机械工程测试技术测量误差分析与处理.ppt

学习导航学习导航8.1误差的基本概念（误差的基本概念（Error Basic Concept）8.2 随机误差（随机误差（Random Error）8.3 系统误差（系统误差（System Error）8.4 间接测量中的误差计算（间接测量中的误差计算（Error Calculation in Direct Measurement)8.5 测试数据测量及表示方法（测试数据测量及表示方法（Measurement and Representation of Test Data）8.1 8.1 误差的基本概念误差的基本概念测量量误差与精度差与精度 真真值（true value）基本基本误差源（差源（sources of elemental error）基本基本误差分差分类 ：标定定误差、数据采集差、数据采集误差、数据差、数据处理理误差。差。按性按性质及及产生原因，生原因，误差可分差可分为：系系统误差差：重复性：重复性测量条件下，量条件下，对同一被同一被测量量进行多次行多次测量量结果的平均果的平均值与被与被测量真量真值之差。之差。随机随机误差差：单次次测试结果与在重复性条件下果与在重复性条件下对同一被同一被测量量进行多次行多次测量量结果的平均果的平均值之差。之差。粗大粗大误差差：一种明：一种明显超出超出统计规律律预期范期范围的的误差。差。测量量误差与精度差与精度 准确度准确度(justness):):也称正确度也称正确度(correctness),),测量数据的平均量数据的平均值偏离真偏离真实值的程度，是系的程度，是系统误差的反映。差的反映。精密度精密度(precision):在在进行某一量的行某一量的测量量时，各次，各次测量的数据量的数据彼此接近的程度，是随机彼此接近的程度，是随机误差的反映。差的反映。精确度精确度(accuracy):):简称称为精度，指精度，指测量数据集中于真量数据集中于真实值附近附近的程度。的程度。a)高准确度，低精密度情形 b)低准确度，高精密度情形 c)高准确度、高精密度情形8.1 误差的基本概念误差的基本概念8.1 误差的基本概念误差的基本概念误差的表示方法差的表示方法 误差差(error):):也称也称绝对误差差(absolute error)，是，是测量量值 与其真与其真值 之差。之差。相相对误差差(relative error):测量量误差与真差与真值之比。之比。引用引用误差差(quoted error):):绝对误差与差与仪表的表的满量程量程值A之比。之比。8.2 8.2 随机误差随机误差随机误差分布规律随机误差分布规律正态分布正态分布式中，式中，测量值（随机变量）；测量值（随机变量）；被测量的平均值，表征测量值平均水平或集中趋势的被测量的平均值，表征测量值平均水平或集中趋势的 参数；参数；被测量的标准差，表征测量值相对于其中心位置的离被测量的标准差，表征测量值相对于其中心位置的离散程度。散程度。标准正态分布标准正态分布将一般正态分布化为标准正态分布，令将一般正态分布化为标准正态分布，令随机误差分布规律随机误差分布规律则则 的概率密度函数为：的概率密度函数为：误差落在区间误差落在区间 的概率为：的概率为：其中，其中，称为置信系数，称为置信系数，称为置信限，称为置信限，称为置信区称为置信区间，概率间，概率P称为置信水平。表称为置信水平。表 8-1列出了典型置信区间与相应置列出了典型置信区间与相应置信水平之间的关系。信水平之间的关系。8.2 随机误差随机误差随机误差统计分析随机误差统计分析中心趋势的度量中心趋势的度量平均值：平均值：中位数：位于序列中间数据的值，或位于中间的两个数据的平中位数：位于序列中间数据的值，或位于中间的两个数据的平 均值（若序列中元素的数量为偶数）。均值（若序列中元素的数量为偶数）。众众 数：出现概率最大的随机变量的值。数：出现概率最大的随机变量的值。8.2 随机误差随机误差随机误差统计分析随机误差统计分析分散性的度量分散性的度量每次测量的偏差：每次测量的偏差：平均偏差：平均偏差：总体的标准差：总体的标准差：样本标准差：样本标准差：8.2 随机误差随机误差随机误差统计分析随机误差统计分析总体均值的区间估计总体均值的区间估计在估计总体平均值时，将其表示为在估计总体平均值时，将其表示为或 8-17)其中，其中，是误差，是误差，是样本平均值。区间（是样本平均值。区间（，）为关）为关于均值的置信区间。分别称于均值的置信区间。分别称 、为关于均值的置信下为关于均值的置信下限和置信上限。置信区间取决于置信水平，平均值落入较大区限和置信上限。置信区间取决于置信水平，平均值落入较大区间的置信水平比落入较小区间的置信水平高。