计算机控制技术 第2章Z变换及Z传递函数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第2章,Z,变换及,Z,传递函数,第2章,Z,变换及,Z,传递函数,2.1,Z,变换定义与常用函数,Z,变换,2.1.1,Z,变换的定义,已知连续信号,f,(,t,),经过来样周期为,T,的采样开关后，变成离散的脉冲序列函数,f,*,(,t,),即采样信号。,对上式进行拉氏变换，则,对上式进行拉氏变换，则,根据广义脉冲函数的性质，可得：,上式中，,F,*,(,s,),是离散时间函数,f,*,(,t,),的拉氏变换，因复变量,s,含在指数,e,-,kTs,中是超越函数不便于计算，故引一个新变量,z=,e,Ts,，,设,并将,F,*,(,s,),记为,F,(,z,),则,式中,F,(,z,),就称为离散函数,f,*,(,t,),的,Z,变换。,在,Z,变换的过程中，由于仅仅考虑的是,f,(,t,),在采样瞬间的状态，所以上式只能表征连续时间函数,f,(,t,),在采样时刻上的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性，从这个意义上来说，连续时间函数,f,(,t,),与相应的离散时间函数,f,*,(,t,),具有相同的,Z,变换。即,求取离散时间函数的,Z,变换有多种方法，常用的有两种。,1级数求和法,将离散时间函数写成展开式的形式,对上式取拉氏变换，得,例,2.1,求,f(t)=a,t/T,函数（,a,为常数）的,Z,变换。,解：根据,Z变换定义有,2部分分式法,设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成部分分式的形式为,因此，连续函数的,Z,变换可以由有理函数求出,例,2.2,已知 （,a,为常数）,求,F(Z),解：将,F(s),写成部分分式之和的形式,2.1.2,常用信号的,Z,变换,1,单位脉冲信号,2,单位阶跃信号,3,单位速度信号,4,指数信号,5,正弦信号,2.2,Z,变换的性质和定理,1线性定理,设,a,a,1,a,2,为任意常数，连续时间函数,f(t),f,1,(t),f,2,(t),的,Z,变换分别为,F(z),F,1,(z),F,2,(z)、,及，则有,2滞后定理,设连续时间函数在,t,0,时，,f(t),=0，,且,f(t),的,Z,变换为,F(z),，,则有,证明：,3超前定理,设连续时间函数,f(t),的,Z,变换为,F(z),，,则有,证明：,4初值定理,设连续时间函数,f(t),的,Z,变换为,F(z),，,则有,证明：,所以,5终值定理,设连续时间函数,f(t),的,Z,变换为,F(z),，,则有,证明：,6卷积和定理,设连续时间函数,f(t),和,g(t),的,Z,变换分别为,F(z),及,G(z),，,若定义,则,证明：,由于当,i,k,时,7求和定理,设连续时间函数,f(t),和,g(t),的,Z,变换分别为,F(z),及,G(z),，,若有,则,证明：,8,位移定理,设a,为任意常数，连续时间函数,f(t),的,Z,变换为,F(z),，,则有,证明：,9,微分定理,设连续时间函数,f(t),的,Z,变换为,F(z),，,则有,证明：,2.3,Z,反变换,所谓,Z,反变换，是已知,Z,变换表达式,F(z),，,求相应离散序列,f(,kT,),或,f,*,(t),的过程，表示为,Z,反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和留数计算法,1长除法,设,用长除法展开得,：,由,Z,变换定义得：,比较两式得：,则：,2部分分式法,又称查表法,，,设已知的,Z,变换函数,F(z),无重极点，先求出,F,(,z,),的极点，再将,F(z),展开成如下分式之和,然后逐项查,Z,变换表，得到,则：,3留数法,设已知,Z,变换函数,F,(,z,),，,则可证明，,F,(,z,),的,Z,反变换,f,(,kT,),值，可由下式计算,根据柯西留数定理，上式可以表示为,n,表示极点个数，,p,i,表示第,i,个极点。