数字信号处理 第1章.ppt

第,1,章时域离散信号和时域离散系统,第,1,章 时域离散信号和时域离散系统,1.1,引言,1.2,时域离散信号,1.3,时域离散系统,1.4,时域离散系统的输入输出描述法,线性常系数差分方程,1.5,模拟信号数字处理方法,习题与上机题,1.1,引言,信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。物理信号的自变量有多种，可以是时间、距离、温度、位置等，本书一般把信号看做时间的函数。针对信号的自变量和函数值的取值情况，信号可分为以下三种。,如果信号的自变量和函数值都取连续值，则称这种信号为模拟信号或者称为时域连续信号，例如语言信号、温度信号等；如果自变量取离散值，而函数值取连续值，则称这种信号称为时域离散信号，这种信号通常来源于对模拟信号的采样,;,如果信号的自变量和函数值均取离散值，则称为数字信号。我们知道，计算机或者专用数字信号处理芯片的位数是有限的，用它们分析与处理信号，信号的函数值必须用有限位的二进制编码表示，这样信号本身的取值不再是连续的，而是离散值。这种用有限位二进制编码表示的时域离散信号就是数字信号，因此，数字信号是幅度量化了的时域离散信号。,例如：,，这是一个模拟信号，如果对它按照时间采样间隔,T,=0.005s,进行等间隔采样，便得到时域离散信号,x,(,n),，,即,=,，,0.0,，,0.6364,，,0.9,，,0.6364,，,0.0,，,-0.6364,，,0.9,，,-0.6364,，,显然,时域离散信号是时间离散化的模拟信号。,如果用四位二进制数表示该时域离散信号，便得到相应的数字信号,x,n,，,即,x,n,=,，,0.000,，,0.101,，,0.111,，,0.101,，,0.000,，,1.101,，,1.111,，,1.101,，,显然，数字信号是幅度、时间均离散化的模拟信号，或者说是幅度离散化的时域离散信号。,信号有模拟信号、时域离散信号和数字信号之分，按照系统的输入输出信号的类型，系统也分为模拟系统、时域离散系统和数字系统。当然，也存在模拟网络和数字网络构成的混合系统。,数字信号处理最终要处理的是数字信号，但为简单，在理论研究中一般研究时域离散信号和系统。时域离散信号和数字信号之间的差别，仅在于数字信号存在量化误差，本书将在第,9,章中专门分析实现中的量化误差问题。,本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号、时域离散线性时不变系统的时域分析方法，最后介绍模拟信号数字处理方法。,1.2,时域离散信号,实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间隔采样便可以得到时域离散信号。,假设模拟信号为,x,a,(,t,),，,以采样间隔,T,对它进行等间隔采样，得到：,（,1.2.1,）,这里,xn,),称为时域离散信号，式中的,n,取整数，将,代入上式,得到：,显然,x,(,n,),是一个有序的数字，因此时域离散信号也可以称为序列。注意这里,n,取整数，非整数时无定义。时域离散信号有三种表示方法：,1,）用集合符号表示序列,数的集合用集合符号,表示。时域离散信号是一个有序的数的集合，可表示成集合,:,x,(,n,)=,x,n,n,=,2,1,0,1,2,例如，一个有限长序列可表示为,x,(,n,)=1,2,3,4,3,2,1;,n,=0,1,2,3,4,5,6,也可简单地表示为,x,(,n,),1,2,3,4,3,2,1,集合中有下划线的元素表示,n,=0,时刻的采样值。,2,用公式表示序列,例如：,x,(,n,)=,a,|,n,|,0,a,1,n,3,）,用图形表示序列,例如,时域离散信号,x,(,n,)=sin(,n,/5),，,n,=,5,4,0,4,5,图,1.2.1,就是它的图形表示。,这是一种很直观的表示方法。为了醒目，常常在每一条竖线的顶端加一个小黑点。,图,1.2.1,x,(,n,)=sin(,n,/5),的波形图,实际中要根据具体情况灵活运用三种表示方法，对于一般序列，包括由实际信号采样得下面介绍用,MATLAB,语言表示序列。,MATLAB,用两个参数向量,x,和,n,表示有限长序列,x(n),，,x,是,x(n),的样值向量，,n,是位置向量相当于图形表示方法中的横坐标,n,），,n,与,x,长度相等，向量,n,的第,m,个元素,n(m),表示样值,x(m),的位置。