置信水平一般通间的置信水平比落入较小区间的置信水平高。置信水平一般通过显著性水平（过显著性水平（level of significance）表示：表示：(8-18)8.2 随机误差随机误差随机误差统计分析随机误差统计分析(1)(1)大样本（大样本（n n3030）事件总体均值的区间估计）事件总体均值的区间估计直接应用中心极限定理估计置信区间。因为直接应用中心极限定理估计置信区间。因为 是正态分布的，所以可以使用统计量是正态分布的，所以可以使用统计量:（8-20）其中，当其中，当 足够大时，根据中心极限定理，足够大时，根据中心极限定理，的标准差：的标准差：由由（8-18），有，有（8-21）也可以写成：也可以写成：（当置信水平为 ）8.2 随机误差随机误差随机误差统计分析随机误差统计分析(2)(2)小样本小样本()事件总体均值的区间估计事件总体均值的区间估计由于标准差的误差，小样本情况下，可以使用由于标准差的误差，小样本情况下，可以使用 分布统计量分布统计量:8-23）与正态分布不同，与正态分布不同，分布取决于样本量。分布取决于样本量。由由（8-18），有，有（8-26）也可以写成：也可以写成：（当置信水平为 ）8.2 随机误差随机误差随机误差统计分析随机误差统计分析总体方差的区间估计总体方差的区间估计总体方差总体方差 的最佳估计是样本方差的最佳估计是样本方差 ，对于正态分布的总体，可以，对于正态分布的总体，可以应用应用 统计量估计置信区间。设随机变量的平均值为统计量估计置信区间。设随机变量的平均值为，标准差为，标准差为，则，则有：有：（8-28）变量变量 被定义为：被定义为：（8-29）联立式联立式(8-28)和和(8-29)，有，有（8-308.2 随机误差随机误差随机误差统计分析随机误差统计分析 是随机变量，在正态分布总体的情况下是随机变量，在正态分布总体的情况下不同自由不同自由度的度的概率密度函数概率密度函数曲线如右图所示。曲线如右图所示。变量变量 在任意两个值之间的取值概率等于曲线下这两值之间的面积：在任意两个值之间的取值概率等于曲线下这两值之间的面积：（8-32）为显著性水平，按式为显著性水平，按式（8-29）得：得：（8-33）则总体方差的置信区间为：则总体方差的置信区间为：（8-34）8.2 随机误差随机误差可疑数据的取舍可疑数据的取舍莱茵达准则（莱茵达准则（3 3准则）准则）若测量值只含有随机误差，且按正态分布，则测量数据落在置信区间若测量值只含有随机误差，且按正态分布，则测量数据落在置信区间 以外的概率只有以外的概率只有0.27%0.27%。莱茵达准则规定，如果实测数据的误差满足以下条件莱茵达准则规定，如果实测数据的误差满足以下条件 则将则将 作为异常数据处理。作为异常数据处理。注：根据统计学原理，莱因达准则不适用于测量次数注：根据统计学原理，莱因达准则不适用于测量次数 的场合。的场合。8.2 随机误差随机误差可疑数据的取舍可疑数据的取舍肖维纳准则肖维纳准则肖维纳准则也是以正态分布为前提，规定在肖维纳准则也是以正态分布为前提，规定在n n次测量中，某一误差可能出现的次测量中，某一误差可能出现的次数小于半次就被认为是过失误差。次数小于半次就被认为是过失误差。设任一次测量值的误差落在区间设任一次测量值的误差落在区间 的概率为的概率为，则误差落在置信区，则误差落在置信区 间间 之外的概率为之外的概率为对于对于n n次测量，令随机误差落在置信区间次测量，令随机误差落在置信区间 之外的次数等于之外的次数等于1/21/2，则有，则有于是于是8.2 随机误差随机误差可疑数据的取舍可疑数据的取舍则由式（则由式（8-108-10）得：）得：若已知测量次数若已知测量次数 ，则可求出满足肖维纳准则的，则可求出满足肖维纳准则的 ，再由积分表查得置信，再由积分表查得置信系数系数 。根据肖维纳准则，若某次测量所得误差绝对值大于相应的置信限根据肖维纳准则，若某次测量所得误差绝对值大于相应的置信限 ，应予，应予舍弃。舍弃。8.2 随机误差随机误差可疑数据的取舍可疑数据的取舍格拉布斯准则格拉布斯准则格拉布斯法假定测量结果服从正态分布，根据顺序统计量来确定可疑数据的格拉布斯法假定测量结果服从正态分布，根据顺序统计量来确定可疑数据的取舍。进行取舍。进行n n次重复试验，试验结果为次重复试验，试验结果为 ，且，且 服从正态分布。为服从正态分布。