即,f,(,kT,),等于,F,(,z,),z,k,-,1,的全部极点的留数之和。,即：,2.5,线性定常离散系统的差分方程及其解,对于单输入、单输出的计算机控制系统，设在某一采样时刻的输出为,y,(,kT,),，,输入为,u,(,kT,),，,为了书写方便，用,y,(,k,),表示,y,(,kT,),，,用,u,(,k,),表示,u,(,kT,),。,在某一采样时刻的输出值,y,(,k,),不但与该时刻的输入,u,(,k,),及该时刻以前的输入值,u,(,k,-,1),，,u,(,k,-,2),，,u,(,k,-,m,),有关，且与该时刻以前的输出值,y,(,k,-,1),，,y,(,k,-,2),，,y,(,k,-,n,),有关，即：,或,上式称为,n,阶线性定常离散系统的差分方程，其中,a,i,、,b,i,由系统结构参数决定，它是描述计算机控制系统的数学模型的一般表达式，对于实际的应用系统，根据物理可实现条件，应有,k,0,。,当,k,0,时，,y,(,k,),=u,(,k,),=,0,。,用,Z,变换解常系数线性差分方程和用拉氏变换解微分方程是类似的。先将差分方程变换为以,z,为变量的代数方程，最后用查表法或其它方法，求出,Z,反变换。,若当,k,0,时，,f,(,k,)=0,，,设,f,(,k,),的,Z,变换为,F,(,z,),，,则根据滞后定理关系可推导出,例,2.8,若某二阶离散系统的差分方程为：,设输入为单位阶跃序列。,解：对差分方程求,Z,变换得,取,Z,反变换得,2.6,Z,传递函数,2.6.1,Z,传递函数的定义,设,n,阶定常离散系统的差分方程为：,在零初始条件下，取,Z,变换,则,G,(,z,),就称为线性定常离散系统的,Z,传递函数。即：在零初始条件下离散系统的输出与输入序列的,Z,变换之比。,2.6.3,Z,传递函数的求法,1用拉氏反变换求脉冲过渡函数,2将,g,(,t,),按采样周期,T,离散化，得,g,(,kT,),3,应用定义求出,Z,传递函数，即,G,(,z,),不能由,G,(,s,),简单地令,s=z,代换得到。,G,(,s,),是,g,(,t,),的拉氏变换，,G,(,z,),是,g,(,t,),的,Z,变换。,G,(,s,),只与连续环节本身有关，,G,(,z,),除与连续环节本身有关外，还要包括采样开关的作用。为了讨论方便，将上述过程简记为,例,2.9,已知,解,式中,e,-Ts,相当于将采样延迟了,T,时间。根据,Z,变换的线性定理和滞后定理，再通过查表，可得上式对应的脉冲传递函数为,2.6.4,开环,Z,传递函数,1串联环节的,Z,传递函数,串联环节的,Z,传递函数的结构有两种情况：种是两个串联环节之间没有采样开关存在，即串联环节之间的信号是连续时间信号，如图,2.3,所示。,G,1,(,s,),Y,(,s,),T,U,(,z,),U,(,s,),Y,1,(,s,),Y,(,z,),图2.3串联环节间无采样开关,G,2,(,s,),G,(,z,),输出,Y,(,z,),与输入,U,(,z,),之间总的,Z,传递函数并不等于两个环节,Z,传递函数之积。因为两个环节之间的信号传递是一个连续时间函数，即,上式对应的,Z,传递函数为,上式中符号 是 的缩写，它表示先将串联环节传递函数,G,1,(s),与,G,2,(s),相乘后，再求,Z,变换的过程。,另一种是两个环节之间有同步采样开关存在，如图,2.4,所示。,G,1,(,s,),T,U,(,z,),U,(,s,),T,Y,1,(,z,),G,2,(,s,),Y,(,z,),图2.4串联环节间有采样开关,G,(,z,),两个串联环节之间有采样开关，可由,Z,传递函数约定义直接求出。,串联环节总的,Z,传递函数为,由上式可知，两个串联环节之间有同步采样开关隔开的,Z,传递函数，等于每个环节,Z,传递函数的乘积。,在一般情况下，很容易证明：,在进行计算时，应引起注意。