第四章 恒定磁场.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 恒定磁场,4.1,安培力定律及磁感应定律,4.2,安培环路定律,4.3,真空中磁场基本方程,4.4,介质中磁场基本方程,4.5,不同介质分界面边界条件,Steady Magnetic Field,导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，称为恒定磁场,。,恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。,4.1,安培力定律及磁感应强度,1.,安培力定律,两个载流回路之间的作用力,式中，为真空中的磁导率。,I,1,I,2,o,两元电流段之间的安培力,I,1,d,l,1,实验指出在真空中两个元电流段 和,之间的作用力，正比于它们的矢量积 ，而反比于它们之间距离的平方。,实际上不可能存在孤立的元电流段，我们研究的只能是整个电流回路,。,已知磁场表现为对于,运动电荷,有力的作用，因此，可以根据运动电荷或,电流元,受到的作用力，或者根据小电流环在磁场中受到的,力矩,描述磁场的强弱。,实验发现，运动电荷在磁场中受到的作用力不仅与,电荷量,及,运动速度,的大小成正比，而且还与电荷的,运动方向,有关。电荷沿某一方向运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为零。我们定义，受力为零的方向为,零线方向,，如图所示。,2.,磁感应强度,-,比奥莎伐尔定律,F,B,v,零线方向,设作用力为,f,，,沿偏离零线方向,角度运动时，受力 。作用力,F,的大小与电荷量,q,及速度大小,v,的乘积成正比。方向上,f,垂直于速度方向,与零力线构成的平面。,我们定义一个矢量,B,，,令其大小为 ，其方向为,零线方向,，那么矢量,B,与电荷量,q,，运动速度,v,以及作用力,F,的关系为,矢量,B,称为磁感应强度，单位为,T,（,特斯拉,）。,值得注意的是，运动电荷受到的磁场力始终与电荷的运动方向,垂直,，因此，,磁场力无法改变运动电荷速度的大小，只能改变其运动方向，,磁场与运动电荷之间没有能量交换,。,F,B,v,零线方向电流元,是一小段载流导线，以矢量元,d,l,的大小表示电流元的长度，其方向表示电流,I,的方向，如左下图示。,F,B,I,d,l,若电流元的电流为,I,，,则,那么，由前式求得电流元在,磁感应强度为,B,的磁场中受到的力,此式表明，当电流元的电流方向与磁感应强度,B,平行时，受力为零；当电流元的方向与,B,垂直时，受力最大。,电流元在磁场中的受力方向始终,垂直,于电流的,流动方向,。,磁感应强度,B,通过某一表面,S,的通量称为,磁通,，以,表示,，,即,磁通的单位为,Wb,（,韦伯,）,。,可以看出 产生的,我们称上述诸式为,毕奥,-,沙伐定律,。由计算式可知，与产生它的源呈线性比例关系，在计算中可运用叠加原理。毕奥,-,沙伐定律的表达式又称为真空中磁感应强度的,场,源关系式,。,方向由 确定。,例 计算真空中半径为,a,，电流为,I,的圆形载流回路中轴线上的磁感应强度。,P,z,S,o,I,圆形载流回路的 磁场计算图,解：,取回路中心为坐标原点，建立圆柱坐标系。在圆形载流回路上取一元电流段,该元电流段产生的磁感应强度,按磁场分布的对称性，磁感应强度,B,只具有,z,方向的分量，所以,或者可以先分析磁感强度的分量，而后直接只求,z,方向的分量。,例 由图计算载流为,I,、长为,L,的直导线在真空中产生的磁感应强度。,o,在真空中载流直导线产生的磁场,z,L,P,Idz,解：,因结构上的对称性，载流直导线产生的磁场应是圆柱对称的。以导线轴线为,z,轴，一端为原点，建立圆柱坐标系。,在导线上任取元电流段产生的磁场：,代入上面的式子，整理得,该点产生的磁感应强度,产生的磁感应强度为,当,时，成为长直载流导线，此时，,4.2,安培环路定律,在真空磁场中，磁感应强度沿任意闭合回路的线积分，等于真空中的磁导率乘以该回路所限定面积中穿过的自由电流代数和。