为了检验了检验 中是否有可疑值，可将其值由小到大顺序重新排列，根据顺序中是否有可疑值，可将其值由小到大顺序重新排列，根据顺序统计原则，给出标准化顺序统计量统计原则，给出标准化顺序统计量g g：当最小值当最小值 可疑时，则：可疑时，则：当最大值当最大值 可疑时，则：可疑时，则：8.2 随机误差随机误差可疑数据的取舍可疑数据的取舍根据格拉布斯统计量的分布，在给定的显著性水平根据格拉布斯统计量的分布，在给定的显著性水平（一般（一般=0.05=0.05）下，查）下，查得判别可疑值的临界值得判别可疑值的临界值 ，见表，见表8-48-4。该检验的拒绝域为：。该检验的拒绝域为：即标准化顺序统计量大于其临界值，即可认为其相应数据为粗大误差影响的可疑数即标准化顺序统计量大于其临界值，即可认为其相应数据为粗大误差影响的可疑数据。利用格拉布斯准则每次只能舍弃一个可疑值，若有两个以上的可疑数据，应该据。利用格拉布斯准则每次只能舍弃一个可疑值，若有两个以上的可疑数据，应该一个一个数据地判断。即舍弃第一个数据后，试验次数由一个一个数据地判断。即舍弃第一个数据后，试验次数由n n变为变为n-1n-1，以此为基础再，以此为基础再判别第二个可疑数据。判别第二个可疑数据。8.2 随机误差随机误差可疑数据的取舍可疑数据的取舍t检验准则检验准则 检验准则是将测量列的检验准则是将测量列的 个测得值中可疑的测得值个测得值中可疑的测得值 先剔除，然后按余下先剔除，然后按余下的的 个数据计算算术平均值个数据计算算术平均值 和标准差和标准差 值，再判断数据值，再判断数据 是否含有粗大是否含有粗大误差。误差。（不含 ）（不含 ）根据测量次数根据测量次数 和所选取的显著度和所选取的显著度 ，从表，从表8-5中查得中查得 k 值。若所怀疑的数据值。若所怀疑的数据 满足下式：满足下式：则可认为则可认为 为可疑数据，应予以剔除。为可疑数据，应予以剔除。8.2 随机误差随机误差8.3 8.3 系统误差系统误差任何测量过程首先要注意发现与减小系统误差，确保把它限制在允许的任何测量过程首先要注意发现与减小系统误差，确保把它限制在允许的范围内。对于在实验中无法补偿的系统误差，应对测量结果进行修正。系统范围内。对于在实验中无法补偿的系统误差，应对测量结果进行修正。系统误差有恒值系统误差和变值系统误差。恒值系统误差（固定系统误差）是在误差有恒值系统误差和变值系统误差。恒值系统误差（固定系统误差）是在整个测量过程中的大小和符号都不变的误差。变值系统误差是指在测量过程整个测量过程中的大小和符号都不变的误差。变值系统误差是指在测量过程中大小和符号都可能变化的误差，变化规律可分为三种：中大小和符号都可能变化的误差，变化规律可分为三种：1)1)线性变化测量过程中误差值随某些因素作线性变化。线性变化测量过程中误差值随某些因素作线性变化。2)2)周期性变化系统误差的数值或符号随某些因素按周期规律变化。例周期性变化系统误差的数值或符号随某些因素按周期规律变化。例如，轧辊有偏心，轧制时的精度误差。如，轧辊有偏心，轧制时的精度误差。3)3)复杂规律变化按复杂规律，例如按指数规律变化。复杂规律变化按复杂规律，例如按指数规律变化。系统误差对测量结果的影响系统误差对测量结果的影响恒恒值值系统误差对测量结果的影响系统误差对测量结果的影响如果在多次重复测量时存在恒值误差，则一组测量值如果在多次重复测量时存在恒值误差，则一组测量值 中的每一个中的每一个都含有恒值系统误差都含有恒值系统误差 。于是，不含系统误差的测量值应为。于是，不含系统误差的测量值应为其算术平均值为其算术平均值为由偏差的定义，有由偏差的定义，有恒值系统误差只影响一系列重复测得值的算术平均值恒值系统误差只影响一系列重复测得值的算术平均值 ，对测得值的偏差，对测得值的偏差 没有影没有影响，即不影响随机误差的分散性及精度参数。响，即不影响随机误差的分散性及精度参数。8.3 系统误差系统误差系统误差对测量结果的影响系统误差对测量结果的影响变值变值系统误差对测量结果的影响系统误差对测量结果的影响变变值值系系统统误误差差对对每每个个测测量量值值有有不不同同的的影影响响，但但有有规规律律，不不是是随随机机性性的的。设设有有一一系系列列测测得得值值 ，并并含含有有变变值值系系统统误误差差 ，则则不不含含系系统统误误差差的测量值为的测量值为其平均值为其平均值为如果测量中含有变值系统误差，它将以算术平均值的形式影响测量结果，应在消如果测量中含有变值系统误差，它将以算术平均值的形式影响测量结果，应在消除或校正后，以除或校正后，以 作为测量结果。作为测量结果。在偏差在偏差 的计算中有的计算中有偏差偏差 受变值系统误差的影响，即变值系统误差影响测量结果的精确度。受变值系统误差的影响，即变值系统误差影响测量结果的精确度。8.3 系统误差系统误差系统误差的识别与修正系统误差的识别与修正恒恒值值系统误差判别方法系统误差判别方法（1 1）对比检定法）对比检定法在在确确认认没没有有明明显显变变值值系系统统误误差差的的前前提提下下，可可以以改改用用更更理理想想的的测测量量条条件件，进进行行检检定定性性测测量量。