概率论第七章_课件2_.ppt

第,7.2,节 估计量的评价标准,容易明白,对同一个未知参数,采用不同的方法找到的点估计可能不同,.,那么,自然要问,:,究竟是用哪一个更“好”些呢,?,这里介绍三个评价标准,.,常用,标准,(1),无偏性,(3),相合性,(,或一致性,),(2),有效性,无偏性,标准一,:,设 为,的一个点估计,若,则称 为,的一个无偏估计,.,如果,那么,称为,的偏差,.,若,则称,是,的,渐近无偏估计,.,假设总体分布的参数为,.,例,7.2.1,验证,:,是总体,X,方差,DX,2,的一个无偏估计,;,不是方差的无偏估计,.,解：,=DX,解,:,=DX,而,S,2,为,2,的无偏估计,.,ES,22,。而,故,所以,不是,2,的无偏估计,但其是,2,的渐近无偏估计,.,即,标准二,:,有效性,(,方差最小性,),设 和 是 的两个无偏估计,若 则称 比 更有效,.,例,7.2.3,设总体,X,的方差存在，,X,1,X,2,X,n,是来自,X,的,s.r.s,试证,:,为,E(X),的无偏估计,且 比 更有效,.,证明,:,样本容量越大,样本均值估计值越有效,.,标准三,:,相合性,(,一致性,),设统计量 是未知参数 的点估 计量,样本容量为,n,若对任意,则称 为 的相合 估计,又称一致估计,.,关于相合性的两个常用结论,1.,样本,k,阶矩是总体,k,阶矩的相合性估计量,.,2.,设 是,的无偏估计,量,且,则,是,的相合估计量,.,由大数定律证明,用切贝雪夫不,等式证明,和 分别为样本均值和样本方差,则,例,7.2.5,设 是容量为,n,的一个样本，,是 的相合估计量,是 的相合估计量,点估计有使用方便、直观等优点,但它并没有提供关于估计精度的任何信息,为此提出了未知参数的区间估计法,.,1.,区间估计的定义,设总体分布中含有未知参数,根据来自该总体的样本,如果能够找到两个统计量,使得随机区间,包含 达到一定的概率,那么,就称该随机区间为未知参,数的区间估计,.,即,当 成立时,称概率 为,置信度,或,置信水平,;,称区间 是 的置信度为 的置信区间,;,分别称为,置信下限和置信上限,.,注意,:,点估计,给出的是未知参数的一个近似值,;,区间估计,给出的是未知参数的一个近似范围,并且知道这个范围包含未知参数值的可靠程度,.,例,7.3.2.,设总体,X,N,(,2,),其中,2,已知,X,1,X,2,X,n,为,X,的 一个样本,求一个区间,使之以,1-,的,概率 包含,的真值,.,解,(1),选择包含,的分布已知函数,:,(2),构造,U,取值概率为,1-,的区间,:,不妨设,P|U|,=1-,则,为,U,的,1-,/2,分位数,即,(3),变形得到,的,1-,置信区间,:,所求,1-,置信区间为,2.,求置信区间的方法与步骤,:,第一步：,构造一个含未知参数的分布已知的随机变量,(,样本的函数,),U,U,中除待估参数外不含其它任何未知参数。,构造方法,：一般是从未知参数的点估计着手,再进行,“,加工,”,来构造。,;,第二步：对给定的置信度,根据,U,的分布定出满足 的,a,b,(,叫分位数或临界点,);,第三步：利用不等式变形,求出未知参数的 置信区间,.,1,、,单一正态总体均值与方差的区间估计,:,(1),构造包含,的分布已知的函数,:,(2),构造,U,的 一个,1-,区间,:,(3),变形得到,的,1-,置信区间,:,设总体,XN(,2,),X,1,X,2,X,n,为,一组样本，,1,）,2,已知,求,的置信度为,1-,的置信区间,第,7.4,节 正态总体均值与方差的区间估计,例,7.4.1.,设总体,XN(,0.9,2,),X,1,X,2,X,9,为来自,总体的简单随机样本，样本均值为,5,，求,的,置信,度为,95%,的置信区间。,解,:,由题意得,:,这是方差已知的总体均值的区间估计，结果为,其中,n,=9,u,0.975,=1.96,代入得,4.412,5.588,所求置信区间为,(4.412,，,5.588),。,设总体,XN(,2,),X,1,X,2,X,n,为,一组样本，,2,）,2,未知,求,的置信度为,1-,置信区间：,(1),选择包含,的分布已知函数,:,(2),构造,T,的 一个,1-,区间,:,(3),变形得到,的,1-,置信区间,:,X,f(x),/2,/2,1-,例,7.4.2,用某种仪器间接测量温度，重复测量,5,次得温度数据如下（单位：摄氏度）,1250,，,1265,，,1245,，,1260,，,1275,。