其表达式为,这就是真空中,的安培环路定律,。,此表达形式为定律的积分形式，,的正、负取决于 的流向与,l,回路的循行方向是否符合右手螺旋关系，相符为正，否则为负。,I,3,I,1,l,I,2,I,4,0,S,图 环量与激磁电流,I间关系说明图,如图，有：,例 无限长直导线，利用安培环路定律求解,应注意的是,：定律指出,B,沿任意闭合回路的线积分，仅与回路所包围的面积中通过的自由电流的,总量,相关，而与其他电流无关。但是，,B,本身却与产生磁场的所有电流都相关。,此式表明，磁场线是以,z,轴为圆心的一系列的,同心圆,。显然，此时磁场分布以,z,轴,对称,，且与,无关。又因线电流为无限长，因此，场量一定与变量,z,无关，所以，以线电流为圆心的磁场线上各点磁感应强度相等。因此,，,沿半径为,r,的磁场线上磁感应强度的环量为,根据安培环路定律，求得磁感应强度的大小为,此式也适用于具有一定截面，电流为,I,的无限长的圆柱导线外的恒定磁场。,I,B,例 长直同轴电缆，其横截面尺寸如图所示。已知内、外导体以及它们之间的媒质的磁导率为 ，内、外导体中流过电流分别为,I,、,-I,，试求磁感应强度的分布。,解：结构上和场源分布上的对称性，决定了磁场呈平行平面场和轴对称场分布。取同轴电缆横截面图为计算区域，建立圆柱坐标系。以 为半径，作同心圆为积分路径，被积函数为,o,-,I,长直同轴电缆的磁场图,I,o,-,I,长直同轴电缆的磁场图,I,4.3,真空中的恒定磁场基本方程,真空中恒定磁场的磁感应强度,B,满足下列两个方程,左式称为,安培环路定律,，式中,0,为真空磁导率，,(,H/m,),，,I,为闭合曲线包围的电流。,安培环路定律,表明,，真空中恒定磁场的磁感应强度沿任一闭合曲线的环量等于曲线包围的电流与真空磁导率的乘积。,由此可见，与电流线一样，磁场线也是处处闭合的，没有起点与终点，这种特性称为,磁通连续性原理,。,右式表明,，真空中恒定磁场通过任一闭合面的磁通为零。,由斯托克斯定理获知,再考虑到电流强度,I,与电流密度,J,的关系,那么，根据,安培环路定律求得,由于上式对于,任何表面,都成立，因此，被积函数应为零，从而求得,此式称为真空中的安培环路定律的,微分形式,。,它表明，,真空中某点恒定磁场的磁感应强度的旋度等于该点的电流密度与真空磁导率的乘积,。,另外，由高斯定理获知,那么，根据磁通连续性原理求得,证明板书,),由于此式,处处,成立，因此被积函数应为零，即,此式表明，真空中恒定磁场的磁感应强度的,散度处处为零,。,综上所述，求得真空中恒定磁场方程的微分形式为,可见，,真空中恒定磁场是,有旋无散,的,。,对于某些恒定磁场，根据,安培环路定律,计算磁感应强度将十分简便。,为此，必须找到一条封闭曲线，曲线上各点的磁感应强度大小相等，且方向与曲线的切线方向一致，上式的,矢量积分变为标量积分,，且,B,可以由积分号移出，那么即可求出,B,值。,至此，我们获得了真空中恒定磁场方程的积分形式和微分形式。已知电流分布，根据,矢量磁位,和,磁感应强度,公式，即可计算恒定磁场。对于某些分布特殊的恒定磁场利用安培环路定律计算恒定磁场更为简便。,附 矢量磁位,已知矢量磁位,A,与磁感应强度,B,的关系为,矢量磁位与电位不同，它没有任何物理意义，仅是一个,计算辅助量,。,已知 ，那么,求得,可见，矢量磁位,A,满足矢量泊松方程。,当电流分布未知时，必须利用边界条件求解恒定电磁场的方程。为此，需要导出矢量磁位应该满足,的微分方程,。,前述矢量磁位的积分表达式可以认为是,该方程的特解,自由空间中的解。,在,无源,区中，,J,=0,，,则上式变为下述,矢量,拉普拉斯方程,已知在直角坐标系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个坐标分量的,标量方程,。因此，,分离变量法,均可用于求解矢量磁位,A,的各个直角坐标分量所满足的标量泊松方程及拉普拉斯方程。此外，,镜像法,也可适用于求解恒定磁场的,边值问题,。