以以此此两两种种不不同同的的测测量量条条件件对对同同一一量量值值进进行行次次数数相相同同的的重重复复测测量量，求求出出两者算术平均值之差，则该差值即为被判断的测量条件下的定值系统误差。两者算术平均值之差，则该差值即为被判断的测量条件下的定值系统误差。（2 2）均值与标准差比较法）均值与标准差比较法对对同同一一量量值值在在测测量量条条件件不不同同，测测量量次次数数也也不不同同的的情情况况下下进进行行两两组组（或或多多组组）测测量量。由由于于 和和 是是服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量，故故其其差差值值 也也服服从从正正态态分分布布（其其分分布布的的平平均均值值为为零零，方方差差为为 ）。因因此此，可可用用区区间间的的概概率率估估计计原原理理来来判判断断是否有恒值系统误差，即是否有恒值系统误差，即8.3 系统误差系统误差系统误差的识别与修正系统误差的识别与修正在给定置信概率在给定置信概率 时，若无定值系统误差，则时，若无定值系统误差，则 应不超过应不超过 ；如；如果超出，则可认为果超出，则可认为 与与 的差异不只是受随机误差影响，而且还有恒值系统的差异不只是受随机误差影响，而且还有恒值系统误差存在。这样判断的置信概率为误差存在。这样判断的置信概率为 。8.3 系统误差系统误差系统误差的识别与修正系统误差的识别与修正变值变值系统误差判别方法系统误差判别方法（1 1）偏差观察法）偏差观察法偏偏差差观观察察法法是是将将一一系系列列等等精精度度测测量量值值，按按测测量量的的先先后后顺顺序序把把测测得得值值及及其其偏偏差差值值列列表表，观观察察其其偏偏差差数数值值及及其其符符号号的的变变化化规规律律。若若偏偏差差数数值值有有规规律律的的递递增增或或递递减减，并并且且在在测测量量开开始始和和结结束束时时偏偏差差符符号号相相反反，则则可可判判定定该该测测量量列列含含有有线线性性系系统统误误差差。若若在在某某一一测测量量条条件件时时，偏偏差差基基本本上上保保持持相相同同符符号号，当当变变为为另另一一测测试试条条件件时时偏偏差差均均变变号号，则则表表明明测测量量中中含含有有随随测测量量条条件件而而变变的的恒恒值值系系统统误误差差。若若偏偏差差的的符符号号有有规规律律地地由由正正变变负负，再再由由负负变变正正，或或循循环环交交替变化多次，则可判定该测量序列含有周期性误差。替变化多次，则可判定该测量序列含有周期性误差。8.3 系统误差系统误差系统误差的识别与修正系统误差的识别与修正（2 2）偏差核算法）偏差核算法将测得值按测量先后顺序排列，并将其分为前半组将测得值按测量先后顺序排列，并将其分为前半组k k个和后半组个和后半组k k个，两组个，两组分别求和后相减，有分别求和后相减，有当测量次数当测量次数n足够多时，足够多时，所以，所以上式表明前后两部分偏差和的差值取决于系统误差，因线性系统误差前后上式表明前后两部分偏差和的差值取决于系统误差，因线性系统误差前后两组的符号相反，则两组的符号相反，则 值将随值将随n n的增大而增大。因此，若的增大而增大。因此，若 值显著不为零，则说值显著不为零，则说明测量列中含有线性系统误差。明测量列中含有线性系统误差。8.3 系统误差系统误差系统误差的识别与修正系统误差的识别与修正（3 3）阿贝）阿贝 赫梅特判据赫梅特判据阿贝阿贝 赫梅特判据为：只要测量列满足下式，就认为该测量列有周期性赫梅特判据为：只要测量列满足下式，就认为该测量列有周期性系统误差存在。系统误差存在。8.3 系统误差系统误差系统误差的识别与修正系统误差的识别与修正系统误差的修正系统误差的修正（1 1）恒值系统误差的修正方法）恒值系统误差的修正方法a)a)代替法；代替法；b)b)相消法；相消法；c)c)对换法。对换法。8.3 系统误差系统误差系统误差的识别与修正系统误差的识别与修正（2 2）线性变化系统误差的修正方法）线性变化系统误差的修正方法例如测量电阻，例如测量电阻，为被测电阻，为被测电阻，为已知电阻。设回路电流为已知电阻。设回路电流 随时间线随时间线性降低，可用对称测量法修正该线性误差，方法如下：性降低，可用对称测量法修正该线性误差，方法如下：第一次测第一次测 两端电压为：两端电压为：第二次测第二次测 两端电压为：两端电压为：第三次测第三次测 两端电压为：两端电压为：8.3 系统误差系统误差系统误差的识别与修正系统误差的识别与修正因电流下降是线性变化的，所以因电流下降是线性变化的，所以从上式可看出，因电流变化而引起的系统误差已被修正。