概率统计习题解答07 习题一.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率统计习题解答 习题一,1.,写出下列事件的样本空间：,（,1,）把一枚硬币抛掷一次；,（,2,）把一枚硬币连续抛掷两次；,（,3,）掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；,（,4,）一个庫房在某一时刻的库存量（假定最大容量为）,解：,2.,掷一夥骰子的试验，观察其出现的点数，,事件“偶数点”，“奇数点”，“点数小于,5”,“小于,5,的偶数点”，讨论上述各事件间的关系,.,解：,为对立事件,.,即,互不相容；,解：,3.,事件表示某个生产单位第车间完成生产任务，表示至少有两个车间完成任务，表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件的含义，并用表示出来,.,表示最多有一个车间完成任务，即至少有两个车间没有完成任务,.,注意：运算定义中有“至少”而没有“最多”,如图,1,1,，事件都相容，即把事件用一些互不相容事件的和表示出来,.,解：,5.,两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明,.,解：两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；,两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生,.,区别互不相容与对立的关键是，当样本空间只有两个事件时才可能对立,.,而互不相容适用于多个事件的情形,.,互不相容事件的特征是，在一次试验中两者可以都不发生，而对立事件必发生一个且至多发生一个,.,如考试及格与不及格是互不相容事件，也是对立事件，但考试,70,分与,80,分是互不相容却不对立,.,6.,三个事件的积是不可能事件，即,问这三个事件是否一定互不相容？画,图说明,.,解：不一定,.,三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容,.,如图,1,2,，,7.,事件相容，记,说明事件的关系,.,解：,要求掌握：根据相容性写出,（,1,）用互不相容的事件表示一个事件的方法；（,2,）用“包含”与“被包含”关系，表达事件间的相互关系的方法,.,8.,袋内装有,5,个白球，,3,个黑球，从中一次任取两,个，求取到两个球颜色不同的概率,.,解：设事件“取到的两个球颜色不同”,试验的样本点总数为,有利于的样本点数目为,由概率公式有,9.,计算上题中取到的两个球中有黑球的概率,.,解：设事件“取到的两个球中有黑球”,则“取到的两个球没有黑球”,“取到的两个球都是白球”,因此有利于事件的样本点数为,注意：当所求事件包含的基本事件“较复杂”、而它的对立事件所包含的基本事件“较简单”时，常用如例,9,那样的“求逆法”来解,.,10.,抛掷一枚硬币，连续,3,次，求既有正面又有反面,出现的概率,.,解：,设事件“連掷三次，既有正面又有反面出现”,它所包含的基本事件“较复杂”，但它的对立事件所包含的基本事件“较简单”：全部正面或全部反面。,故用求逆法：,11.,10,把钥匙中有,3,把能打开一个门锁，今任取两,把，求能打开门锁的概率,.,解：设事件“任取的两把锁能打开门”，,显然，这有多种可能情形,.,但它的对立事件：,“任取的两把锁不能打开门”，,所包含的基本事件较简单，且基本事件数容,易计算,.,故用求逆法来计算,.,12.,一副扑克牌有,52,张，不放回抽样，每次一张，,连续抽取,4,张，计算下列事件的概率,.,（,1,）四张花色各异；（,2,）四张中只有两种花色,解,：（,1,）,设事件“四张花色各异”,试验的基本事件总数,有利于的基本事件数,(2),设事件“四张中只有两种花色”,注意：有利于的基本事件的产生的过程：（,1,）在,4,种花色中任取二种；（,2,）对所取定的二种花色,取牌：各取两张或一个花色取,3,张另一个取,1,张,.,因此有利于的基本事件数是,思考题：求四张中至少有两种花色相同的概率,.,13.,口袋内装有,2,个五分、,3,个贰分、,5,个壹分的硬币共,10,枚，从中任取,5,枚，求总值超过壹角的概率,.,解：共有,10,个硬币，任取,5,个，则基本事件总数为,有利于事件“取,5,个硬币，总值超过壹角”,的情形有以下两种：,（,1,）取,2,个,5,分，其余,3,个可这样取：,3,个贰分或,2,个贰分、,1,个壹其总数为分或,1,个贰分或,3,个壹分,.,其总数为,（,2,）取,1,个五分，则,2,分至少要取,2,个，其总数为,故有利于事件的基本事件总数为,14.,袋中有球红、白、黑色球各一个，每次任取一,球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率,.,“三次都是红球”“全红”,“无红”，,“无白”,“,无黑“，,“三次颜色全相同”,“三次颜色全不相同”，,“三次颜色不全相同”,解：由于是作有放回抽取，每次可供抽取的球都有三个,.,故由乘法原理知，个基本事件,.,同理，,第一次可供抽取的球有,3,种不同的球；,第二次可供抽取的球有,2,种不同的球；,第三次可供抽取的球只有,1,种球,.,15.,一间宿舍内住有,6,位同学，求他们中有,4,个人的生日在同一个月份的概率,解：设事件“,6