,已知磁通表达式为 ，那么,再利用斯托克斯定理，得,由此可见，利用矢量磁位,A,计算磁通十分简便。,例,计算半径为,a,，,电流为,I,的小电流环产生的磁感应强度。,r,z,y,x,a,R,e,x,y,O,a,e,-,e,x,e,y,e,解,取球坐标系，令坐标原点位于电流环的中心，且电流环的平面位于,xy,平面内，如图示。由于结构对称，场量一定与,无关。为了计算方便起见，令所求的场点位于,xz,平面，即,=0,平面内。,x,y,-,J,K,根据 ，求得,可见，小电流环产生的矢量磁位,A,与距离,r,的平方成反比，磁感应强度,B,与距离,r,的立方成反比。而且，两者均与场点所处的方位有关。,经过一系列演算，求得,式中 为小电流环的面积。,Tips,1.,求解磁感应强度有几种方法：比奥沙伐尔定理，安培环路定理（有条件），矢量磁位。,2.,恒定磁场的性质：有旋无散，基本方程的积分形式，微分形式。,3.,接着要讨论介质中的场，边界条件。,1.,媒质磁化,电子围绕原子核,旋转,形成一个闭合的,环形电流,，这种环形电流相当于一个,磁偶极子,。电子及原子核本身自旋也相当于形成,磁偶极子,。,媒 质,合成场,B,a,+,B,s,磁 化,二次场,B,s,外加场,B,a,当外加磁场时，在磁场力的作用下，这些带电粒子的运动方向发生变化，甚至产生新的电流，导致各个磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为,零,，这种现象称为,磁化,。,由于热运动的结果，这些磁偶极子的排列方向杂乱无章，合成磁矩为零，对外不显示磁性。,4.4,媒质中的恒定磁场基本方程,与极化现象不同，磁化结果使媒质中的合成磁场可能,减弱或增强,，而介质极化总是导致合成电场,减弱,。,磁化结果产生了磁矩。为了衡量磁化程度，我们定义单位体积中磁矩的矢量和称为,磁化强度,，以,M,表示，即,分子电流,，物质磁性的根源正是这些微观分子电流引起的。在古典电磁理论中，常把这些微观分子电流看成一个很小的电流环，环的面积矢为,S,，环的电流为,i,。电流环的磁性可用其磁矩来表示，的定义是,式中 为 中第,i,个磁偶极子具有的磁矩。为物理无限小体积。,磁化后，媒质中形成新的电流，这种电流称为,磁化电流,。形成磁化电流的电子仍然被束缚在原子或分子周围，所以磁化电流又称为,束缚电流,。磁化电流密度以,J,表示。利用,矢量磁位与磁矩,的关系，可以导出矢量磁位与磁化强度,M,的关系为,x,P,z,y,r,d,V,O,V,r,r,-,r,S,第一项为,体分布,的磁化电流产生的矢量磁位，第二项为,面分布,的磁化电流产生的矢量磁位，因此两种,磁化电流密度与磁化强度的关系为,在有磁介质的磁场中，磁介质对磁场的影响可以归纳为各分子磁矩对磁场的影响。宏观分子电流总和（即磁化电流）为闭合路径,l,所穿过的分子磁矩的电流环的电流总和。因此，我们在磁介质中沿积分路径取一小圆柱在表面做长度为,dl,，底面积为 的圆柱体，环绕,dl,的电流为,沿闭合回路对,dl,的积分，可得与整个环路,L,相交链的总电流为：,总结以上分析可得：,媒质磁化后对原磁场的影响，可以用按体磁化电流密度 和面磁化电流密度 。,分布的磁化电流所产生的磁场等效地描述；,与自由电流一样，磁化电流也遵从毕奥,-,沙伐定律产生恒定磁场；,在有媒质存在的区域，任意一点处的磁感应强度，应是由自由电流和磁化电流在真空中产生的磁场的合成。,2.,媒质中的恒定磁场基本方程,磁化媒质内部的磁场相当于,传导电流I,及,磁化电流,I,在真空中产生的合成磁场。这样，磁化媒质中磁感应强度,B,沿任一闭合曲线的环量为,考虑到 ，求得,令,则,式中,H,称为,磁场强度,，其单位是,A/m,。,上式称为媒质中安培环路定律或,安培环路定律一般形式,。它表明媒质中的磁场强度沿,任一闭合曲线,的环量等于闭合曲线包围的,传导电流,。,利用斯托克斯定理，由上式求得,该式称为,媒质,中安培环路定律的微分形式。它表明,媒质中,某点,磁场强度的旋度等于,该点,传导电流密度,。