从上式可看出，因电流变化而引起的系统误差已被修正。8.3 系统误差系统误差系统误差的识别与修正系统误差的识别与修正（3 3）周期性变化系统误差的修正）周期性变化系统误差的修正只要读取相隔半周期的两次测量值，然后取平均值为测量结果，即可修只要读取相隔半周期的两次测量值，然后取平均值为测量结果，即可修正周期性变化的系统误差。这是因为根据周期性变化系统误差的变化规律，正周期性变化的系统误差。这是因为根据周期性变化系统误差的变化规律，有：有：变化半周期即变化半周期即 时有时，有取取 和和 的算术平均值，有的算术平均值，有 8.3 系统误差系统误差系统误差的识别与修正系统误差的识别与修正系统误差修正准则系统误差修正准则如如果果系系统统误误差差或或偏偏差差代代数数和和的的绝绝对对值值不不超超过过测测量量结结果果总总误误差差绝绝对对值值最最后后一一位位有有效效数数字字的的一一半半，就就认认为为系系统统误误差差已已被被修修正正。测测量量结结果果的的总总误误差差，一一般般只只用用一位或两位有效数字表示，可用公式来表达上述准则。一位或两位有效数字表示，可用公式来表达上述准则。设测量结果的总误差绝对值为设测量结果的总误差绝对值为 ，残余系统误差的代数和为，残余系统误差的代数和为 。当。当 用用两位有效数字表示时两位有效数字表示时当当 用一位有效数字表示时用一位有效数字表示时只要满足上述条件，就可认为已修正系统误差对测量结果的影响。只要满足上述条件，就可认为已修正系统误差对测量结果的影响。8.3 系统误差系统误差消除系统误差的措施消除系统误差的措施从产生误差根源上消除系统误差从产生误差根源上消除系统误差从产生误差根源上消除误差是最根本的方法，它要求测量人员对测量从产生误差根源上消除误差是最根本的方法，它要求测量人员对测量过程中可能产生系统误差的环节作仔细分析，并在测量前就将误差从产生过程中可能产生系统误差的环节作仔细分析，并在测量前就将误差从产生根源上加以消除根源上加以消除。用修正方法消除系统误差用修正方法消除系统误差预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，做出误差表或误差预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，做出误差表或误差曲线，然后取与误差数值大小相同、符号相反的值作为修正值。曲线，然后取与误差数值大小相同、符号相反的值作为修正值。8.3 系统误差系统误差8.4 8.4 间接测量中的误差计算间接测量中的误差计算间接测试参量的估计值间接测试参量的估计值间接测量量间接测量量 一般可以表示为相互独立的直接测量量一般可以表示为相互独立的直接测量量 的函的函数：数：由于各直接测得的参量由于各直接测得的参量 都是随机变量，间接测量量都是随机变量间接测量量 是随是随机变量的函数，其分布参数（均值和标准差等）通常需要根据其自变量的机变量的函数，其分布参数（均值和标准差等）通常需要根据其自变量的分布参数计算。计算随机变量函数分布参数的常用方法是矩法。分布参数计算。计算随机变量函数分布参数的常用方法是矩法。在各随机变量在各随机变量 的均值处做泰勒级数展开，有：的均值处做泰勒级数展开，有：上式即为间接测量量均值的近似估计。上式即为间接测量量均值的近似估计。间接测量误差计算间接测量误差计算间接测量参数为间接测量参数为 与各直接测量参数为与各直接测量参数为 ，二者之间的函数关，二者之间的函数关系为系为 ，进行微分运算有，进行微分运算有令令 ，并用增量代替微分，有：，并用增量代替微分，有：的可能最大误差的可能最大误差为：为：的的最佳估计为：最佳估计为：的的相对误差为：相对误差为：8.4 间接测量中的误差计算间接测量中的误差计算8.5 8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理系统误差和随机误差成分分析系统误差和随机误差成分分析随机误差一般通过重复测量某一变量来测定，可用测得的数据计算测量随机误差一般通过重复测量某一变量来测定，可用测得的数据计算测量样本标准差。在误差分析中，随机误差反映为精密度指数样本标准差。在误差分析中，随机误差反映为精密度指数 。可以利用可以利用 统计量估计单个测量统计量估计单个测量 的精密度极限的精密度极限:式中，式中，为置信水平（例如为置信水平（例如95%）和自由度）和自由度 （）的函数。）的函数。变量变量 的随机误差区间（置信区间）是的随机误差区间（置信区间）是 。因为用于估计。因为用于估计 的样本的样本容量一般较小（容量一般较小（），所以经常采用），所以经常采用 分布而不是正态分布。