,结论：,n,个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有同步采样开关，总的,Z,传递函数等于各个串联环节,Z,传递函数之积，即,如果在串联环节之间没有采样开关，需要将这些串联环节看成一个整体，求出其传递函数,然后再根据,G,(,s,),求,G,(,z,)。,一般表示成,2并联环节的,Z,传递函数,对于两个环节并联的离散系统，输入采样开关设在总的输入端，其效果相当于在每一个环节的输入端分别设置一个采样开关，如图,2.5,所示。,G,1,(,s,),Y,(,s,),T,U,(,s,),Y,1,(,s,),Y,(,z,),(,b),采样开关在总输入端,G,2,(,s,),T,Y,2,(,s,),G,1,(,s,),T,U,(,s,),Y,1s,),(,a),采样开关在各个环节输入端,G,2,(,s,),Y,2,(,s,),图2.5 并联环节,Y,(,s,),Y,(,z,),根据图,2.5,可知，总的,Z,传递函数等于两个环节,Z,传递函数之和，即,上述关系可以推广到,n,个环节并联时、在总的输出端与输入端分别设有采样开关时的情况。总的,Z,传递函数等于各环节,Z,传递函数之和，即,2.6.5,闭环,Z,传递函数,设闭环系统输出信号的,Z,变换为,Y,(,z,),，,输入信号的,Z,变换为,R,(,z,),，,误差信号的,Z,变换为,E,(,z,),，,则有如下定义：,闭环,Z,传递函数：,闭环误差,Z,传递函数：,例,2.11,设离散系统如图,2.6,所示，求该系统的闭环误差,Z,传递函数及闭环,Z,传递函数。,Y,(,z,),E,(,z,),R,(,z,),y,(,t,),e,*,(,t,),r,(,t,),e,(,t,),T,H,(,s,),G,(,s,),图2.6 例2.11线性离散系统,解：,G,(,s,),与,H,(,s,),为串联环节且之间没有采样开关，则有,闭环误差,Z,传递函数：,又：,闭环,Z,传递函数：,2.6.6,Z,传递函数的物理可实现性,从物理概念上说就是系统的输出只能产生于输入信号作用于系统之后。这就是通常所说的“因果”关系。,设,G,(,z,),的一般表达式为,：,不失一般性，假定其中的系统,m,0,，,n,0,，,其余系数为任意给定值，则其对应的差分方程为,由上式知，,k,时刻的输出,y,(,k,),不依赖于,k,时刻之后的输入，只取决于,k,时刻及,k,时刻之前的输入和,k,时刻之前的输出。故,G,(,z,),是物理可实现的。,若设,G,(,z,),的一般表达式为,不失一般性，假定其中的系统,m,0,，,n,0,，,其余系数为任意给定值，则,如果,G,(,z,),是物理可实现的，则要求,n,m,。,否则，,k,时刻的输出,y,(,k,),就要依赖于,k,时刻之后的输入，这是物理不可实现的。,2.6.7,在扰动作用下的线性离散系统,线性离散系统除了参考输入外，通常还存在扰动作用，如图2.9所示。,根据线性系统的迭加原理，系统的输出响应,y,(,t,),应为,参考输入,r,(,t,),和扰动作用,f,(,t,),分别单独作用所引起响应的,迭,加。,f,(,t,),U,(,z,),u,*,(,t,),Y,(,z,),E,(,z,),R,(,z,),y,(,t,),e,*,(,t,),r,(,t,),T,G,2,(,s,),图2.9 在扰动作用下的线性离散系统,G,1,(,s,),T,D,(,z,),1,当系统不存在扰动时的输出响应为,2,当系统只存在扰动时，与之等效的方框图如图,2.10,所示。,F,(,s,),U,(,z,),u,*,(,t,),Y,f,(,z,),y,f,(,t,),f,(,t,),G,2,(,s,),图2.10 扰动系统的等效方框图,D,(,z,),T,G,1,(,s,),T,根据线性系统的迭加原理，系统只存在扰动时的输出响应为,取,Z,变换得：,又,则,3,在扰动作用下系统的输出响应为,THANK YOU VERY MUCH！,本章到此结束，,谢谢您的光临！,返回本章首页,结束放映,