等比数列前n项和公式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,人民教育出版社高中数学第一册（上）第三章,等比数列前,n,项和公式,教 师：武占斌,山西大同市第二中学校,说课的,四个环节,教材分析,教法选取,学法指导,教学程序,一、教材分析,1,、教材背景分析：,等比数列的前,n,项和,等差数列,等比数列,通项、递推公式,求和,数列,数列极限,数学归纳法,微积分、级数,主要概念,两类特殊数列,一般数列问题及实际应用题,一、教材分析,2、教学目标,知识目标,：使学生掌握等比数列前,n,项和公式及其推导方法错位 相差法，并能灵活运用等比数列前,n,项和公式,能力目标,：通过展示公式的发现和证明过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力，掌握由特殊到一般的数学思想，提高学生的数学素质,思想目标,：,通过等比数列前,n,项和公式的学习进一步培养学生“实践认识再实践”的辨证唯物主义观点,通过猜想之后还需证明及对公比,q,的讨论，培养学 生严谨治学的学习态度,一、教材分析,3、,重点和难点,重点：,等比数列前,n,项和公式及应用,难点：,等比数列前,n,项和公式的推导方法,二、教学方法,引导发现法,：,数学,故事,类比通项,推导,分析,猜想结论,反思,分析过程,激发,兴趣,（呼应于思考题引用历史名题）,猜想,求和公式,证明,猜想,发现,错位相差法,举例、练习,熟练,公式,巩固,错位相差法,分析法,观察实例,实例,照应,回归,实际,提升,能力,思考题,二、教学方法,为学生增加动眼、动口、动脑、动手的机会,调动学生思维的积极性创造性,学习过程转化为：观察、猜想,、,分析、证明、反思、巩固的认知过程,使学生主动参与到整个教学的全过程之中在教法上体现把学习的主动权交给学生，让学生真正成为教学活动的主体,突出特点:重视知识的发生过程,有助于培养学生的创新精神和实践能力,二、教学方法,采用投影等电教手段，对增大教学容量、激发学习兴趣、解决重、难点问题起到辅助作用,三、学法指导,“治学之道”,求知之法,改变学生被动,的学习状态,三、学法指导,第三阶段:公式的,练习巩固,阶段为使学生获得一个完整的知识结构，进行解决问题的练习,本节课学生经历三个学习阶段：,第一阶段：公式的,类比猜想,阶段,教师激发学生去想，鼓励学生去说，要求学生尝试设计解决问题的方案，并不遗余力的完成自己的设计。培养学生顽强的学习精神,第二阶段:公式的,分析证明,阶段,鼓励学生用分析法贯通思路发现推理方法。培养学生对获得的结论进行评价和估测的习惯和能力,三,、学法指导,原有认知结构,数列,等差数列,等比数列,求和公式,通项公式,通项公式,分析法,等比数列求和公式,贯通证明思路,不完全归纳法猜想,新认知结构,逐步使学生掌握动手实践、大胆想象的学习方法,四、教学程序,第一环节:创立情景 引出课题,第二环节:启发诱导 探求公式,第三环节:练习巩固 反馈回授,第四环节:发散思维 深化目标,教 学 过 程,回顾历史 (开篇）,复习概念（过渡）,引用典故（引题）,与思考题呼应,第一层：展示发现过程,第二层：展示证明过程,第三层：反思证明过程,第四层：加深公式认识,第一方面：探究其他推导方法,第二方面：师生互动共同小结,第三方面：分层布置课外作业,四、教学程序,第一环节创立情景、引出课题（1）,第一方面：,同学们，我们已经学习了有关数列的基本概念，我国对数列的概念的认识很早，早在公元前一世纪成书的周髀算经上已有关于等差数列的文字记 载，到了宋、元年间，著名数学家沈括、杨 辉、朱世杰等人对数列进行了深入的研究，达到了较高的水平。,第二方面：,上节课，我们站在前人的肩膀上学习了等比数列的基本概念，请大家回顾：,1、什么是等比数列？公比对等比数列有何影响（要求从公比的正负，绝对值大于1或小于1说明）？,2、说出等比数列的通项公式。观察数列,a,n,=6,n,是否是等比数列，若是求出首项和公比,目的：建立联系 扫清障碍 突破难点,四、教学程序,第一环节创立情景、引出课题（2）,第三方面：讲述,“棋盘上的麦粒”,历史典故,大家都见过国际象棋吧！它的棋盘是正四方形，黑白相间共64格，传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如此的有趣和奥妙之后，决定要重赏发明人他的宰相西萨班,达依尔，让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格四粒麦子,以此类推每一格上的麦子数都是前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答应了宰相的要求。