第一章 质点力学.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,理论力学,朱红波,hbzhu,理论力学的研究对象、方法,矢量力学（几何方法）,分析力学（解析法）,基本概念,力,能（动能、势能）,基本理论,牛顿三定律、力的独立作用原理,哈密顿原理,基本物理量,力、动量,拉格朗日函数、作用量,基本方程,矢量力学（几何方法）,分析力学（解析法）,特,点,隔离各质点，逐个考虑,把作用分离到各个质点上,非自由质点运动方程中存在约束力,系统作为一个整体，按自由度来分析,作用体现为势能，反映场的性质和结构,拉格朗日方程中不含约束力,质点运动学,运动学物理量：,位移，速度，加速度,运动学方程：轨道方程,质点动力学,动力学学物理量：动量，动量矩，能量,动力学方程：运动微分方程,第一章 质点力学,牛顿运动定律,1.1,运动的描述方法,1.,参考系和坐标系,在研究问题时，被选择作为定位标准的物体或物体群叫做,参考系,。,有一定大小且不变形的物体,或几个相对位置保持不变的物体,都可以作为参考系,.,一个质点不能作参考系！,坐标系是参考系的数学抽象，是在参考系上所树立的数学标架，用以定量描述物体的位置。,沿质点所在位置的坐标曲线切线方向建立的一组单位矢量称为坐标系的基矢,.,坐标系可以看成是,由坐标曲线组成的带有标度的空间网格,.,直角坐标系,基矢为,右手正交系,2.,自由度,确定力学系统位置所需要的独立坐标数为系统的自由度,自由度记为,.,3.,运动学方程和轨道,若用直角坐标系,Oxyz,代表参考系,如图位置矢量,(,简称位矢,),称为质点的运动学方程,它包括了质点运动的全部信息,.,质点运动的,轨道,即为位置矢量 的,矢端曲线,.,不可两个物体占有同一空间点,不能突变到另一位置,运动学方程的分量形式为,在直角坐标系,Oxyz,中具体表述为,连续运动质点各坐标变量之间的关系式叫做轨道方程。,质点的运动学方程就是质点的,轨道参数方程,，是参数。,4.,位移和路程,位移是质点位置矢量的增量,路程是质点沿轨道走过的长度,为一恒正标量,记为,.,当 时，记为,.,5.,速度,速度的方向沿轨道,(,即 的矢端曲线,),的,切线,指向运动的前方,它的大小称为速率,6.,加速度,加速度一定指向轨道的,凹侧,.,1.2,速度、加速度的分量表示式,1.,直角坐标系,例,1,，,p10,椭圆规尺,求：,M,点的轨道方程，速度及加速度,解：,M,点的坐标,轨道方程（椭圆）,M,点的速度分量为,由于,B,点的坐标分量为,且,B,点的速度为,故,M,点的速度分量为,M,点的加速度分量为,当质点被限制在一个平面上运动时,自由度为,2,，可以建立与参考系固连的极坐标系来描述质点的运动,.,质点的位置由坐标量 和 确定,要明确极角 的正方向,(,即 的增加方向,)!,2.,平面极坐标系,横向速度,径向速度,横向加速度,径向加速度,矢量的变化为矢量大小的变化及矢量方向的变化二者产生效果的叠加！,柱坐标系可以看成是由,Oxy,平面内的极坐标系,(,坐标量为 和,),及 轴构成的三维空间坐标系,.,速度和加速度的表达式为,3.,柱面坐标系,例,2,，,p15,已知：某质点极坐标为,求：速度及加速度,解：,利用质点运动轨道本身的几何特性,(,如切线、法线方向等,),来描述质点的运动,.,这种方法称为自然坐标法,.,弧长方程,弧长方程和轨道方程一起,与质点的运动学方程等价,.,弧坐标为,可正可负,的标量,与恒正的路程是不同的,.,在轨道上取一点 作原点,规定沿轨道的某一方向为弧长的正方向,质点位置可由原点 到质点间的一段弧长 来确定,称为弧坐标,.,4.,自然坐标系、切向加速度、法向加速度,相关的微分几何知识,切线、切向、密切面、曲率圆、曲率中心、曲率半径、曲率、法线、法平面、主法线、副法线,速度和加速度表达式,速度,加速度,法向加速度,切向加速度,在自然坐标描述中,需要已知质点运动的轨道,而对轨道的数学描述又需要一个坐标系,所以必须掌握自然坐标描述中的物理量与其他坐标系中的物理量之间的联系,.,建立这个联系的基本依据是,:,速度 和加速度 在不同的描述方法中有不同的表达形式,但它们的大小和方向是惟一确定的,.,内禀方程,小环,P,在半径为 的粗糙水平圆圈上滑动，摩擦系数为 ，假设在切线方向给予小环以初速度 。