位置向量,n,一般都是单位增向量，产生语句为：,n=,ns:nf,;,其中,ns,表示序列,x(n),的起始点，,nf,表示序列,x(n),的终止点。这样将有限长序列,x(n),记为,x(n),；,n=,ns:nf,。,例如，,x(n),0.0000,，,0.5878,，,0.9511,，,0.9511,，,0.5878,，,0.0000,，,0.5878,，,0.9511,，,0.9511,，,0.5878,，,0.0000,，,相应的,n=,5,4,3,5,，,所以序列,x(n),的,MATLAB,表示如下,:,n=,5:5;,x=,0.0000,，,0.5878,，,0.9511,，,0.9511,，,0.5878,，,0.0000,，,0.5878,，,0.9511,，,0.9511,，,0.5878,，,0.0000,这里,x(n),的,11,个样值是正弦序列的采样值，即,x(n)=sin(n/5),n=,5,4,0,4,5,所以，也可以用计算的方法产生序列向量：,n=,5:5;x=sin(pi*n/5);,这样用,MATLAB,计算产生,x(n),并绘图的程序如下：,%fig121.m,：,sin(pi*n/5),信号产生及图,1.2.1,绘图程序,n=,5:5;%,位置向量,n,从,5,到,5,x=sin(pi*n/5);,%,计算序列向量,x(n),的,11,个样值,subplot(3,2,1);stem(n,x,.);line(,5,6,0,0,),axis(,5,6,1.2,1.2,);,xlabel(n,);ylabel(x(n),运行程序输出波形如图,1.2.1,所示。,1.2.1,常用的典型序列,1,单位采样序列,(,n,),（,1.2.2,）,单位采样序列也称为单位脉冲序列，特点是仅在,n,=0,时取值为,1,，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数,(,t,),，,但不同的是,(,t,),在,t,=0时，取值无穷大，,t,0,时取值为零，对时间,t,的积分为,1,。单位采样序列和单位冲激信号如图,1.2.2,所示。,图,1.2.2,单位采样序列和单位冲激信号,2,单位阶跃序列,u,(,n,),(1.2.3),单位阶跃序列如图,1.2.3,所示。它类似于模拟信号中的单位阶跃函数,u,(,t,),。,(,n,),与,u,(,n,),之间的关系如下列式所示：,（,1.2.4,）,（,1.2.5,）,图,1.2.3,单位阶跃序列,令,n,k,=,m,，,代入式,(1.2.5),得,（,1.2.6,）,3,矩形序列,R,N,(,n,),（,1.2.7,）,式中，,N,称为矩形序列的长度。当,N,=4,时，,R,4,(,n,),的波形如图,1.2.4,所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：,（,1.2.8,）,图,1.2.4,矩形序列,4,实指数序列,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,),a,为实数,如果,|,a,|1,，,则称为发散序列。其波形如图,1.2.5,所示。,图,1.2.5,实指数序列,5,正弦序列,式中,称为正弦序列的数字域频率,(,也称数字频率,),，单位是弧度,(,rad,),，,它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。,如果正弦序列是由模拟信号,x,a,(,t,),采样得到的，那么,（,1.2.9,）,因此得到数字频率,与模拟角频率,之间的关系为,(1.2.9),式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率,与序列的数字域频率,成线性关系。由于采样频率,F,s,与采样周期,T,互为倒数，因而有,上式表示数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。本书中用,表示数字域频率，,和,f,表示模拟角频率和模拟频率。,（,1.2.10,）,6,复指数序列,复指数序列用下式表示,:,式中,0,为数字域频率。设,=0,，,用极坐标和实部虚部表示如下式：,由于,n,取整数，下面等式成立：,上面公式中,M,取整数，所以对数字域频率而言，正弦序列和复指数序列都是以,2,为周期的周期信号。