当样本容量分布而不是正态分布。当样本容量大于大于30，正态分布与，正态分布与 分布基本上是相同的。分布基本上是相同的。平均值的标准差平均值的标准差 与测量值的标准差与测量值的标准差 之间的关系为：之间的关系为：系统误差和随机误差成分分析系统误差和随机误差成分分析平均值的误差为平均值的误差为:平均值的随机误差带（置信区间）表示为平均值的随机误差带（置信区间）表示为 。如果测量条件不变，则系统误差不变。因此，需要用置信区间而不是置如果测量条件不变，则系统误差不变。因此，需要用置信区间而不是置信水平来定义准确度误差极限的可信度。通常要求系统误差的置信区间与随信水平来定义准确度误差极限的可信度。通常要求系统误差的置信区间与随机误差的置信水平相对应，例如机误差的置信水平相对应，例如95%的置信水平用于随机误差，同时的置信水平用于随机误差，同时95%的的置信区间用于系统误差。置信区间用于系统误差。a)单次测量测量值误差图单次测量测量值误差图 b)多次测量均值误差图多次测量均值误差图 8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理系统误差和随机误差成分分析系统误差和随机误差成分分析在在图图a中中，如如果果进进行行了了大大量量的的测测量量，可可以以预预测测出出正正态态的的频频率率分分布布。曲曲线线的的顶顶点点在在总总体体均均值值处处，由由于于系系统统误误差差B，该该均均值值不不同同于于x x的的真真值值。一一个个测测量量读读数数 偏偏离离总总体体均均值值并并且且存存在在关关于于读读数数 的的随随机机误误差差带带。图图b显显示示多多次次测测量量的的情情形形。样样本本均均值值不不同同于于总总体体均均值值，存存在在随随机机误误差差带带 。多多次次测测量量均均值值的的随随机机误差带误差带 比单次测量测量值的随机误差带比单次测量测量值的随机误差带 窄。窄。为了合成随机误差和系统误差，要使用均方根公式为了合成随机误差和系统误差，要使用均方根公式:误差误差 的置信水平与的置信水平与 的置信水平相同。的置信水平相同。系系统统误误差差带带不不必必是是对对称称的的。在在不不对对称称情情况况下下，上上式式必必须须应应用用2 2次次，一一次次获得正方向的综合误差，另一次获得负方向的综合误差。获得正方向的综合误差，另一次获得负方向的综合误差。8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理系统误差和随机误差成分分析系统误差和随机误差成分分析为了获得测量的系统误差和随机误差，必须合成基本系统误差和随机误为了获得测量的系统误差和随机误差，必须合成基本系统误差和随机误差，这个过程如图：差，这个过程如图：各项误差用均方根合成：各项误差用均方根合成：，8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理系统误差和随机误差成分分析系统误差和随机误差成分分析例例8.4 8.4 在在估估计计一一个个气气田田的的天天然然气气燃燃烧烧值值过过程程中中，取取了了1010个个样样本本并并且且用用热热量量计计测测量量每每个个样样本本的的燃燃烧烧值值，以以kJ/kg为为单单位位测测得得的的值值为为4853048530，5021050210，4986049860，4856048560，4954049540，4927049270，4885048850，4932049320，4868048680，4898048980。假假设设热热量量计计在在测测量量中中没没有有产产生生任任何何的的系系统统误误差差，试试用用95%95%的的置置信信水水平平计计算算每每次次测测量量的的随随机机误差和测量均值的随机误差。误差和测量均值的随机误差。解：若解：若 表示燃烧值，则平均值为表示燃烧值，则平均值为 样品的标准差（精密度指数）为样品的标准差（精密度指数）为 8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理系统误差和随机误差成分分析系统误差和随机误差成分分析使用置信水平使用置信水平95%的的 分布（表分布（表8-2）和）和10-1=9的自由度，可以查得的自由度，可以查得 值为：值为：于是，每个样本的随机误差为：于是，每个样本的随机误差为：kJ/kg由于由于 ，均值的随机误差为：，均值的随机误差为：kJ/kg 8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理有效数字及其运算有效数字及其运算规则有效数字有效数字含有含有误差的任何近似数，如果其差的任何近似数，如果其绝对误差的差的绝对值不超不超过近似数的半个近似数的半个单位，那么位，那么这个近似数左方起的第一个非零的数字，称个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。