第二章 利息理论基础.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,利息理论基础,第一节,利息分析,第一节汉英名词对照,积累值,现实值,实质利率,单利,复利,名义利率,贴现率,利息效力,Accumulated value,Present value,Effective annual rate,Simple interest,Compound interest,Nominal interest,Discount rate,Force of interest,一、利息与积累函数,利息定义：,利息是,货币资本,投资的利益，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的报酬，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。,影响利息大小的三要素：,本金,利率：单位本金在单位时间上产生的利息称为该单位时间上的利率，如年利率、月利率、日利率等。,计息方式：单利、复利（一般复利、标准复利、连续复利）,时期长度,一、利息与积累函数,积累函数：是单位资本金经过时间后的积累额。,总累积额函数,贴现函数,第,N,期利息,0,t,1-,K-,-1,例2-1,已知本金,A(0)=1000,元，若按,a,（,t,）,=3t2+1,积累,求：,（,1,）,10,年的积累值；,（,2,）,20,年的积累值；,（,3,）第,10,年获得的利息及利率；,（,4,）第,20,年获得的利息及利率。,1,、单利条件下的积累函数,假定一个单位的投资在每个单位时间所赚的利息是相等的，而,利息不用于再投资,。,一个投资者开了一个储蓄帐户并存入,1,元，该帐户按每年单利率,i,支付利息，那么一年后投资者帐户有,1+i,元，两年后他的帐户值是,1+2i,元，,二、单利与复利,一般表现形式,假设：,I,利息；,P,期初本金；,i,利率,;,A(t,),经过时间,t,后的积累值,I,Pit,A(t,),P,I,P(1+it),注意：,i,和,t,的单位必须一致，即若利率取年利率，时期,t,必须以年计；若利率取月利率，,t,必须以月计。,例：如果每年单利率为,8,，投资额为,2000,元，求,（1,）,4,年后的利息（,2,）,3,个月后的利息（,3,）,4,年后的本利和,解：,（,1,）,I,Pit,20008,4,640,（元）,（,2,）,I,Pit,20008,1/4,40,（元）,（,3,）,A(t,),P(1+it),2000,（,1,8,4,）,2640,（元）,2,、复利条件下的积累函数,复,利息,所赚的利息收入记入下一期的本金可以进行再投资以赚取额外利息,。即通常所说的“利滚利”。,一个投资者开了一个储蓄帐户并存入,1,元，该帐户按每年复利率,i,支付利息，那么一年后投资积累值,1,i,元；接下来用,1,i,金额作投资，在第二年末的积累值是,(1+i)+i(1+i)=(1+i),2,；在第三年末的积累值将达到,(1+i),2,+i(1+i),2,=(1+i),3,；以此类推,第,t,年可得到该投资的积累值为,(1+i),t,，,t,是非负数。,一般表示形式,假设：,I,利息；,P,期初本金；,i,利率；,A(t,),经过时间,t,后的积累值,A(t,),P(1+i),t,t,0,当利率相同，计息期相同时，比较单利累积值和复利累积值的大小,例：如果年复利率,8,，投资额为,2000,元，分别求三个月末、一年末和四年末的终值。,解：,时间,t,时的终值：,A(t,),P(1+i),t,A(1/4),2000(1,8,),1/4,2038.35(,元,),A1),2000(1,8,),2160(,元,),A(4),2000(1,8,),4,2720.98,（元）,比较：若单利率复利率,8,当,t,1/4,时，,2038.352040,，即：复利终值,2640,，即：复利终值,单利终值,单利计算与复利计算的区别,若单利率复利率，则当,0t1,时，复利终值,1,时，复利终值,单利终值。,短期两者差异不大，长期两者显著差异,复利几乎用于所有的金融业务，单利只用于短期计算或复利不足期近似计算。,注：除特别声明，一般考虑复利计算方式,t,a(t),0,1,1,(1+it),(1+i)t,e(it),三、贴现率与现值函数,1,、实质贴现率,一个度量期上的实质贴现率为该度量期内产生的利息金额与期末的积累值之比。