在以后的研究中，在频率域只分析研究一个周期就够了。,7,周期序列,如果对所有,n,存在一个最小的正整数,N,，,使下面等式成立：,（,1.2.11,）,则称序列,x,(,n,),为周期性序列，周期为,N,。,例如：,式中数字频率是,/4,，,n,取整数，可以写成下式：,因此,是周期为,8,的周期序列，波形如图,1.2.6,所示。下面讨论一般正弦序列的周期性。,图,1.2.6,正弦序列,设,那么,如果,则要求,N,=(2/,0,),k,。,式中，,k,与,N,均取整数，且,k,的取值要保证,N,是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以,N,为周期的周期序列。,具体正弦序列有以下三种情况：,（,1,）当,2/,0,为整数时，,k1,，,正弦序列是以,2/,0,为周期的周期序列。例如,，该正弦序列周期为,16,。,（,2,）,2/,0,不是整数，是一个有理数时，设,2/,0,=,P,/,Q,，,式中,P,、,Q,是互为素数的整数，取,k,=,Q,，,那么,N,=,P,，,则该正弦序列是以,P,为周期的周期序列。例如,sin(4,n,/5),2/,0,=5/2,k,=2,该正弦序列是以,5,为周期的周期序列。,（,3,）,2/,0,是无理数，任何整数,k,都不能使,N,为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。例如，,0,=1/4,sin(,0,n,),即不是周期序列。,对于复数指数序列的周期性也有和上面同样的分析结果。,以上介绍了几种常用的典型序列，对于任意序列，可以用单位采样序列的移位加权和表示，即,（,1.2.12,）,这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的公式。例如,x,(,n,),的波形如图,1.2.7,所示，可以用（,1.2.12,）式表示成：,图,1.2.7,用单位采样序列移位加权和表示序列,1.2.2,序列的运算,序列的简单运算有加法、乘法、移位、翻转及尺度变换。,1,加法和乘法,序列之间的加法和乘法，是指它的同序号的序列值逐项对应相加和相乘，如图,1.2.8,所示。,图,1.2.8,序列的加法和乘法,2,移位、翻转及尺度变换,序列,x,(,n,),如图,1.2.9(a),所示，其移位序列,x,(,n,n,0,)(,当,n,0,=2,时,),如图,1.2.9(b),所示。当,n,0,0,时,称为,x,(,n,),的延时序列；当,n,0,0,序列右移；,n,0,，,序列左移。如,n,=1,，,得到,h,(1-,m,),，,如图,1.3.2,（,d,）,所示。接着将,h,(,m,),和,h,(,n,m,),相乘后，再相加,得到,y,(,n,),的一个值。对所有的,n,重复这种计算,最后得到卷积结果，如图,1.3.2(f),所示,y,(,n,),表达式为,y,(,n,)=,1,2,3,4,3,2,1,其实这种图解法可以用列表法代替，上面的图解过程如表,1.3.1,所示。图,1.3.2,例,1.3.4,线性卷积,表,1.3.1,图解法（列表法）,2),解析法,如果已知两个卷积信号的解析表达式，则可以直接按照卷积式进行计算，下面举例说明。,【,例,1.3.5,】,设,x,(,n,)=,a,n,u(n,),，,h,(,n,)=,R,4,(,n,),，求,y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,),。,解,要计算上式，关键是根据求和号内的两个信号乘积的非零值区间确定求和的上、下限。因为,n,m,时，,u,(,n,-,m,),才能取非零值；,0,m,3,时，,R,4,(,m,),取非零值,所以，求和区间中,m,要同时满足下面两式：,m,n,0,m,3,这样求和限与,n,有关系，必须将,n,进行分段然后计算。,n,0,时，,y,(,n,)=0,0,n,3,时，乘积的非零值范围为,0,m,n,，,因此,n,4,时，乘积的非零区间为,0,m,3,，,因此,写成统一表达式为,3,）用,MATLAB,计算两个有限长序列的卷积,MATLAB,信号处理工具箱提供了,conv,函数，该函数用于计算两个有限长序列的卷积（或计算两个多项式相乘）。,C=,conv(A,B),计算两个有限长序列向量,A,和,B,的卷积。如果向量,A,和,B,的长度分别为,N,和,M,，,则卷积结果向量,C,的长度为,N,M,1,。