第六章 相似矩阵及二次型.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,相似矩阵及二次型,1.向量的内积,定义,1,设有,n,维向量,令,x,y,称为向量,x,与,y,的,内积,。,内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当,x,与,y,都是列向量时，有,内积具有下列性质（其中,x,y,z,为,n,维向量，为实数）：,（1）,x,y,=,y,x,;,（2）,x,y,=,x,y,;,（,3,）,x,+,y,z,=,x,z+,y,z,.,.,1.向量的内积,有解析几何中，我们曾经引进向量的数量积,且在直角坐标系中，有,n,维向量的内积时数量积的一种推广，但,n,维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广，并且反过来，利用内积来定义,n,维向量的长度和夹角：,定义2,令,称为,n,维向量,x,的,长度,（或范数）。,向量的长度有下述性质：,1.非负性,当 时，;当,x,=0,时，=0；,2.齐次性,；,3.,三角不等式,。,当,=1,时，称,x,为,单位向量,。,向量的内积满足,上式称为,施瓦茨不等式,，这里不予证明。由此得,于是有下面的定义：,当 时,称为,n,维向量,x,与,y,的,夹角,。,当,x,y,=0,时，称向量,x,与,y,正交,。显然，若,x,=0，,则,x,与任意向量都正交。,1.向量的内积,下面讨论,正交向量组的性质。所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量。,定理1,若,n,维向量,a,1,，,a,2,a,r,是一组两两正交的非零向量，则,a,1,，,a,2,a,r,线性无关,。,证,设有 使,以 左乘上式两端，得,，,因 故 ，从而必有 。类似可证 ，。于是向量组,a,1,，,a,2,a,r,线性无关。证毕,我们常采用正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的,正交基,。例如,n,个两两正交的,n,维非零向量，可构成向量空间,R,n,的一个正交基。,1.向量的内积,例1 已知3维向量空间,R,3,中两个向量,正交，试求一个非零向量,a,3,，,使,a,1,a,2,a,3,两两正交。,解,记 a,3,应满足齐次线性方程,Ax,=0,即,，,由 ，,得 ，从而有基础解系 。取 即合所求。,定义3,设,n,维向量,e,1,e,2,e,r,是向量空间 的一个基，如果,e,1,e,2,e,r,两两正交，且都是单位向量，则称,e,1,e,2,e,r,是,V,的一个,规范正交基。,例如,就是,R,4,的一个规范正交基。,若,e,1,e,2,e,r,是,V,的一个规范正交基，那么,V,中任一向量,a,应能由,e,1,e,2,e,r,线性表示，设表示式为,。,为求其中的系数 （,i,=1,r,）,可用 左乘上式，有,即,1.向量的内积,设,a,1,a,2,a,r,是向量空间,V,的一个基，要求V,的一个规范正交基。这也就是要找一组两两正交的单位向量,e,1,e,2,e,r,，,使,e,1,e,2,e,r,与,a,1,a,2,a,r,等价。这样一个问题，称为,把,a,1,a,2,a,r,这个基规范正交化,。,我们可以用以下办法把,a,1,a,2,a,r,规范正交化：,取,容易验证,b,1,b,r,两两正交，且,b,1,b,r,与,a,1,a,r,等价。,然后只要把它们单位化，即取,就得,V,的一个规范正交基。,上述从线性无关向量组,a,1,a,r,导出正交向量组,b,1,b,r,的过程称为,施密特（,Schimidt,）,正交化过程,。它不仅满足,b,1,b,r,与,a,1,。,ar,等价，还满足：对任何,k,(1 ),向量组,b,1,，,b,k,与,a,1,a,k,等价。,例2 设 试用施密特正交化过程把这组向量规,范正交化。,解,取,再把它们单位化，取,1.向量的内积,1.向量的内积,例4 验证矩阵,P,是正交矩阵,P,解,P,的每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以,P,是正交矩阵。,定义5,若,P,为正交矩阵，则线性变换,y,=,P,x,称为,正交变换,。,设,y,=,P,x,为正交变换，则有,按 表示向量的长度，相当于线段的长度。说明经正交变换线段长度保持不变，这是正交变换的优良特性。,2.方阵的特征值与特征向量,工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征的问题。数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题，也都要用到特征值的理论。,定义6,设,A,是,n,阶矩阵，如果数 和,n,维非零列向量,x,使关系式,（1）,成立，那么，这样的数 称为方阵,A,的,特征值,，非零向量,x,称为,A,的对应于特征值 的,特征向量,。,2.