,磁化电流,并不影响磁场线处处闭合的特性，媒质中磁感应强度通过任一闭合面的通量仍为零，因而磁感应强度的散度仍然,处处为零,，即,磁场强度仅与传导电流有关简化了媒质中磁场强度的计算，正如使用电通密度可以简化介质中静电场的计算一样。,对于大多数媒质，磁化强度,M,与磁场强度,H,成正比，即,式中比例常数,m,称为,磁化率,。磁化率可以是,正或负实数,。,考虑到 ，则由上式求得,令,则,式中,称为,磁导率,。,相对磁导率,r,定义为,但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可以认为它们的相对磁导率基本上等于,1,。铁磁性媒质的磁化现象非常显著，其磁导率可以达到很高的数值。,抗磁性,媒质磁化后使磁场,减弱,，因此,顺磁性,媒质磁化后使磁场,增强,，因此,媒质,媒质,媒 质,金,0.9996,铝,1.000021,镍,250,银,09998,镁,1.000012,铁,4000,铜,0.9999,钛,1.000180,磁性合金,10,5,与介质的电性能一样，媒质的磁性能也有,均匀与非均匀，线性与非线性、各向同性与各向异性,等特点。,若媒质的磁导率不随空间变化，则称为磁性能,均匀媒质,，反之，则称为磁性能,非均匀媒质,。若磁导率与外加磁场强度的大小及方向均无关，磁感应强度与磁场强度成正比，则称为磁性能,各向同性的线性媒质,。磁性能各向异性的媒质，其磁导率具有,9,个分量，,B,与,H,的关系,为,对于磁性能,均匀、线性、各向同性,的媒质，由于磁导率与空间坐标无关，因此得,同理，也满足以下这个微分方程式,上述结果表明，对于,均匀、线性、各向同性媒质,，只要真空磁导率,0,换为媒质磁导率,，各个方程即可适用。,4.5,恒定磁场的边界条件,推导过程与静电场的情况完全类似。结果如下：,1,2,B,2,H,1,B,1,H,2,e,n,1.,磁感应强度的,法向分量是连续,的，即,对于各向同性的线性媒质，由上式求得,2.,在磁介质分界面上，取一跨过分界面两侧的小矩形回路，如图所示，这个小矩形回路的两边平行于分界面，且分居于分界面两侧，另外两边,h,垂直穿过分界面，且,h0,。应用安培环路定律可得：,若分界面上分布有表面电流，取垂直于小矩形面积的单位矢量为 ，则穿过小矩形面积的电流为 ，如图所示。,另外，又可以写成 ，于是,如果分界面无源电流，则：,故有：,或：,由上可见，边界两侧磁场强度及磁感应强度的,大小及方向,均要发生变化。这种不连续性是由于边界上存在的,表面磁化电流,引起的。,考虑到回路方向与回路界定的有向面方向形成右旋关系，上式又可写成矢量形式,1,2,e,n,e,t,3.,当介质,1,为真空，介质,2,表面无自由面电流时，边界上磁感应强度的切向分量与磁化电流的关系为,得,证：,磁导率为无限大的媒质称为,理想导磁体,。在理想导磁体中不可能存在磁场强度，否则，由式 可见，将需要无限大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。,导体与介质的边界条件,（,2,导体,内部,磁场总是平行导体表面，导体放在磁场中一定产生表面电流。,由边界条件知,（,1,）,理想导磁体,内部的磁场强度为零，,因此，在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向分量，即,磁场强度必须垂直于理想导磁体表面,。,H,解 忽略漏磁通，磁感应强度的方向沿环形圆周。由边界条件知，气隙中磁感应强度,B,g,等于磁芯中的磁感应强度,B,f,，即,围绕半径为,r,0,的圆周，利用媒质中的安培环路定律，且考虑到,r,0,a,，,可以认为线圈中磁场均匀分布，则,例,在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制,N,匝线圈，如图示。当线圈中的恒定电流为,I,时，若忽略散逸在线圈外的漏磁通，试求磁芯及气隙中的磁感应强度及磁场强度。,气隙中的磁场强度,H,g,为,磁芯中的磁场强度,H,f,为,考虑到 ，得,