,如果向量,A,和,B,为两个多项式的系数，则,C,就是这两个多项式乘积的系数。应当注意，,conv,函数默认,A,和,B,表示的两个序列都是从,0,开始，所以不需要位置向量。,当然,默认卷积结果序列,C,也是从,0,开始，即卷积结果也不提供特殊的位置信息。例,1.3.4,中的两个序列满足上述条件，直接调用,conv,函数求解例,1.3.4,的卷积计算程序,ep134.m,如下：,%ep134.m,：例,1.3.4,的卷积计算程序,xn,=,1 1 1 1,;,hn,=,1 1 1 1,;,yn,=,conv(xn,hn,);,运行结果：,yn,=,1,2,3,4,3,2,1,显然，当两个序列不是从,0,开始时，必须对,conv,函数稍加扩展。设两个位置向量已知的序列：,x(n),；,nx,=,nxs:nxf,，,h(n),；,nh,=,nhs:nhf,，,要求计算卷积：,y(n)=h(n)*x(n),以及,y(n),的位置向量,ny,。,下面编写计算这种卷积的通用卷积函数,convu,。,根据卷积原理知道，,y(n),的起始点和终止点分别为：,nys,=,nhs+nxs,，,nyf,=,nhf+nxf,。,调用,conv,函数写出通用卷积函数,convu,如下：,function,y,ny,=,convu(h,nh,x,nx,),%,convu,通用卷积函数，,y,为卷积结果序列向，,%,ny,是,y,的位置向量,h,和,x,是有限长序列，,%,nh,和,nx,分别是,h,和,x,的位置向量,nys,=nh(1)+nx(1);,nyf,=,nh(end)+nx(end,);,%end,表示最后一个元素的下标,y=,conv(h,x);,ny,=,nys:nyf,;,如果,h(n)=x(n)=R,5,(N+2),，,则调用,convu,函数计算,y(n)=h(n)*x(n),的程序如下：,h=ones(1,5);,nh,=,2:2;,x=h;,nx,=,nh,;,y,ny,=,convu(h,nh,x,nx),运行结果：,y=,1 2 3 4 5 4 3 2 1,ny,=,4,3,2,1 0 1 2 3 4,线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：,（,1.3.9,）,（,1.3.8,）,（,1.3.10,）,以上三个性质请读者自己证明。（,1.3.8,）式表示卷积服从交换律。（,1.3.9,）和（,1.3.10,）式分别表示卷积的结合律和分配律。设,h,1,(,n,),和,h,2,(,n,),分别是两个系统的单位脉冲响应，,x,(,n,),表示输入序列。按照（,1.3.9,）式的右端，信号通过,h,1,(,n,),系统后再通过,h,2,(,n,),系统，等效于按照（,1.3.9,）式左端，信号通过一个系统，该系统的单位脉冲响应为,h,1,(,n,)*,h,2,(,n,),，,如图,1.3.3a),、,(b),所示。,该式还表明两系统级联，其等效系统的单位脉冲响应等于两系统分别的单位脉冲响应的卷积。按照（,1.3.10,）式，信号同时通过两个系统后相加，等效于信号通过一个系统，该系统的单位脉冲响应等于两个系统分别的单位脉冲响应之和，如图,1.3.3(c),、,(d),所示。换句话说，系统并联的等效系统的单位脉冲响应等于两个系统分别的单位脉冲响应之和。,图,1.3.3,卷积的结合律和分配律,需要再次说明的是，关于系统级联、并联的等效系统的单位脉冲响应与原来两系统分别的单位脉冲响应的关系，是基于线性卷积的性质，而线性卷积是基于线性时不变系统满足线性叠加原理。因此,对于非线性或者非时不变系统，这些结论是不成立的。,再考察（,1.3.11,）式，它也是一个线性卷积式，它表示序列,x,(,n,),与单位脉冲序列的线性卷积等于序列本身,x,(,n,),，,（,1.3.11,）,如果序列与一个移位的单位脉冲序列,(,n,n,0,),进行线性卷积，就相当于将序列本身移位,n,0,(,n,0,是整常数,),，如下式表示：,上式中求和项只有当,m,=,n,n,0,时才有非零值，因此得到：,（,1.3.12,）,【,例,1.3.6,】,在图,1.3.4,中，,h,1,(,n,),系统与,h,2,(,n,),系统级联，设,求系统的输出,y,(,n,),。,图,1.3.4,例,1.3.5,框图解,先求第一级的输出,m,(,n,),，,再求,y,(,n,),。