通常用字母,d,来表示实质贴现率。,设,i,为单利率，计算相应单利各期的实质贴现率,大小发生变化,设,i,为复利率，计算相应复利各期的实质贴现率,大小不发生变化,注：实质利率与实质贴现率的关键区别,a,）利息在期初余额的基础上期末支付,b,）贴现在期末节余的基础上期初支付,例：实质利率/贴现率,某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求,分别等于多少？,例：答案,例：,假设期初借款人从贷款人那里借,10000,元，商定一年到期时还,10500,元，如果借款人希望期初时即付给贷款人利息，,1,年到期时偿还本金,10000,元，问：期初借款人实际可得金额多少？,解：,可得,i,5,，贴现因子,v=(1+i),-1,=0.9524,d=iv=0.04762,从而借款人期初实际可得,10000(1-d)=9524(,元,),2,、现值与终值,终值是现在的货币值在未来时期的价值。,现值是未来的货币值在现在时期的价值。,积累因子（,accumulation factor,）,如果实质利率为,i,，则在期初投资的,1,个单位的本金在期末将累积到,1,i,。把,1,i,称为,积累因子,，即,期末积累值期初本金,累积因子,贴现因子,(discount factor),：,积累的反问题：在期初投资多少，才能使在,1,个时期结束时本金和利息总额等于,1,单位的货币量？,如果在期初投资（,1,i,）,1,，期末恰好累积到,1,，把,v,（,1,i,）,1,称为,贴现因子,期初本金期末积累值,贴现因子,贴现函数,a,-1,(,t,),：也叫为,t,期贴现因子。,a,-1,(1),简称为贴现因子，并简记为,v,;,现值,present value,积累与贴现是一对相反的过程，相对于期初,1,个单位本金在,t,时期期末积累值是,a(t,),，相对于,t,时期期末,1,单位金额的期初值则为,a,-1,(t),。,贴现率与贴现因子的关系是：,四、一般复利与一般复贴现,利息可以按年支付，也可以在一年多次支付，我们将一年多次支付利息的形式称为一般复利。,利率表中是否表示存,3,个月的实质利率为,1.71,，而存一年的实质利率为,2.25,？,注意：上述理解是有问题的。,项目,年利率,(%),活期存款,0.36,整存整取,3,个月,1.71,半年,1.98,1,年,2.25,2,年,2.79,3,年,3.33,5,年,3.60,人民币存款利率,2008,年,12,月,23,日,名义利率,定义：每个度量期（通常为一年）支付,m,次利息的名义利率用,i,(m,),表示（,m,一般大于,1,，也可小于,1,或不为整数），即每,1/m,个度量期支付利息一次，每,1/m,个度量期的实质利率为,i,(m),/m,例：,i,(4),8,（季换算名义利率,8,）表示每个季度支付利息一次，且每个季度的实质利率为,2,。,如,3,个月的定期存款利率（挂牌利率）为,i,(4),1.71,则,10000,元存满三个月可得利息,42.75,元。,问题：连续存,4,个三个月的定期和存一个一年定期，哪一个更划算？,解：设期初的本金是,10000,元，连续存,4,个三个月的定期可得利息,10000(1,1.71%/4),4,10000=172.10,存一个一年定期可得利息,100002.25,=225,例：,2,年期的定期,i,（,1/2,）,=2.79%,2,年期的实际利率为多少？,2i,（,1/2,）,=5.583,年期的定期,i,（,1/3,）,=3.33%,3,年期的实际利率,3i,（,1/3,）,=9.99%,5,年期的定期,i,（,1/5,）,=3.60%,5,年期的实际利率,5i,（,1/5,）,=18%,例：,Find the accumulated value of$500 invested for 5 years at 8%per annum convertible quarterly.,解：,500(1+8%/4),45,5001.02,20,=$742.97,实际应用中通常需要计算与名义利率,i,（,m,）,等价的（年）实质利率,i,的大小。,名义利率与实际利率有如下关系,及,补充：名义利率图,名义贴现率,用符号,d,(,m,),记每一度量期付,m,次利息的名义贴现率。所谓名义贴现率,d,(,m,),，,是指每,1/,m,个度量期支付利息一次，而在每,1/,m,个度量期上的实质贴现率为,d,(,m,),/,m,。