒,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸,大得多,，且,沿长度方向几何形状和尺寸不变化,。,近似认为无限长,(2),外力特征,外力,（体力、面力）,平行于横截面,作用，且,沿长度,z,方向不变化,。,约束,沿长度,z,方向不变化,。,(3),变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为,xy,面，任一纵线为,z,轴。,设,z,方向为无限长，则,沿,z,方向都不变化，,仅为,x,，,y,的函数。,任一,横截面均可视为对称面,水坝,因为任,一,横截面均可视为对称面，则有,所有各点的位移矢量都平行于,x y,平面。,平面位移问题,平面应变问题,注：,(1),平面应变问题中,但是，,(2),平面应变问题中应力分量：,仅为,x y,的函数。,可近似为平面应变问题的例子：,煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。,1-4,斜面上的应力 主应力,1.,斜面上的应力,（,1,）斜面上应力在坐标方向的分量,X,N,，,Y,N,x,y,O,dx,dy,ds,P,A,B,s,X,N,Y,N,N,设,P,点的应力分量已知：,斜面,AB,上的应力矢量,:,s,斜面外法线,N,的关于坐标轴的方向余弦：,由,微元体平衡：,整理得：,（,2-3,）,整理得：,（,2-4,）,外,法线,x,y,O,dx,dy,ds,P,A,B,s,X,N,Y,N,N,（,2,）斜面上的正应力与剪应力,（,2-3,）,（,2-4,）,将,式（,2-3,）（,2-4,）代入，并整理得：,（,2-5,）,（,2-6,）,说明：,（,1,）运用了剪应力互等定理：,（,2,）的正负号规定：,将,N,转动,90,而到达 的方向是顺时针的，则该 为正；反之为负。,任意斜截面上应力计算公式,（,3,）若,AB,面为物体的边界,S,，,则,（,2-18,）,平面问题的应力边界条件,2.,一点的主应力与应力主向,x,y,O,dx,dy,ds,P,A,B,s,X,N,Y,N,N,（,1,）主应力,若,某一,斜面上 ，则该斜面上的正应力 称为该点一个,主应力,；,当 时，有,求解,得：,（,2-7,）,平面应力状态主应力的计算公式,主应力 所在的平面,称为,主平面,；,主应力 所在平面的法线方向,称为,应力主向,；,由式（,2-7,）易得：,平面应力状态,应力第一不变量,（,2,）应力主向,设,1,与,x,轴的夹角为,1,，,1,与坐标轴正向的方向余弦为,l,1,、,m,1,，,则,设,2,与,x,轴的夹角为,2,，,2,与坐标轴正向的方向余弦为,l,2,、,m,2,，,则,应力主向的计算公式：,（,2-8,）,由,得,显然有,表明：,1,与,2,互相垂直。,结论,任,一点,P,，,一定存在两,互相垂直的主应力,1,、,2,。,（,3,）,N,的主应力表示,x,y,O,s,dx,dy,ds,P,A,B,N,由,1,与,2,分别为最大和最小应力,。,（,4,）最大、最小剪应力,由,显然，当,时，,N,为最大、最小值：,由,得，,max,、,min,的方向与,1,（,2,）,成,45,。,x,y,O,dx,dy,ds,P,A,B,N,s,小结：,（,2-3,）,（,2-4,）,（,2-5,）,（,2-6,）,（,2-18,）,平面问题的应力边界条件,（,1,）斜面上的应力,（,2-8,）,表明：,1,与,2,互相垂直。,（,2,）一点的主应力、应力主向、最大最小应力,（,2-7,）,max,、,min,的方向与,1,（,2,）,成,45,。,