,由例,1.3.5,的计算结果知道：,1.3.4,系统的因果性和稳定性,如果系统,n,时刻的输出只取决于,n,时刻以及,n,时刻以前的输入序列，而和,n,时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。如果,n,时刻的输出还取决于,n,时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。,线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位脉冲响应满足下式：,（,1.3.13,）,满足（,1.3.13,）式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位脉冲响应必然是因果序列。因果系统条件（,1.3.13,）式从概念上也容易理解，因为单位脉冲响应是输入为,(,n,),的零状态响应，在,n,=0,时刻以前即,n,0,时，没有加入信号，输出只能等于零，因此得到因果性条件（,1.3.13,）式。,所谓稳定系统，是指对有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和，用公式表示为,（,1.3.14,）,证明,先证明充分性。,因为输入序列,x,(,n,),有界，即,因此,如果系统的单位脉冲响应满足（,1.3.14,）式，那么输出,y,(,n,),一定也是有界的，即,下面用反证法证明其必要性。如果,h,(,n,),不满足,1.3.14),式，即,那么总可以找到一个或若,干个有界的输入来引起无界的输出，例如：,令,n,=0,有,上式说明,n,=0,时刻的输出为无界，系统不稳定，证明了（,1.3.14,）式条件的必要性。,【,例,1.3.7,】,设线性时不变系统的单位系统脉冲响应,h,(,n,)=,a,n,u,(,n,),，,式中,a,是实常数，试分析该系统的因果稳定性。,解,由于,n,0,时，,h,(,n,)=0,，,因此系统是因果系统。,只有当,|,a,|1,时,才有,因此系统稳定的条件是,|,a,|1,；,否则，,|,a,|1,时，系统不稳定。系统稳定时，,h,(,n,),的模值随,n,加大而减小，此时序列h,(,n,),称为收敛序列。如果系统不稳定，,h,(,n,),的模值随,n,加大而增大，则称为发散序列。,【,例,1.3.8,】,设系统的单位脉冲响应,h,(,n,)=,u,(,n,),，,求对于任意输入序列,x,(n),的输出,y,(,n,),，,并检验系统的因果性和稳定性。,解,因为当,n,k,0,的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向,n,0,的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。下面就是向方向,n,0,递推的例题。,【,例,1.4.2,】,设差分方程为,求输出序列,y,(,n,),。,将,n1,用,n,代替，得到：,这确实是一个非因果的输出信号。用差分方程求系统的单位脉冲响应，由于单位脉冲响应是当系统输入,(,n,),时的零状态响应，因此只要令差分方程中的输入序列为,(,n,),，,N,个初始条件都为零，其解就是系统的单位脉冲响应。实际上例题,1.4.1,（,1,）中求出的,y,(,n,),就是该系统的单位脉冲响应，例题,1.4.2,求出的,y,(,n,),则是一个非因果系统的单位脉冲响应。,最后要说明的是，一个线性常系数差分方程描述的系统不一定是线性非时变系统，这和系统的初始状态有关。如果系统是因果的，一般在输入,x,(,n,)=0(,n,n,0,),时，则输出,y,(,n,)=0(,n,n,0,),，,系统是线性非时变系统。,下面介绍用,MATLAB,求解差分方程。,MATLAB,信号处理工具箱提供的,filter,函数实现线性常系数差分方程的递推求解，调用格式如下：,yn,=filter(B,A,xn,),计算系统对输入信号向量,xn,的零状态响应输出信号向量,yn,，,yn,与,xn,长度相等，其中，,B,和,A,是（,1.4.2,）式所给差分方程的系数向量，即,B=b,0,b,1,b,M,A=a,0,a,1,a,N,其中,a,0,=1,，,如果,a,0,1,，则,filter,用,a,0,对系数向量,B,和,A,归一化。