假设仪器无系统误差，测量值,X,服从正态分布，试以,95%,的置信度估计温度真值的置信区间。,解：,查,t,分布函数表得,经,计算,设总体,XN(,2,),X,1,X,2,X,n,为,一组样本，,2,未知,，则,的,1-,置信区间为,:,置信下限为,置信上限为,所求,置信区间为（,1244.18,，,1273.82,）,设总体,XN(,2,),X,1,X,2X,n,为,一组样本，,求,2,置信度为,1-,的置信区间：,X,f,(,x,),(,a,),选择包含,2,的分布已知函数,:,(,c,),变形得到,2,的,1-,置信区间,:,/2,/2,1,2,(,b,),构造 的 一个,1-,区间,:,例,7.4.3,设炮弹速度服从正态分布，现抽,9,发炮弹做试验,，,得样本方差,s,2,=11(m/s),2,分别求炮弹速度方差,2,和标准差的置信度为,90%,的置信区间。,解：由题意知,查表得,所以,2,的置信下限为,2,的置信下限为,故,2,的置信区间是（,5.675,32.199),的置信区间是,(2.38,5.67).,2.,两个正态总体均值差的区间估计,:,设原总体,XN(,1,1,2,),改变后的总体,Y N(,2,2,2,),X,Y,相互独立,从中分别抽取容量为,n,1,n,2,的样本,样本均值和样本方差分别记为,1),1,2,2,2,已知,1,-,2,的,1-,置信区间,:,(1),选择包含,1,-,2,的分布已知函数,:,(2),构造,U,的 一个,1-,区间,:,(3),变形得到,1,-,2,的,1-,置信区间,:,例,7.4.4,为考察工艺改革前后所纺线纱的断裂强度的变化大小，分别从改革前后所纺线纱中抽取容量为,80,和,70,的样本进行测试，算得样本均值分别为,5.32,和,5.76,。假定改革前后线纱断裂强度都服从正态分布，其方差分别为,2.18,2,和,1.76,2,，,试求改革前后线纱平均断裂强度之差的置信度为,95%,的置信区间。,解,：,由题意知,查正态分布表得,置信下限为,置信上限为,所以，所求的置信区间为,2),1,2,=,2,2,=,2,2,未知,1,-,2,的,1-,置信区间,:,(1),选择包含,1,-,2,的分布已知的函数,:,(2),构造,T,的 一个,1-,区间,:,(3),变形得到,1,-,2,的,1-,置信区间,:,例,7.4.5,为了估计磷肥对某种农作物增产的作用，现选,20,块条件大致相同的地块。,10,块不施磷肥，另外,10,块施磷肥，得亩产量（单位：,500,克）如下不施磷肥亩产,560 590 560 570 580 570 600 550 570 550,施磷肥亩产,620 570 650 600 630 580 570 600,600,580,设不施磷肥亩产和施磷肥亩产都服从正态分布，且方差相同，取置信度为,0.95,，试对施磷肥平均亩产和不施磷肥平均亩产之差作区间估计。,解：,设不施磷肥亩产,施磷肥亩产,计算得,查表得,的置信下限为,的置信上限为,所求的置信区间是（,9,，,51,）,3.,两个正态总体方差比,1,2,/,2,2,的,1-,置信区间,:,(1),选择包含,1,2,/,2,2,的分布已知函数,:,(2),构造,F,的 一个,1-,区间,:,(3),变形得到,1,2,/,2,2,的,1-,置信区间,:,X,f(x),/2,/2,1,2,1-,P,1,F,2,=1-,例,7.4.6,两名化验员甲，乙独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了,10,次测定，其测定值的样本方差分别为,0.5419,，,0.6065,，设两总体均服从正态分布，求总体方差之比的置信度为,95%,的置信区间。,解：,设甲，乙两人对应总体的方差分别为,由题意知,查表得,的置信下限为,的置信上限为,所求置信区间为,(0.222,3.601),实际操作起来,依据样本,按照第三步求出的 置信区间,查出分位数,算得上下限,最后写出数值区间,单正态总体参数的区间估计,双正态总体区间估计,小结,:,期望的区间估计,方差的区间估计,2,已知,2,未知,U,T,均值差的区间估计,方差比的区间估计,两个方差都已知,两个方差未知但相等,U,T,F,作业：,T12,T15,T17,