,如,d,是对每个度量期初支付的利息的度量一样，名义贴现率,d,(,m,),是一种对,1/,m,个度量期初支付的利息的度量。,图,(1-2B),名义贴现率图,等价关系,相同度量期内等价的名义利率与名义贴现率有如下的关系（,m,，,p,可以不相同）,例,（,1,）求与实质利率,8,等价的每年计息,2,次的年名义利率以及每年计息,4,次的年名义贴现率；,（,2,已知每年计息,12,次年名义贴现率为,8,，求实质利率；,（,3,）,Find the nominal rate of interest convertible quarterly which is equivalent to a nominal rate of discount of 6%per annum convertible monthly.,解：,例：,以每年计息,2,次的年名义贴现率,10,，在,6,年后支付,5,万元，求其现值。,解：,记现值为,PV,则,A(6)=PVa(6),PV,A(6)a,1,(6)=50000(1-d),6,=50000(1-d,(2),/2),62,50000(1-5,),12,27018,例：,1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。,2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。,3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。,例：答案,1、,2、,3、,利息效力,定义：瞬间时刻利率强度,等价公式,一般公式,恒定利息效力场合,例：,确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值,1、,2、,例：答案,利息的度量总结利息转换频率不同,实质利率：,以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率，记为 。,名义利率：,在一年里有,m,个利息转换期，假如每一期的利率为,j，,记,为 这一年的名义利率，,。,利息力：,假如连续计息，那么在任意时刻,t,的瞬间利率叫作利息力，记为 。,实质贴现率,和,名义贴现率,的定义与实质利率、名义利率类似。,第二节,年金分析,年金的定义与分类,定义,按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。,分类,基本年金,等时间间隔付款,付款频率与利息转换频率一致,每次付款金额恒定,一般年金,不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金,一、基本年金,基本年金,等时间间隔付款,付款频率与利息转换频率一致,每次付款金额恒定,分类,付款时刻不同：初付年金/延付年金,付款期限不同：有限年金/永久年金,基本年金图示,0 1 2 3 -,n n+1 n+2-,1 1 1 -1 0 0-,延付年金,基本年金图示,0 1 2 3 -,n n+1 n+2-,1 1 1 -1 0 0 0-,初付年金,基本年金图示,0 1 2 3 -,n n+1 n+2-,1 1 1 -1 1 1-,延付永久年金,基本年金图示,0 1 2 3 -,n n+1 n+2-,1 1 -1 1 1-,初付永久年金,基本年金公式推导,例,1,：,一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换9%，求此项年金的现时值。,例,2,：,某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？,例2答案,（1）,（2）,例3,假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若,求这些付款的现时值。,例3答案,方法一：,方法二：,例4,有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？,例5永久年金,A,留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人,B，,第2个10年的利息付给受益人,C，,此后的利息都付给慈善机构,D。