,yn,=filter(B,A.xnxi),计算系统对输入信号向量,xn,的全响应输出信号,yn,。,所谓全响应，就是由初始状态引起的零输入响应和由输入信号,xn,引起的零状态响应之和,(,在,2.4.3,节介绍,),。其中,xi,是等效初始条件的输入序列，所以,xi,是由初始条件确定的。,MATLAB,信号处理工具箱提供的,filtic,就是由初始条件计算,xi,的函数,其调用格式如下：,xi=,filtic(B,A,ys,xs,),其中，,ys,和,xs,是初始条件向量：,ys,=,y(,1),，,y(,2),，,y(,3),，,y(,N),，,xs,=,x(,1),，,x,（,2,），,x(,3),，,x(,M),。如果,xn,是因果序列，则,xs,=0,，,调用时可缺省,xs,。,例,1.4.1,的,MATLAB,求解程序,ep141.m,如下：,%ep141.m,：,调用,filter,解差分方程,y(n),ay(n,1)=x(n),a=0.8;,ys,=1;,%,设差分方程系数,a=0.8,%,初始状态,:y(,1)=1,xn,=,1,zeros(1,30),;%x(n)=,单位脉冲序列,长度,N=31,B=1;A=,1,-a,;%,差分方程系数,xi=,filtic(B,A,ys,);,%,由初始条件计算等效初始条件,的输入序列,xi,yn,=filter(B,A,xn,xi);%,调用,filter,解差分方程,求系统,输出信号,y(n),n=0:length(yn)-1;,subplot(3,2,1);stem(n,yn,.),title(a);,xlabel(n,);,ylabel(y(n,),程序中取差分方程系数,a=0.8,时，得到系统输出,y(n),如图,1.4.1,（,a,）,所示，与例,1.4.1,的解析递推结果完全相同。如果令初始条件,y(,1)=0(,仅修改程序中,ys,=0),，,则得到系统输出,y(n)=h(n),，,如图,1.4.1,（,b,）,所示。,图,1.4.1,例,1.4.1,求解程序输出波形,1.5,模拟信号数字处理方法,在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号。这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如图,1.5.1,所示。图中的预滤与平滑所起的作用在后面介绍。本节主要介绍采样定理和采样恢复。,图,1.5.1,模拟信号数字处理框图,1.5.1,采样定理及,A/D,变换器,对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信号通过一个电子开关,S,。,设电子开关每隔周期,T,合上一次，每次合上的时间为,T,，,在电子开关输出端得到其采样信号,。,该电子开关的作用等效成一宽度为,，,周期为,T,的矩形脉冲串,p,T,(,t,),，,采样信号 就是,x,a,(,t,),与,p,T,(,t,),相乘的结果。采样过程如图,1.5.2(a),所示。如果让电子开关合上时间,0,，,则形成理想采样，此时上面的脉冲串变成单位冲激串，用,p,(,t,),表示。,p,(,t,),中每个单位冲激处在采样点上，强度为,1,，理想采样则是,x,a,(,t,),与,p,(,t,),相乘的结果，采样过程如图,1.5.2(b),所示。用公式表示为,（,1.5.1,）,上式中,(,t,),是单位冲激信号，在上式中只有当,t,=,nT,时，才可能有非零值，因此写成下式：,（,1.5.2,）,图,1.5.2,对模拟信号进行采样,下面研究理想采样前后信号频谱的变化，从而找出为了使采样信号能不失真地恢复原模拟信号，采样速率,F,s,(,F,s,=,T,1,),与模拟信号最高频率,f,c,之间的关系。,我们知道在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积，按照（,1.5.2,）式，推导如下：,设,对（,1.5.1,）式进行傅里叶变换，得到,（,1.5.3,）,式中，,s,=2/,T,，,称为采样角频率，单位是,rad/s,。,因此,（,1.5.4,）,（,1.5.5,）,上式表明理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率,s,重复出现一次，或者说理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以,s,为周期，进行周期性延拓而成的。