高中数学全程复习方略2.3.2.1 抛物线的简单几何性质(共50张PPT).ppt

第,1,课时 抛物线的简单几何性质,1.,掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质,.,2.,通过对抛物线的简单几何性质的学习，进一步体会数形结合思想在解题中的应用，并能应用几何性质解决有关问题,.,1.,本课重点是抛物线的几何性质及应用,.,2.,本课难点是利用抛物线的几何性质解决与抛物线相关的问题,.,抛物线的简单几何性质,标准,方程,y,2,=2px,(p0),y,2,=-2px,(p0),x,2,=2py,(p0),x,2,=-2py(p0),图象,标准,方程,y,2,=2px,(p0),y,2,=-2px,(p0),x,2,=2py,(p0),x,2,=-2py(p0),性质范围,_,_,_,_,对称轴,_,轴,_,轴,顶点,_,x0,yR,x0,yR,y0,xR,y0,xR,x,y,O,（,0,，,0,）,标准,方程,y,2,=2px,(p0),y,2,=-2px,(p0),x,2,=2py,(p0),x,2,=-2py(p0),性质,焦点,_,_,_,_,准线,_,_,_,_,离心率,e=_,1,1.,抛物线是中心对称图形吗？它有渐近线吗？,提示：,抛物线不是中心对称图形，也没有渐近线,.,2.,观察下图，抛物线标准方程,y,2,=2px(p0),中，开口大小与,p,有,怎样的关系？,提示：,p,越大，抛物线开口越开阔,.,3.,过抛物线标准方程,y,2,=2px(p0),的焦点，作垂直于抛物线对,称轴的直线交抛物线于,A,、,B,两点，则,|AB|=_.,【,解析,】,抛物线标准方程是,y,2,=2px(p0),，焦点坐标是,把 代入抛物线标准方程得,y=,p,，则,|AB|=2p.,答案：,2p,抛物线与椭圆及双曲线的几何性质的区别,（,1,）抛物线的性质和椭圆、双曲线的性质比较起来，差别较大它的离心率为,1,，是一个定值，有一个焦点，一个顶点，一条准线，一条对称轴，没有中心，学习中要注意区分、比较记忆对于抛物线的四种形式的标准方程，应准确把握、熟练应用，能作出图形，会利用图形分析性质,.,（,2,）曲线的延伸趋势不相同，当抛物线上的点趋于无穷远时，它在这一点切线的斜率接近于,x,轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于与,x,轴平行；而双曲线上的点趋近于无穷远时，它的切线的斜率接近于它的渐近线的斜率,.,（,3,）双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线,.,焦半径问题,【,技法点拨,】,抛物线的焦半径,(1),抛物线的焦半径是指抛物线上任意一点与抛物线焦点的连线段,.,(2),抛物线的焦半径公式,抛物线,y,2,=2px(p,0),抛物线,y,2,=-2px(p,0),，,抛物线,x,2,=2py(p,0),抛物线,x,2,=-2py(p,0),，,【,典例训练,】,1.,在平面直角坐标系,xOy,中，抛物线,y,2,=2x,的焦点为,F若,M,是抛,物线上的动点，则 的最大值为,_.,2.,已知抛物线,C:y,2,=2px(p,0),上横坐标为,4,的点到焦点的距离为,7,，则抛物线,C,的方程为,_.,【,解析,】,1.,设,M,（,x,0,y,0,），则,令,t=1,时,t1,时，方程有解,0,，,当,x,0,=1,时,的最大值为,答案：,2.,依题意得：解得,p=6.,所以抛物线方程为,y,2,=12x.,答案：,y,2,=12x,【,想一想,】,解答题,2,的关键点是什么？