,位同学中有,4,个人的生日在同一,个月份”,因为每个同学的生日月份都有,12,种可能，故由乘法原理知，,有利于事件出现的过程,：（,1,）,6,位中选定某,4,位；（,2,）这,4,位同学的生日在,12,个月份选,定某一个月份；（,3,）其余,2,位同学的生日，都在别的,11,个月份选择,.,16.,事件互不相容，计算,解：由于事件互不相容，,17.,设事件求证,证明：,解：由题设及求证的要求知，首先需求出,为此要考虑用已知概率的事件表示未知概率的事件：,19.,50,个产品中有,46,个合格品与,4,个废品，从中,一次抽取,3,个，计算取到废品的概率,.,解：设“取到废品”,一次抽取,3,个，抽到废品有多个情形，但与其对立的情形：,3,个都是合格品,.,就一种,.,故用求逆运算：,20.,已知事件,求的取值范围,.,综上分析的取值范围是：,20.,设事件都大于,0,，比较概率,（用不等号把它们连接起来）,解：对任何事件均有,22.,一个教室中有,100,名学生，求其中至少有一人的,生日是在元旦的概率（设一年以,365,天计算）,解：设事件“至少有一人的生日是在元旦”,则“,100,名学生的生日都不在元旦”,23.,从,5,副不同的手套中任取,4,只手套，求其中至少,有两只手套配成一副的概率,.,解：设事件“取出的,4,只手套至少有两只能配,成一副”,则“取出的,4,只手套中任何两只均不能配成一副”,.,为使取出的,4,只手套中没有两只能配成一副，,我们先从,5,副手套中任取,4,副，然后从取出的,4,副手套中各取一只,.,因此,24.,某单位有,92%,的职工订阅报纸，,93%,的人订阅杂,志，在不订报纸的人中仍有,85%,的职工订阅杂志,从单位任找一名职工求下列事件的概率：,（,1,）该职工至少订阅一种报纸可期刊；,（,2,）该职工不订阅杂志，但是订阅报纸,.,解：设事件“任找的一名职工订阅报纸”，,“任找的一名职工订阅杂志”,.,由题意：,注意：善于根据题设条件，适当表达所求事件，使所求事件的概率变得容易,.,25.,分析学生们的数学与外语两科考试成绩，记事,件“数学成绩优秀”，“外语成绩优秀”，,若,解：,26.,设是两个随机事件，,求证：,证明：条件概率具有概率的一切性质，故,由题设知,因此有,整理即得：,27.,设独立，,解：,独立，,另解：直接使用推论,3,来解,.,28.,设事件 的概率都大于,0,，如果 独立,问它们是否互不相容，为什么？,解：用反证法证明,.,如果 互不相容，则,而由题设 独立，,故在题设条件下，不可能互不相容,.,注意这里有一个重要的结论：在此题设的条件下，相互独立与互不相容不可能同时成立,.,反之：在题设的条件下，如果 互斥，也可用反证法证明 不可能相互独立,.,29.,某种电子元件的寿命在,1000,小时以上的概率为,0.8,，求,3,个这种元件使用,1000,小时后，最多只,坏了一个的概率,.,解：设事件“第个元件在使用,1000,小时后,没有坏”，,显然相互独立,.,设事件“在使用,1000,小时后，三个元件最多只坏了一个”,.,则,上述等式右边是四个两两互不相容事件的和,30.,加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、,二、三道工序的废品率分别为,0.3,0.2,0.2,，,并且任何一道工序是否出现废品与其他各道,工序无关，求零件的合格率,.,解：,设事件“任取一个零件是合格品,”,“第道工序是合格的”,则,相互独立,.,31.,某单位电话总机的,占线,率为,0.4,，其中某车间分机的占线率为,0.3,，假定二,者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二,次,能打通的概率以及第次才能,打通的概率（,为任何正整数）,.,则一次能打通的概率是,第二,次才能打通,的,概率是,解：设事件“第次,能打通”,.,“总机占,线,”，,“分机,占线”,第,次才能打通,的,概率是,32.,一间宿舍中有,4,位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率,.,解：设,“第人拿到自己的眼镜”，,则,设,“每个人都没有拿到自己的眼镜”，,则表示至少有一人拿到自己的眼镜：,其中,33.,在,1,2,，,，,3000,这,3000,个数中任取一个数，设“该数可以被整除”，求概率,解：由题意知,34.,甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为,0.8,0.7,0.6,，计算下列事件的概率：（,1,）只有一人投中；（,2,）最多有一人投中；（,3,）最少有一人投中,.,解：设事件分别表示“甲投中”、“乙投,中”、“丙投中”,.,显然相互独立,.,设表示“三个人中有人投中”，,由题意得，,35.,甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的,命中率分别为,0.4,及,0.5,，问誰先投中的概率大，,为什么？