试求环在圆圈上所能滑过的距离。,总结：自然坐标系的建立,前提：轨道（轨道方程）是已知的,选用的坐标：弧坐标,方法：,确定轨道上某点的切线和切向（沿弧长增加的方向）,确定法向：过该点作垂面（法面）；求主法线，须作密切面。,垂直密切面的法线副法线。,例,3,，,p18,圆滚线,已知：,求证：加速度,a,为常数。,解：,例,4,，,p18,螺旋线,已知：,求：速度，加速度,，,轨道曲率半径,。,解：,1.3,平动参考系,绝对速度、相对速度与牵连速度,两种参考系：基本参考系、运动参考系 。,三种运动：质点的绝对运动、相对运动和牵连运动。,牵连速度：由于运动参考系的运动而使质点所具有的相对基本参考系的运动速度叫做质点的牵连速度；,它等于运动参考系上与质点位置重合的空间点的速度,。,系,绝对运动（,r,v,）,系,相对运动,(,r,v,),牵连运动,(,r,0,v,0,),例,5,，,p21,某人以每小时,4,千米的速率向东方前进时，感觉风从正北吹来；如将速率增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。试求风速及风向。,例,6,，,p22,质点动力学研究质点的运动和周围其他物体与之相互作用的关系,.,牛顿三定律,力的独立作用原理,完整的牛顿力学理论体系,1.4,质点运动定律,1.,质点动力学,牛顿运动定律,(,1.4),质点运动微分方程,(,1.5),质点的动量定理和动量守恒定律,(,1.8),质点的角动量定理和角动量守恒定律,(,1.8),质点的动能定理和机械能守恒定律,(,1.8),势能曲线 质点的平衡和平衡的稳定性,(,1.8),2.,牛顿三定律和力的独立作用原理,（,1,）牛顿第一定律,孤立质点保持静止或做匀速直线运动,.,孤立质点相对其静止或做匀速直线运动的参考系为,惯性参考系,简称,惯性系,.,（,2,）牛顿第二定律,牛顿第二定律一方面给出了惯性质量和力的操作型定义,;,又是建立质点动力学微分方程的基础,.,惯性质量与引力质量相等而称为质量,.,牛顿第二定律只在由牛顿第一定律定义的,惯性系中成立,.,（,3,）牛顿第三定律,两个质点间的作用力和反作用力总是同时成对出现,大小相等,方向相反,作用在同一条直线上,.,（,4,）力的独立作用原理,如果一个质点同时受多个力的作用,这些力各自产生的动力学效果不受其他力存在的影响,.,3.,力学相对性原理和经典力学时空观,（,1,）力学相对性原理,对任何惯性系，力学运动规律完全相同,.,或者说，对力学运动规律而言，一切惯性系都是等价的,.(,对于一个相对于惯性参考系做匀速直线运动的参考系，它的内部所发生的一切力学过程，都不受参考系本身匀速直线运动的影响,),（,2,）经典力学时空观,经典力学中认为时间和空间都是均匀的、各向同性的；时间和空间是互相独立的；空间距离和时间间隔是绝对的，和参考系的选取无关，不因参考系的运动而变化,.,经典力学时空观又称绝对时空观,.,4.,牛顿力学的特点和适用范围,矢量力学,几何关系,图,牛顿力学：质点、确定性的,.,牛顿力学：牛顿三定律为基础的动力学理论和牛顿的万有引力定律（引力理论）,.,低速、宏观和弱引力场,1.5,质点运动微分方程,1.,运动微分方程的建立,（,1,）用微分方程表示牛顿第二定律,（,2,）自由质点的运动微分方程,直角坐标系,平面极坐标系,（,3,）非自由质点的运动微分方程,约束：限制质点运动的条件。,约束方程轨道,非自由质点：如果质点受到某种约束，例如被限制在某曲线或曲面上运动，不能脱离该线或该面而作任意的运动并占据空间任意的位置则该质点叫做非自由质点。此时该线或面叫约束，而该线或面的方程就是约束方程。