,提示：,解答题,2,的关键点是利用焦半径公式求出未知数，进而解决其他问题,.,【,变式训练,】,已知抛物线,C,：,x,2,=2py(p,0),上一点,A(m,4),到其,焦点的距离为,5.,求,p,与,m,的值,.,【,解析,】,由抛物线方程得其准线方程：根据抛物线定,义，点,A(m,4),到焦点的距离等于它到准线的距离，即,解得,p=2,，,抛物线方程为,x,2,=4y,，将,A(m,4),代入抛物线方程，解得,m=,4.,综上，,p=2,，,m=,4.,焦点弦问题,【,技法点拨,】,抛物线的焦点弦,如图，,AB,是抛物线,y,2,=2px(p0),过焦,点,F,的一条弦，设,A(x,1,y,1,),，,B(x,2,y,2,),，,AB,的中点,M(x,0,y,0,),相应的准线为,l,.,y,l,x,A,A,1,M,M,1,B,1,F,O,B,|AB|=x,1,+x,2,+p,；,|AB|=2x,0,+p,；,AB,垂直于对称轴时，,AB,叫通径，焦点弦中通径最,短；,A,，,B,两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,，即,以,AB,为直径的圆必与准线相切,.,【,典例训练,】,1.,过抛物线,y,2,=2px(p,0),的,焦点,F,作倾斜角为,45,的直,线,交抛,物,线于,A,，,B,两点，若线段,AB,的,长为,8,，则,p,=_.,2.,过抛,物,线,y,2,=10 x,的焦,点,F,的直线交抛物线于,A,B,两,点,，,则,_.,【,解析,】,1.,由题意可知过焦点的直线方程为 联立有,答案：,2,2.过,A,、,B,作准线的垂线，垂足分别为,A,、,B,，设,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),，则根据抛物线定义知,|BB|=,抛物线,y,2,=10 x,，,p=5,，,答案,:,【,互动探究,】,把题,2,抛物线解析式换为,y,2,=x,，则,_.,【,解析,】,由于,y,2,=x,，则 所以,答案：,4,【,归纳,】,解答题,1,的关键及解答题,2,时的突破口,.,提示：,（,1,）解答题,1,的关键是设出直线的方程与抛物线的方程联立方程组,.,（,2,）解答题,2,的突破口是把,|AF|,与,|BF|,用焦半径公式表示进而进行化简,.,【,变式训练,】,(2012,泉州高二检测,),过抛物线,y,2,=6x,的焦点作,直线交抛物线于,A(x,1,y,1,),，,B(x,2,y,2,),两点，若,x,1,+x,2,=4,则,AB,的长是,(),（,A,）,9,（,B,）,7,（,C,）,5,（,D,）,4,【,解析,】,选,B.,设,y,2,=6x,焦点为,F.,根据抛物线定义可知,p=3,|AB|=,综合题,【,技法点拨,】,抛物线中恒过点问题,（,1,）过抛物线,y,2,=2px,（,p0,）的顶点任作两条互相垂直的线,OA,、,OB,，则直线,AB,恒过定点（,2p,，,0,）,.,（,2,）解答直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一定要考虑直线斜率不存在的情形,.,【,典例训练,】,1.,设点,A,和点,B,为抛物线,y,2,=4px,（,p0,）上原点以外的两个动,点，已知,OAOB,，,OMAB,，求点,M,的轨迹方程，并说明它表示,什么曲线,.,2.,一个正三角形顶点都在抛物线上（抛物线的顶点在原点，对,称轴是坐标轴），其中一个顶点在原点，三角形的面积是,求抛物线的方程,.,【,解析,】,1.,如图,由,OAOB,，可知,AB,过定点,N,（,4p,，,0,）,.,于,是设,M,（,x,，,y,），当,AB,与,x,轴不垂直时，,由,K,OM,K,AB,=-1,可知 即,（,x-2p,）,2,+y,2,=4p,2,，当,ABx,轴时，点,M,与点,N,重合，也满足方程,点,M,的轨迹方程是（,x-2p,）,2,+y,2,=4p,2,（,x0),，它表示以点,（,2p,，,0,）为圆心，半径长为,2p,的圆（去掉坐标原点）,.,2.,若抛物线的焦点在,x,轴正半轴上，如图，,点,A,与点,B,关于,x,轴对称，设正三角形的边长为,a,，则,S,AOB,=,解得 