,解：设事件分别表示“甲在第次投中”,与“乙在第次投中”，,显然相互独立,.,设事件“甲先投中”，则,此等式右边各项显然互不相容，,即乙先投中的概率是,故甲先投中的概率较大,.,36.,某高校新生中，北京考生占,30%,，京外其他各地考生占,70%,，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占,80%,，而京外学生以英语为第一外语的占,95%,今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率,.,分析：这里所求其概率的事件与前后两个试验：,（,1,）生源情况；（,2,）以英语为第一外语的情况,有关,.,第（,1,）个试验的各种结果直接对第（,2,）个试验产生影响，要求的是第（,2,）个试验出现的结果,.,应用全概率公式，把第（,1,）个试验的所有可能结果设成样本空间,的一个分割,.,解：设事件“任选一名学生为北京考生”，,则表示“任选一名学生为京外考生”,.,设事件“任选一名学生，以英语为第一外语”,由题意知：,注意：需用全概率公式解题的类型的判断方法及解题的方法,37.,地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为,9,：,7,：,4,，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为,4%,，,2%,，,5%,，求,地的甲种病的发病率,.,解：设事件分别表示从,地任选一名居民,为其南、北、中行政小区的居民，则,设表示“任选一名居民患有甲种疾病”，则,38.,一个机床有三分之一的时间加工零件,，其余时间,，加工零件,加工零件时，停机的概率为,0.3,，加工零件时，停机的概率为,0.4,，求这个机床停机的概率,.,设“机床停机”，由题意有,解：设“机床加工零件”，则,“机床加工零件”，,39.,有编号为,、,、,的,3,个口袋，其中,1,号袋内装有两个,1,号球，,1,个,2,号球，与,1,个,3,号球，,号袋内装有两个,1,号球和,1,个,3,号球，,号袋内装有,3,个,1,号球与两个,2,号球，现在先从,1,号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大,.,事件“第二次取到号球”，,解：设事件“第一次取到号球”，,由题意：,构成一个完备事件组，,应用全概率公式：,因此第二次取到,1,号球的概率最大,.,40.,接,37,题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为,5%,（即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为,5%,）；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为,1%,，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实有此病的概率,.,解：设事件“受检人患有甲种疾病”，,事件“受检人被查有甲种疾病”,.,由,37,题知,所求概率是,应用贝叶斯公式解：,41.,甲，乙，丙三个机床加工一批同一种零件，其加工的零件数量之比为,5,：,3,：,2,，各机床所加工的零件合格率，依次为,94%,，,90%,，,95%,，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率,.,解：设事件分别表示“受检零件为甲机,床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，,事件表示“废品”,.,由题意得：,所求问题即为：,应用贝叶斯公式，有,注意：若已知某事件已经发生，欲求在该事件发生的条件下，样本空间的划分中某一个事件发生的概率，可以用贝叶斯公式,.,全概率公式实质上是由原因求结果，而贝叶斯公式是由结果求原因,.,42.,某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车,4,种交通工具，其概率分别为,5%,，,15%,，,30%,，,50%,，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为,100%,，,70%,，,60%,，与,90%,，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率,.,解：设事件分别表示外出人“乘坐飞,机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”,.,事件表示“外出人误期到达”,.,由题意得：,所求概率是,应用贝叶斯公式，有,43.,接,39,题，若第二次取到的是,1,号球，计算它恰好取自,号袋的概率,.,应用贝叶斯公式：,解：由,39,题计算知，,所求概率是,44.,一箱产品,100,件，其次品个数从,0,到,2,是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取,10,件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率,解：设事件表示一箱中有件次品，,表示“抽取的,10,件产品中无次品”,由题意得：,所求事件的概率是,45.,设一条昆虫生产,n,个卵的概率为,其中,0,，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有条虫的概率是多少？,解：设事件“一个虫下,n,个卵”,n,0,，,1,，,2,，,“该虫下一代有条虫”，,0,，,1,，,由题意,应用全概率公式，有,