,约束反作用力：由于质点的运动有约束，还要把质点看作自由质点，那么在上述自由质点运动微分方程的右侧人为添加由于约束而带来的约束反作用力。,约束反作用力,主动力,常见主动力：重力，弹簧力，静电力和洛伦茨力等有,“,独立自由,”,的方向和大小，不受质点所受其他力的影响。,被动力,(,约束反作用力,),：绳内张力，支撑力，摩擦力。,运动规律,决定约束反作用力,（,1,）用内禀方程解,光滑线约束,+,f,（,2,）用质点运动微分方程求解的两大类问题,已知运动规律 ，求作用在质点上的力 。,已知力，求质点的运动规律。,2.,运动微分方程的求解,（,3,）解题的基本步骤,理解题意，具体问题具体分析。,(,明确已知量，待求量。,),作草图。隔离物体法，确定研究对象。,分析研究对象的受力，建立坐标系。,标出已知和未知力，速度。,写出投影的运动微分方程。,运用微积分知识求解方程。,讨论结果的物理意义，摒弃无意义的结果。,例,7,，,p39,质量为,m,的质点，在有阻力的空气中无初速度地自离地面为,h,的地方下落。如阻力与速度成正比，试研究其运动。,i,ii,iii,iv.,v,质点运动微分方程：,vi,解方程：,令,上述方程变为,初始条件：,t,=0,时，,故,初始条件：,t,=0,时，,例,8,，,p41,小环质量为,m,套在一条光滑的钢索上，钢索的方程为 ，试求小环自 处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。,在抛物线顶点处，,1.6,非惯性系动力学,(,一,),1.,质点在加速平动参考系中的运动,相对加速度,牵连加速度,绝对加速度,2.,惯性力,非惯性系中引入假想的作用在质点上的力；,大小等于质点的质量与牵连加速度的乘积，方向与加速度相反；,它不是真实的作用力，没有实施者，也没有反作用力，区别于约束反作用力。,例,9,，,p44,火车在平直轨道上以匀加速,a,0,向前行使，在车中用线悬挂一个小球，悬线与竖直线成,角而静止。求 。,1.7,功与能,1.,功和功率,凡是作用在质点上的力，使质点产生了一段位移，则称力对物体做了功。,功率表示做功的快慢，即单位事件内所做的功。,恒力对直线运动物体所做的功,变力对曲线运动物体所做的功,元功,总功,合力做功,功率,(,瞬时功率,),2.,能,能,(,量,),是物质运动的量度，它是运动状态的单值函数。,机械运动：动能,+,势能机械能,功是能量变化,(,或转化,),的量度。,3.,保守力，非保守力与耗散力,力场,力,F,(,x,y,z,),只与坐标有关，与其它因素无关，称力所在空间区域为,力场,。,这里,F,(,x,y,z,),为坐标,x,y,z,的单值，有限，可微函数。,例如：库仑静电场，地球重力场，万有引力场，弹性力场，均匀磁场。,保守力,定义：做功与路径无关，只与运动质点始末位置有关的力叫保守力。,判别：矢量函数沿空间曲线积分与路径无关，即力,是保守力的,充要条件,。,(,r,=0,除外,),非保守力，耗散力,4.,势能,势能,V,或,动量定理,牛顿第二定律,1.8,质点动力学基本定理和基本守恒律,1.,动量定理和动量守恒律,冲量,若在某个运动过程中,质点所受合力恒为零,即,则在该过程中质点的动量守恒。,常矢量,常量,固定方向,矢量矩和轴矩 力矩 角动量,(,即动量矩,),矢量矩,力矩,角动量,2.,动量矩定理和动量矩守恒律,矢量的轴矩,定义轴为有方向的直线,其方向用单位矢量 表示,称为 轴,.,矢量 对 轴的轴矩与轴上 点选取无关,矢量 对过同一 点、方向不同的轴的轴距不同,矢量 与 轴共面，则轴距 为零,质点对固定点 的角动量定理和角动量守恒定律,质点对固定点的角动量定理,冲量矩,对固定点的角动量定理不能与牛顿第二定律等价,=,常矢量,角动量守恒（角动量积分）,3.,动能定理和机械能守恒律,动能和动能定理,动能定理,机械能守恒律,机械能守恒律,1.9,有心力,1.,有心力的基本性质,有心力：如果质点所受的力的作用线始终通过某一定点，这个质点所受的力就叫做有心力，定点称力心。