,在图,1.5.3,中，设,x,a,(,t,),是带限信号，最高频率为,c,，,其频谱,X,a,(j,),如图,1.5.3(a),所示。,p,(,t,),的频谱,P,(j,),如图,1.5.3(b),所示，那么按照（,1.5.5,）式，的频谱如图,1.5.3(c),所示，图中原模拟信号的频谱称为基带频谱。如果满足,s,2,c,，,或者用频率表示该式，即满足,F,s,2,f,c,，,基带谱与其它周期延拓形成的谱不重叠，如图,1.5.3(c),所示情况，可以用理想低通滤波器,G,(j,),从采样信号中不失真地提取原模拟信号，如图,1.5.4所示。,但如果选择采样频率太低，或者说信号最高截止频率过高，使,F,s,2,f,c,X,a,(j,),按照采样频率,F,s,周期延拓时，形成频谱混叠现象，用图,1.5.3(d),表示。这种情况下，再用图,1.5.4,所示的理想低通滤波器对,X,a,(,t,),进行滤波，得到的是失真了的模拟信号。下面用公式表示：,（,1.5.6,）,这里需要说明的是，一般频谱函数是复函数，相加应是复数相加，图,1.5.3,和图,1.5.4,仅是示意图。一般称,F,s,/2,为折叠频率，只有当信号最高频率不超过,F,s,/2,时，才不会产生频率混叠现象，否则超过,F,s,/2,的频谱会折叠回来而形成混叠现象，因此频率混叠在,F,s,/2,附近最严重。,图,1.5.3,采样信号的频谱,图,1.5.4,采样恢复,总结上述内容，采样定理叙述如下：,（,1,）对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率,s,为周期进行周期性的延拓形成的，用公式（,1.5.5,）表示。,（,2,）设连续信号,x,a,(,t,),属带限信号，最高截止频率为,c,，,如果采样角频率,s,2,c,，,那么让采样信号通过一个增益为,T,、,截止频率为,s,/2,的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号,x,a,(,t,),。,否则,s,/,T,区域有较多的高频分量，表现在时域上，就是恢复出的模拟信号是台阶形的。因此需要在,D/AC,之后加平滑低通滤波器，滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用，这也就是在图,1.5.1,模拟信号数字处理框中，最后加平滑滤波器的原因。虽然这种零阶保持器恢复的模拟信号有些失真，但简单、易实现，是经常使用的方法。实际中，将解码器与零阶保持器集成在一起，就是工程上的,D/AC,器件。,图,1.5.10,零阶保持器的频率特性,习题与上机题,1.,用单位脉冲序列,(,t,),及其加权和表示题,1,图所示的序列。,题,1,图,2,给定信号：,（,1,）画出,x,(,n,),序列的波形，标上各序列值；,（,2,）试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示,x,(,n,)序列；,（,3,）令,x,1,(,n,)=2,x,(,n,2),，,试画出,x,1,(,n,),波形；,（,4,）令,x,2,(,n,)=2,x,(,n,+2),，,试画出,x,2,(,n,),波形；,（,5,）令,x,3,=,x,(2,n,),，,试画出,x,3,(,n,),波形。,3,判断下面的序列是否是周期的,;,若是周期的，确定其周期。,（,1,）,A,是常数,（,2,）,4,对题,1,图给出的,x(n),要求：,（,1,）画出,x,(,n,),的波形；,（,2,）计算,，,并画出,x,e,(,n,),波形；,（,3,）计算,，,并画出,x,0,(,n,),波形；（,4,）令,x,1n,)=,x,e,(,n,)+,x,0,(,n,),将,x,1,(,n,),与,x,(,n,),进行比较，你能得到什么结论？,5,设系统分别用下面的差分方程描述，,x,(,n,),与,y,(,n,),分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。