实际国王能满足宰相的要求吗？,四、教学程序,第一环节创立情景、引出课题（3）,四、教学程序,第一环节创立情景、引出课题（4）,设,这,64个数的和为,S，,则,S=2,0,+2,1,+2,2,+2,3,+,+2,63,总管共费了三天才计算出来最终的数字是：,18 446 744 073 709 551 615,粒麦子,若把这些麦子铺在地球表面一层，竟约有,2米,厚.若按万粒500克计算，可达,922 372,亿吨,。而我国现年产量在,1,亿吨,左右。如何能简便、快速地计算出这64个数组成的等比数列的和，是我们今天要研究的主要内容：,板书课题：等比数列前,n,项和的公式,目的：使不同层次的学生兴致勃勃的参与到教学活动之中，师生共同进入教学角色,四、教学程序,第二环节：启发诱导、探求公式（1）,第一层次,展示公式的发现过程：,等比数列的通项公式如何推导的呢？,1、引导学生从等比数列通项公式的推导方法出发，即通过观察,a,1、,a,2、,a,3、,a,4,的特点归纳,a,n,的,一般形式，联想求和公式的思考方法。,投影演示等比数列通项公式的推导过程,a,1,=a,1,a,2,=a,1,q a,3,=a,2,q=a,1,q,2,a,4,=a,3,q=a,1,q,3,a,n,=a,n-1,q=a,1,q,n-1,四、教学程序,第二环节：启发诱导、探求公式（2）,2、设等比数列的前,n,项和为,S,n,，,请学生写出,S,1,、S,2,、S,3,、S,4,的表达式,即,S,1,=a,1,S,2,=a,1,+a,2,=a,1,+a,1,q=a,1,（1+q）,S,3,=a,1,+a,2,+a,3,=a,1,+a,1,q+a,1,q,2,=a,1,（1+q+q,2,）,S,4,=a,1,+a,2,+a,3,+a,4,=a,1,+a,1,q+a,1,q,2,+a,1,q,3,=a,1,（1+q+q,2,+,q,3,）,四、教学程序,第二环节：启发诱导、探求公式（3）,3、我们发现随着,n,的增大,S,n,的形式愈加复杂，能否用简洁的形式来表示,S,n,呢？,引导学生在,S,3,=a,1,（1+q+q,2,）,的分子分母同乘以,1-,q(q,1),会得到什么结论？,S,1,、S,2,、S,4,是否有同样的变形？,4、让学生尝试变形：,四、教学程序,第二环节：启发诱导、探求公式（4,）,5、大家观察,S,1,、S,2,、S,3,、S,4,的特征，能猜出,S,n,的形式吗？,四、教学程序,第二环节：启发诱导、探求公式（5）,四、教学程序,第二环节：启发诱导、探求公式（6）,构建解决问题的平台暴露解决问题的思维过程。鼓励学生去观察、去交流、去反思，这不仅培养学生的思维能力，更有助于学生合作精神的培养,本层次的目的在于：,四、教学程序,第二环节：启发诱导、探求公式（7）,第二层次,展示公式的证明过程：,1、能证明自己的猜想吗？教师要求学生自主活动独立思考，并鼓励学生用分析法贯通思路、反思分析过程，逐步根据学生的情况分析证明思路,第二环节：启发诱导、探求公式（8）,四、教学程序,分析：欲证 成立,只需证,S,n,S,n,q,=a,1,（1,q,n,）,S,n,=a,1,+,a,1,q+a,1,q,2,+a,1,q,3,+,+a,1,q,n-2,+a1,q,n-1,qS,n,=,a,1,q+a,1,q,2,+a,1,q,3,+a,1,q,n-2,+a,1,q,n-1,+a,1,q,n,得：,S,n,（1q）=a,1,a,1,q,n,结论：当,q,1,时,四、教学程序,第二环节：启发诱导、探求公式（9）,2、请学生仔细观察以上分析过程，探索等比数列求 和公式的证明方法。引导学生发现由,式，可直接推出等比数列求和公式。,3、请学习较好的学生上台板演证明过程。,4、教师适时的补充，规范证明过程和格式。,四、教学程序,第二环节：启发诱导、探求公式（10）,第三层次,反思公式的证明过程,：,我们从,S,n,qS,n,这一思路入手推出求和公式，这正是由等比数列中每一项乘以公比都得到下一项，即：,a,n+1,=a,n,q,的特点决定，这种方法称为错位相差法，显然，这是推导等比数列求和公式的一种简单便捷的方法，教师通过剖析推导过程，加深学生对此法的理解体现教师的主导作用,四、教学程序,第二环节：启发诱导、探求公式（11）,第四层次,加深对公式的认识：,1、为什么公式要限制,q,1,？,如果,q,=1,，,S,n,=？,2、,我们用,a,1,、q、n,表示,S,n,，,能否用,a,1,、q、a,n,来表示,S,n,呢？,四、教学程序,第二环节：启发诱导、探求公式（12）,3、指导学生阅读课本，探究公式运用灵活方法。