,行星绕太阳运转,万有引力,电子绕原子核转动,库仑引力,定义,角动量守恒与运动特点,由于和始终在垂直于的曲面内，所以质点做平面曲线运动常矢量,从角动量的大小为常数可得出位矢的掠面速度为常数。,即,常数,能量守恒,有心力的量值只与矢径,r,有关,常数,基本动力学方程,2.,有心力场中轨道微分方程,比耐公式,比耐公式,3.,平方反比引力行星的运动,万有引力,平方反比引力,质点散射,平方反比斥力,万有引力常数,太阳质量,行星质量,太阳行星距离,太阳高斯常数,行星运动的方程,谐振动,轨道方程,行星运动的分类,I,圆锥曲线的几何判据,圆锥曲线正交弦的一半,偏心率,原点：力心：焦点,椭圆,抛物线,双曲线,圆,行星运动的分类,II,动力学判据：能量,r,恒大于零,椭圆,圆,抛物线,双曲线,各种轨道的能量,常数,椭圆,径向速度,抛物线,径向速度,双曲线,径向速度,圆,径向速度,4.,开普勒定律,学说的发展,地心宇宙体系：,地球位于宇宙的中心，其它星球都在圆形轨道上绕地球转动,。,(,托勒玫，公元二世纪,),太阳为中心的地动说：,地球不是宇宙中心，地球除绕自己的轴旋转外，还和其它星球都在圆形轨道上一起绕着太阳运转,。,(,哥白尼，公元十六世纪,),开普勒三定律,(,开普勒，,1609,，,1619),牛顿的万有引力定律,(1687),开普勒定律,开普勒第一定律：,行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上,。,(1609),开普勒第二定律：,行星和太阳之间的联线,(,矢径,),，在相等的时间内所扫过的面积相等,。,(1609),开普勒第三定律：,行星公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比,。,(1619),牛顿的万有引力定律,(1687),：,开普勒第二定律,为行星对太阳的动量矩为常数，故行星所受力对太阳的力矩为零；又行星受力不为零，因此必受有心力，太阳是力心。,椭圆轨道方程为,或,代入比耐公式,开普勒第一定律,平方反比引力,扫过整个椭圆轨道一次,与行星无关,开普勒第三定律,开普勒第一定律,开普勒第二定律,开普勒第三定律,有心力，力心是太阳,5.,宇宙速度和宇宙航行,人造地球卫星：,1957.10.04,苏联,1958.02.01,美国,(,探险者号,),1970.04.24,中国,(,东方红一号,),无人飞船1960.01,苏联,1960.12.19,美国,载人飞船：,1961.04.12,苏联 加加林 东方号,1969.07.10-21,美国 阿姆斯特朗 阿波罗,11,“,人类踏上月球第一人,”,2003.,中国 杨利伟,宇宙速度,发射速度,第一宇宙速度：环绕速度,前提：绕地球作椭圆运转,近地点最近,，并取,第二宇宙速度：逃逸速度,前提：脱离地球引力，还不能脱离太阳引力的作用,近地点最近,，并取,第三宇宙速度,前提：脱离太阳引力的作用,在地球公转轨道上的发射速度,近日点最近,，并取,为相对太阳的速度,沿轨道切线方向发射，即沿地球运转的速度方向,相对地球的速度为,在地球上的发射速度,6.,圆形轨道的稳定性,圆形轨道的形成,在有心力的作用下，对任何质点来讲，如投掷速度的方向垂直于位矢，且满足 的关系，则不论半径多大，都将作圆形轨道运动。,当,0,时，即 ，则有 ，在这里就是 。,因此有,圆形轨道,圆形轨道的稳定性,圆形轨道 ，即 不变。,中心力场 不变。,方程的解可以分为三种情况：,只有 ，系统稳定，轨道稳定。,特例：,n,次方反比引力,只有 ，轨道,(,圆形,),才是稳定的。,n,=2,，平方反比引力；,n,=,1,，稳定的线性弹力。,7.,平方反比斥力,质点的散射,瞄准距离,偏转角,有心力,双曲线,入射,瞄准距离,出射,单个粒子的散射,微分散射截面,单位时间内在 角度内散射的质点数,单位时间内通过垂直于粒子束的单位截面积的质点数,入射区,散射区,卢瑟福公式,The end of chapter 1,