则,A,的横坐标是,纵坐标是,设抛物线的标准方程为,y,2,=2px(p0),，点,A,在抛物线上，则,解得,p=1,，,抛物线的标准方程是,y,2,=2x.,同理可知，抛物线的标准方程还可以是,y,2,=-2x,x,2,=2y,x,2,=-2y.,【,规范解答,】,抛物线的性质在求最值中的应用,【,典例,】,（,12,分）已知,P,为抛物线,y,2,=4x,上的动点，过,P,分别作,y,轴与直线,x-y+4=0,的垂线，垂足分别为,A,，,B,，求,|PA|+|PB|,的最小值,.,【,解题指导,】,【,规范解答,】,如图，延长,PA,交准线,l,于,A,，焦点,F,（,1,，,0,），,2,分,|PA|+|PB|=|PA|-1+|PB|,=|PF|+|PB|-1,.,6,分,当,F,，,P,B,共线时,，,|PA|+|PB|,最小，即转化为,F,到,x-y+4=0,的,距离减去,1.,此时,8,分,|PA|+|PB|,的最小值为,11,分,综上所述,，,|PA|+|PB|,最小值为,.,12,分,失,分,警,示,解答过程中，若处,|PF|+|PB|-1,未转化出来，则后,面步骤转化困难，从而得不到分,.,解答过程中，若想不到处,当,F,，,P,，,B,共线时,取最小,值，则解题无法进行，即使前面转化正确，本题最,多得,6,分,.,若漏掉最后处,综上所述，,|PA|+|PB|,的最小值为,的总结，则此题解答不完整，只得,11,分，是失分比较可惜的一种情况,.,【,阅卷人点拨,】,通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的见规范解答过程）,解,题,启,示,（,1,）关于抛物线的一些常见的几何性质一定要弄清，防止出现一些不必要的错误,.,（,2,）关于一些定点的位置要判断准确，为下一步的解题提供方便,.,（,3,）注意解题的完整性，防止不必要的失分,.,【,规范训练,】,（,12,分）在抛物线,y,2,=2x,上求一点,P,，使,P,到焦点,F,的距离与到定点,A(2,3),的距离之和最小,.,【,解题设问,】,点,A(2,3),在抛物线的内部还是外部,?,_,外部,【,规范答题,】,y,2,=2x,，,焦点的坐标为,2,分,A(2,3),，,点,A,在抛物线的外部,.,4,分,连接,AF,交抛物线于点,P,点,P,就是所求的点,.,直线,AF,的方程是,y=2x-1,6,分,与抛物线联立得方程组,解得,8,分,由于点,P,在线段,AF,上（不含,A,，,F,点），,P,点的坐标是,10,分,综上，,P,点的坐标是,12,分,1.,顶点在原点，对称轴是,x,轴，并且顶点与焦点的距离是,3,，抛,物线的标准方程是,(),(A)y,2,=12x (B)y,2,=-12x,或,x,2,=12y,(C)x,2,=12y (D)y,2,=12x,或,y,2,=-12x,【,解析,】,选,D.,由条件知：解得,p=6,，焦点在,x,轴的抛物线开,口向右或向左，所以抛物线标准方程是,y,2,=12x,或,y,2,=-12x,，故,选,D.,2.,设,AB,为过抛物线,y,2,=2px,（,p,0,）的焦点的弦，则,AB|,的最小,值为,(),（,A,）（,B,）,p,（,C,）,2p,（,D,）无法确定,【,解析,】,选,C.,由抛物线定义可求得，垂直于对称轴的通径最,短，即当,y=,p,时,|AB|,min,=2p.,3.,方程,(3-m)y,2,=(m-1)x,表示抛物线，其中,m,不能为,(),（,A,）,1,（,B,）,3,（,C,）,1,或,3,（,D,）,1,且,3,【,解析,】,选,D.,由条件知 解得,m3,且,m1,，故选,D.,4.,过抛物线,x,2,=-4y,的焦点作直线垂直于,y,轴，交抛物线于,A,，,B,两点，,O,为抛物线的顶点，则,OAB,的面积是,_.,【,解析,】,由抛物线方程可知,|AB|=2p=4,，,|OF|=1,，,所以,OAB,的面积为,答案：,2,5.,过抛物线,y,2,=8x,的焦点作直线,l,，交抛物线于,A,，,B,两点，若线段,AB,中点的横坐标为,3,，求,|AB|,的值,.,【,解析,】,由抛物线,y,2,=8x,知，,p=4.,设,A(x,1,y,1,),，,B(x,2,y,2,),，根据抛物线定义知：,x,1,+x,2,=|AB|-p.,由条件知 则,x,1,+x,2,=6,|AB|-p=6,又,p=4,|AB|=10.,综上，,|AB|,的值是,10.,