,（,1,）,y,(,n,)=,x,(,n,)+2,x,(,n,1)+3,x,(,n,2),（,2,）,y,(,n,)=2,x,(,n,)+3,（,3,）,y,(,n,)=,x,(,n,n,0,),n,0,为整常数,（,4,）,y,(,n,)=,(,n,),（,5,）,y,(,n,)=,x,2,(,n,),（,6,）,y,(,n,)=,x,n,2,),（,7,）,（,8,）,y,(,n,)=,x,(,n,)sin(,n,),6,给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果稳定系统，并说明理由。,（,1,）,（,2,）,y,(,n,)=,x,(,n,)+,x,(,n,+1),（,3,）,（,4,）,y,(,n,)=,x,(,n,n,0,),（,5,）,y,(,n,)=e,x,(,n,),7,设线性时不变系统的单位脉冲响应,h,(,n,),和输入序列,x,(,n,),如题,7,图所示，要求画出,y,(,n,),输出的波形。,题,7,图,8.,设线性时不变系统的单位脉冲响应,h,(,n,),和输入,x,(,n,),分别有以下三种情况，分别求出输出,y,(,n,),。,（,1,）,h,(,n,)=,R,4,(,n,),x,(,n,)=,R,5,(,n,),（,2,）,h,(,n,)=2,R,4,(,n,),x,(,n,)=,(,n,),(,n,2),（,3,）,h,(,n,)=0.5,n,u,(,n,),x,n,=,R,5,(,n,),9,证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面等式成立：,（,1,）,x,(,n,)*,h,(,n,)=,h,(,n,)*,x,(,n,),（,2,）,x,(,n,)*(,h,1,(,n,)*,h,2,(,n,)=(,x,(,n,)*,h,1,(,n,)*,h,2,(,n,),（,3,）,x,(,n,)*(,h,1,(,n,)+,h,2,(,n,)=,x,(,n,)*,h,1,(,n,)+,x,(,n,)*,h,2,(,n,),10,设系统的单位脉冲响应,h,(,n,)=(3/8)0.5,n,u,(,n,),，,系统的输入,x,(,n,),是一些观测数据，设,x,(,n,)=,x,0,x,1,x,2,x,k,，,试利用递推法求系统的输出,y,(,n,),。,递推时设系统初始状态为零状态。,11,设系统由下面差分方程描述：,设系统是因果的，利用递推法求系统的单位脉冲响应。,12.,设系统用一阶差分方程,y,(,n,)=,ay,(,n,1)+,x,(,n,),描述，初始条件y,(,1)=0,，,试分析该系统是否是线性非时变系统。,13,有一连续信号,x,a,(,t,)=cos(2,ft,+,),，,式中，,f=20 Hz,=/2,。,（,1,）,求出,x,a,(,t,),的周期；,（,2,）用采样间隔,T,=0.02 s,对,x,a,(,t,),进行采样，试写出采样信号 的表达式；,（,3,）画出对应 的时域离散信号（序列）,x,(,n,),的波形，并求出,x,(,n,),的周期。,14.,已知滑动平均滤波器的差分方程为,（,1,）,求出该滤波器的单位脉冲响应；,（,2,）如果输入信号波形如题,14,图所示，试求出,y,(,n,),并画出它的波形。,题,14,图,15*.,已知系统的差分方程和输入信号分别为,x,(,n,)=,1,2,3,4,2,1,用递推法计算系统的零状态响应。,16*.,已知两个系统的差分方程分别为,（,1,）,y,(,n,)=0.6,y,(,n,1),0.08,y,(,n,2)+,x,(,n,),（,2,）,y,(,n,)=0.7,y,(,n,1),0.1,y,(,n,2)+2,x,(,n,),x,(,n,2),分别求出所描述的系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应。,17*.,已知系统的差分方程为,y,(,n,)=,a,1,y,(,n,1),a,2,y,(,n,2)+,bx,(,n,),其中,a,1,=,0.8,a,2,=0.64,b,=0.866,。,（,1,）,编写求解系统单位脉冲响应,h,(,n,)(0,n,49),的程序，并画出,h,(,n,)(0,n,49),；,（,2,）,编写求解系统零状态单位阶跃响应,s,(,n,)(0,n,100,）,的程序，并画出,s,(,n,)(0,n,100,）。,18*.,在题,18,图中，有四个分系统,T,1,、,T,2,、,T,3,和,T,4,，,四个分系统分别用下面的单位脉冲响应或者差分方程描述：,编写程序计算整个系统的单位脉冲响应,h,(,n,),0,n,99,。,题,18,图,