第一位有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字（包括零）都叫有效数字。从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字（包括零）都叫有效数字。例如取例如取n=3.14159n=3.14159，第一位有效数字，第一位有效数字为3 3，共有六位有效位数；又如，共有六位有效位数；又如0.002700.00270，第一位有效数字第一位有效数字为2 2，共有三位有效位数。若近似数的右，共有三位有效位数。若近似数的右边带有若干个零，通有若干个零，通常把常把这个近似数写成个近似数写成a 10n形式形式（1a10）。如。如2.400 103，表示四位有效，表示四位有效位数。最末一位有效数字取到哪，是由位数。最末一位有效数字取到哪，是由测量精度来决定的最末一位有效数量精度来决定的最末一位有效数字字应与与测量精度同量量精度同量级。测量量结果果应保留的位数原保留的位数原则是，其最末一位数字是是，其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。是可靠的。测量量误差一般取差一般取1-2位有效数字。位有效数字。8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理有效数字及其运算有效数字及其运算规则数字舍入数字舍入规则对于位数很多的近似数，当有效位数确定后，其后面多余的数字于位数很多的近似数，当有效位数确定后，其后面多余的数字应予舍予舍去，而保留的有效数字最末一位数字去，而保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入按下面的舍入规则进行凑整：行凑整：:1)1)若舍去部分的数若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个，大于保留部分的末位的半个单位，位，则末位加末位加1,1,2)2)若舍去部分的数若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个，小于保留部分的末位的半个单位，位，则末位不末位不变。3)3)若若舍舍去去部部分分的的数数值，等等于于保保留留部部分分的的末末位位的的半半个个单位位，则末末位位凑凑成成偶数当末位偶数当末位为偶数偶数时末位不末位不变，当末位，当末位为奇数奇数时则末加。末加。8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理有效数字及其运算有效数字及其运算规则数据运算数据运算规则1)1)在近似数加减运算在近似数加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其准，其余各数据可多取一位小数，但最后余各数据可多取一位小数，但最后结果果应与小数位数最少的数据小数位相同。与小数位数最少的数据小数位相同。2)2)在近似数乘除运算在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，准，其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字，而最后其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字，而最后结果果应与有效与有效位数最少的数据位数相同。位数最少的数据位数相同。3)3)在近似数平方或开方运算在近似数平方或开方运算时，平方相当于乘法运算，开方是平方的逆，平方相当于乘法运算，开方是平方的逆运算，故可按乘除运算运算，故可按乘除运算处理。理。4)4)在在对数运算数运算时，n n位有效数字的数据位有效数字的数据应该用用n n位位对数表，或用（数表，或用（n+1n+1）位）位对数表，以免数表，以免损失精度。失精度。5)5)三角函数运算中，所取函数三角函数运算中，所取函数值的位数的位数应随角度随角度误差的减小而增多，其差的减小而增多，其对应关系如表关系如表8-88-8所示。所示。