,若此项财产的年实质利率为7%，试确定,B，C，D,在此笔财产中各占多少份额？,例5答案,基本年金公式总结,年金,有限年金,永久年金,现时值,积累值,现时值,延付,初付,等差年金,一般形式,现时值,积累值,0,1,2,n,P,P+Q,P+(n-1)Q,特殊等差年金,年金,递增年金,递减年金,P=1,Q=1,P=n,Q=-1,现时值,积累值,例,有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至,n，,然后每年减少1直至1，试求其现时值。,例答案,二、一般年金的现值和终值,分类,支付频率小于利息转换频率,支付频率大于利息转换频率,方法,通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实际利率。,年金的代数分析,1,付款频率小于计息频率的情况,考虑一项有,n,个计息期的年金。该年金在每,K,个计息期末付款一次，每次付款,1,。因为每,k,个计息期末付款一次，所以年金总的付款次数为,n/k,（假设,n,k,为整数，并且,n/k,也为整数）。,定义记号：,k,每个付款周期内的计息次数,n,年金的付款总次数,k,（计息总次数）,i,每个计息期内的实质利率（名义利率,/,计息次数）,（,1,）期末付年金,（,2,）期初付年金,该年金等价于一个付款周期等于计息期、数额为 的,n,期期末年金，流程图为：,（,3,）其他的付款频率小于计息频率的情况,2,付款频率大于计息频率的年金（,1,）期末付年金,设每个计息期内付款,m,次，,n,为年金总的计息期数，,i,为每个计息期的实质利率，假设,m,、,n,均为正整数，显然总的付款次数为,mn,。,定义记号：,m,每个计息期内的付款次数,n,年金的付款总次数,/m,（计息总次数），即：付款总次数为,mn,i,每个计息期内的实质利率,考虑在年金的每个付款期期末付款,1/,m,的情况（见下图）,期末年金,在每个付款期的期末付款,1/m,元，流程图为：,1/m,1/m,1/m,1/m,1/m,0 1/m 2/m 1 2 n,注：,在年金的每个付款期期末付款,1/,m,，因为每个计息期内付款,m,次，所以每个计息期内全部付款总量为,m,1/,m,=1,，而年金总共有,n,个计息期，因此，年金总的付款量为,n,。,比较：期末年金流程图,（,1,）付款频率大于计息频率的情况,在每个付款期的期末付款,1/m,元，流程图为：,1/m,1/m,1/m,1/m,1/m,0 1/m 2/m 1 2 n,（,2,）,付款频率小于计息频率的情况,年金现值,例,:,某年轻人从他,20,岁参加工作开始每个月末存入,100,元到某基金中，直到,60,岁退休为止共进行了,40,年,480,次的存款。假设基金年利率为,13%,，求到最后一次存款时，全部存款的积累值。,（,2,）期初付年金,在每个付款期的期初付款,1/m,元：,1/m,1/m,1/m,1/m,0 1/m 1 n-1/m n,注：在一个计息期内共支付,1,个单位金额,（,2,）期初付年金,（,3,）其它各种形式的付款频率大于计息频率的情形,例：考虑一个十年期每月末付,400,元租金的年金，用年利率表示以下的量：,1,）在首次付款两年前的现值,2,）在末次付款三年后的终值,例：已知每半年付款,1,元的永久年金的现值为,10,元，计算年利率。,年金关系,延付年金,初付年金,现时值,积累值,一般年金代数公式,年金,支付频率小于计息频率,支付频率大于计息频率,现时值,积累值,现时值,积累值,延付,初付,三、连续年金的现值与终值,定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金.,公式:,假设：,年金为,1,个单位金额的广义年金的付款周期可以充分小，即：付款间隔充分小，而付款频率充分快（相当于,m,）,问题：,极限状态下，时间为,n,个利息换算期，利息力为,的年金的现值和终值？,假定付款是均匀的，即付款率,(rate of payment),等于,1,，从而在小时间段 上付款为,例,:,假设某,10,年期连续年金的支付率为常数,30,，年度实质利率为,8%,，求该年金在其开始前,3,年的值。,例,:,某,n,年期连续年金，其,t,时的支付率为,t,2,+,t,(0,t,n,),，如果利息强度为常数,，求该年金的终值的表达式。,该年金终值表达式：,恒定利息效力场合,例,确定利息效力使,连续支付的永久年金,