,当已知,a,1,、q、n,时，利用,当已知,a,1,、q、a,n,时，利用,显然，已知,a,1,、q、n、a,n、,S,n,中的三个量，可求其余两个量，注意公式的条件“,q,1,”,四、教学程序,第二环节：启发诱导、探求公式（13）,本环节的目的在于:,变公式的推导过程为探索发现新知的过程，使学生体会人类认识未知事物的过程即通过观察思考得到一个猜想,然后加以论证这正是学习数学的一个重要方法,第三环节：巩固练习、反馈回授（1）,例1：利用等比数列求和公式求解“棋盘上的麦粒”历史典故中舍罕王究竟应该赏赐宰相多少粒麦子？,解：,a,1,=1，q=2，n=64,由：,得出,四、教学程序,第三环节：巩固练习、反馈回授,（2）,四教学程序,练习：,(利用投影给出),1、当,a,1,=3，q=2，n=6,求,相应等比数列,a,n,的,S,n,；,2、,当,a,1,=.，q=.，n=,时求等比数列,a,n,的,S,n,；,3、,等比数列,a,n,中,a,5,=2，a,10,10,时，求,q、,S,n,；,a,5,=8，q=0.5,时，求,a,n,、,S,n,。,第三环节：巩固练习、反馈回设（）,四、教学程序,例,：求数列，,a，5a,2,，7a,3,(2n,1,）a,n1,的前,n,项和,（,a,1,且,a,0),。,解：,Sn,a5a,2,7a,3,9a,4,(2n,1,）a,n1,aSn,a 3a,2,5a,3,7a4,(2n,1,）a,n1,(2n,1,）a,n,Sn,aSn,12 a2a,2,2a,3,2a,4,2,a,n 1,(2n,1,）a,n,当,a,1,时，,Sn,(1a）1 ,(2n,1,）a,n,第四环节：发散思维 深化目标（1）,一、探求公式其它推导方法,1、我们用,S,n,qS,n,这一思路探究发现错位相差法推导求和公式，起到了化简,S,n,的,目的。那么，是否,S,n,1/,qS,n,也可以起到同样的化简效果？,S,n,q,2,S,n,呢？引导鼓励学生自由思考大胆想象，揭示化简本质。,四、教学程序,第四环节：发散思维 深化目标（2),四、教学程序,S,n,=,a,1,+,a,1,qa,1,q,2,+a,1,q,3,+,+a,1,q,n-2,+a,1,q,n-1,(1),qS,n,=,a,1,q,+,a,1,q,2,+a,1,q,3,+,+a,1,q,n-2,+a,1,q,n-1,+a,1,q,n,(2),=,a,1,q,-,1,+a,1,+,a,1,q,+,a,1,q,2,+a,1,q,3,+,+a,1,q,n-2,(3),q,2,S,n,=,a,1,q,2,+a,1,q,3,+,+a,1,q,n-2,+a,1,q,n-1,+a,1,q,n,+a,1,q,n+1,(4),(,1),(2,),(1)(3,),(1)(4,),效果如何 有何启发,设,a,1,、a,2,a,3,a,n,是公比为,q,的等比数列,则由,由等比定理得,四、教学程序,2、围绕等比数列的 基本概念，引导学生从定义出发，利用等比定理导出公式。,第四环节：发散思维 深化目标（3),第四环节：发散思维 深化目标（4),3、利用类比公式,1-,q,2,=(1-q)(1+q)；1-q,3,=(1-q)(1+q+q,2,),1,q,n,=(1 q)(1+q+q,2,+q,3,+,q,n,-1,),q,1,的变形式 直接得到,S,n,=a,1,+,a,1,q+a,1,q,2,+a,1,q,3,+,+a,1,q,n-2,+a,1,q,n-1,=a,1,(,1+q+q,2,+q,3,+,q,n,-1),=,四、教学程序,第四环节：发散思维 深化目标(5),二、师生小结：,学生小结公式的推导过程及应用公式需注意的地方，老师小结推导公式所蕴含的思想方法。,三、布置作业：,A.,阅读课文、整理笔记、课后习题3.5(1)(2),B.,思考题(投影给出),四、教学程序,四、教学程序,第四环节：发散思维 深化目标(6),思考一：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。问截,n,次后截去的总长是多少？庄子,天下篇,除用公式外，引导学生用间接法,思考二：甲乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还1分，第二天给甲返还2分，,即后一天返还的钱是前一天的2倍，问谁赢谁亏？,呼应开头强化所学 解决实际,(返还钱应为2,30,1,1073748.32元远大于3000元),板书设计,3.3等比数列前,n,项和公式,例1,：*,公式的发现过程 公式的推导证明过程 例2：,*,*,*,解：,*,*,*,解：,*,*,练习,*,*,*,说课到此结束,欢迎批评指正,谢 谢,!,