方阵的特征值与特征向量,（1）式也可写成 （2）,这是,n,个未知数,n,个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式,（3）,即,上式是以 为未知数的一元,n,次方程，称为方阵,A,的特征方程。其左端是的,n,次多项式，记作,f,(),，,称为方阵,A,的特征多项式。显然，,A,的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，,n,阶矩阵,A,有,n,个特征值。,2.方阵的特征值与特征向量,设,n,阶矩阵,A,=（,a,ij,）,的特征值为 ，由多项式的根与系数之间的关系，不难证明,（1）,（2）,请读者证明之。,设为方阵,A,的一个特征值，则由方程,可求得非零解,x,=,p,i,，,那么,p,i,便是,A,的对应于特征值 的特征向量。（若 为实数，则,p,i,可取实向量；若 为复数，则,p,i,为复向量。）,例5 求 的特征值和特征向量。,解,A,的特征多项式为,所以,A,的特征值为 ，。,当 时，对应的特征向量应满足,即,解得,x,1,=,x,2,所以对应的特征向量可取为,。,当 时，由,即,解得,x,1,=-,x,2,，,所以对应的特征向量可取为,显然，若,p,i,是方阵,A,的对应于特征值 的特征向量，则,也是对应于 的特征向量。,例,6,求矩阵,的特征值和特征向量。,解,A,的特征多项式为,所以,A,的特征值为 ,。,当时 ，解方程 。,由 得基础解系 ，,所以 是对应于 的全部特征向量。,当时 ，解方程,由 ，,得基础解系 ，,所以 是对应于 的全部特征向量。,例7 求矩阵 的特征值和特征向量。,解,当 时，解方程 。,由 得基础解系 ，,所以对应于 的全部特征向量为 。,当 时，解方程 。,由 ，,得基础解系 ，,所以对应于 的全部特征向量为,（,k,2,k,3,不同时为0）。,例8 设 是方阵,A,的特征值，证明 是,A,2,的特征值。,证,因 是,A,的特征值，故有 使 。于是,，,所以 是,A,2,的特征值。,按此类推，不难证明：若 是,A,的特征值，则 是,A,k,的特征值；是 的特征值。（其中,，）,定理2,设 是方阵,A,的,m,个特征值，,p,1,p,2,p,m,依次是与之对应的特征向量。如果 各不相等，则,p,1,p,2,p,m,线性无关。,3.相似矩阵,定义7,设,A,B,都是,n,阶矩阵，若有可逆矩阵,P,使,P,-1,AP,=,B,则称,B,是,A,的,相似矩阵,，或说矩阵,A,与,B,相似。对,A,进行运算,P,-1,AP,称为对,A,进行,相似变换,，可逆矩阵,P,称为把,A,变成,B,的相似变换矩阵。,定理3,若,n,阶矩阵,A,与,B,相似，则,A,与,B,的特征多项式相同，从而,A,与,B,的特征值亦相同。,证,因,A,与,B,相似，即有可逆矩阵,P,使,P,-1,AP,=,B,故,3.相似矩阵,推论,若,n,阶矩阵,A,与对角矩阵,相似，则 即是,A,的,n,个特征值。,下面我们要讨论的主要问题是：对,n,阶矩阵,A，,寻求相似变换矩阵,P,使,P,-1,AP,=,为对角矩阵，这就称为,把方阵,A,对角化,。,定理4,n,阶矩阵,A,与对角矩阵相似（即,A,能对角化）的充分必要条件是,A,有,n,个线性无关的特征向量。,联系定理2，可得,推论,如果,n,阶矩阵,A,的,n,个特征值互不相等，则,A,与对角矩阵相似。,4.对称矩阵的相似矩阵,定理5,对称矩阵的特征值为实数。,定理6,设 是对称矩阵,A,的两个特征值，,p,1,p,2,是对应的特征向量。若 ，则,p,1,与,p,2,正交。,定理7,设,A,为,n,阶对称矩阵，,是,A,的特征方程的,r,重根，则矩阵 的秩 ,从而对应特征值 恰有,r,个线性无关的特征向量。,这定理不予证明。,定理8,设,A,为,n,阶对称矩阵，则必有正交矩阵,P，,使,P,-1,AP=其中 是以,A,的,n,个特征值为对角元素的对角矩阵,。,例9 设 ，,求一个正交矩阵,P,使,P,-1,AP=,为对角矩阵。,解,故得特征值 =2，。,当 =2时，,由,解得 单位特征向量可取,当时 ，,由 解得,，,基础解系中两个向量恰好正交，单位化即得两个单位正交的,特征向量，,于是得正交矩阵,可以验知确有,此例中对应于 =4，若求得方程（,A,-4,E,）,x,=0,的基础解系为,，,则需把它规范正交化：,取 。要 即 ;,有 ，故,再单位化，即得,于是,可以验知仍有,P,-1,AP=,。,5.二次型及其标准形,定义8,含有,n,个变量 的二次齐次函数,（5）,称为,二次型,取 ,则 ，于是（5）式可写成,（6）,5.二次型及其标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换,（7）,使二次型只含平方项，也就是用（7）代入（5），能使,这种只含平方项的二次型，称为二次型的,标准形,（或,法式,）。,当,a,ij,为复数时，,f,称为,复二次型,；当,a,ij,为实数时，,f,称为,实二次型,。这里我们仅讨论实二次型，所求的线性变换（7）也限于实系数范围。,5.二次型及其标准形,由（6）式，利用矩阵，二次型可表示为,