8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理测量最量最终结果的果的误差差单样本本测量最量最终结果的果的误差差结果果 是由是由n n个个测量量变量量 所所组成的函数，即成的函数，即 ,那那么么结果的系果的系统误差差 和精密度指数和精密度指数 可以由下式可以由下式计算：算：偏偏导数数 被称被称为灵敏度系数，灵敏度系数，式中，式中，为为 分布分布值。8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理测量最量最终结果的果的误差差多多样本本测量最量最终结果的果的误差差在一些在一些试验中可能中可能进行多行多样本本试验来确定来确定 。在。在这些情况下，每次些情况下，每次试验可可获得得结果的果的值 。然后可以得到。然后可以得到 的平均的平均值，并且可以通，并且可以通过测量量结果的分散性果的分散性估估计精密度指数和随机精密度指数和随机误差。差。结果均果均值为：式中有式中有 的的M M组测量量值。精密度指数（精密度指数（标准差）可由下式准差）可由下式获得：得：8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理测量最量最终结果的果的误差差于是于是结果的随机果的随机误差差为：系系统误差的确定方法与差的确定方法与单样本本测量相同。最量相同。最终误差的估差的估计由下式得出：由下式得出：8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理误差分析的步差分析的步骤1)1)确定确定测量量过程。程。这一步包括一步包括审查试验任任务，识别所有独立参数和它所有独立参数和它们的正常的正常值，确定独立参数和确定独立参数和试验结果之果之间的函数关系。的函数关系。2)2)将所有基本将所有基本误差源列表。差源列表。这一步包括一步包括对每个被每个被测量参数制做一个全面和量参数制做一个全面和详细的的全部可能全部可能误差源的列表。差源的列表。3)3)估算基本估算基本误差。差。这一步必一步必须估估计系系统误差和精密度指数。差和精密度指数。4)4)计算每个被算每个被测变量的系量的系统误差和随机差和随机误差。在差。在这步中要步中要计算在第一步中所算在第一步中所识别变量的系量的系统误差和精密度指数。差和精密度指数。5)5)利用系利用系统误差和精密度指数差和精密度指数计算算单样本最本最终结果果误差。差。这一步一步应用均方根关系用均方根关系式把被式把被测变量的系量的系统误差和随机差和随机误差差带入到入到单样本最本最终试验结果果计算中。算中。6)6)计算最算最终结果的果的综合合误差。差。8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理测试数据处理测试数据处理最小二乘线性拟合最小二乘线性拟合最小二乘法的最小二乘法的实质是使按回是使按回归方程方程计算出来的函数算出来的函数值与与实际测量量值的差的差(即即残差残差)的平方和最小。假的平方和最小。假设由由实验数据构成的数据数据构成的数据对(,)中，中，对于每个于每个 值可根据可根据线性回性回归方程方程 预测 的的值。满足最小二乘法的足最小二乘法的 和和 分分别为度量最小二乘直度量最小二乘直线描述数据效果的量是估描述数据效果的量是估计的的标准准误差，即差即 8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理测试数据处理测试数据处理关于最小二乘法，有以下注意事关于最小二乘法，有以下注意事项：1)1)测量量误差是在差是在误差差为无偏（即无系无偏（即无系统误差）、正差）、正态分布且相互独立的条件分布且相互独立的条件下推下推导出来的。出来的。2)2)在推在推导关系式关系式 的的过程中，假定程中，假定 中存在随机中存在随机变量成分，而量成分，而x x值是是没有没有误差的。差的。3)3)因因为误差在差在 向被减小，所以，如果在向被减小，所以，如果在 值的基的基础上估上估计 值可能得出可能得出错误的的结论。即。即 关于关于 （）的）的线性回性回归不能不能简单地由地由 导出。出。上面的方法容易推广上面的方法容易推广为多自多自变量量线性函数，即性函数，即 式中，式中，,是自是自变量；量；是因是因变量；量；,是多元回是多元回归系数。系数。这些系些系数的求法与数的求法与单自自变量的情况下的求解相似。量的情况下的求解相似。8.5 误差分析与测试数据处理误差分析与测试数据处理测试数据处理测试数据处理曲线回归转化为直线回归曲线回归转化为直线回归一般可以采用一般可以采用线性化的方法，首先把数据关系性化的方法，首先把数据关系转换为线性函数，然后使用性函数，然后使用线性回性回归方法方法拟合直合直线。容易。容易转换为线性形式的数据关系式包括性形式的数据关系式包括