自然界和社会上发生的现象是各种各样的.ppt

单击此处编辑母版标题样式,引言,自然界和社会上发生的现象是各种各样的，可分为两类：,确定性现象,：在一定条件下必然发生某一结果的现象。,其特性是在相同的条件下重复进行实验或观察，它的结果总是确定不变的。,例如：在标准大气压下，纯水加热到,100,0,C,时必然会沸腾，半径是,R,时，圆面积一定是 等。,随机现象：,在相同条件下，重复进行实验或观察，它的结果未必是相同的现象。,其特性是重复进行实验或观察，可预言该条件下实验或观察的所有可能结果，但是在实验前或观察前无法预测出现哪一个结果，而实验或观察后必然出现一个可能结果。,例如：掷硬币出现正面反面情况,，,在一定条件下，某射手向靶射击一弹，观察中靶情况，等等。,概率论与数理统计就是研究随机现象的数量统计规律性的数学分支。,确定性现象是用经典的数学理论方法来研究其确切的因果关系。,概率论研究随机现象有其独特的方法，是通过对随机现象的大量观察揭示其规律性。,同学在学习中要注意其规律和方法。,随机现象其结果的发生呈现偶然性，但在一定条件下对其,进行大量重复实验或观察，它的结果会出现某种规律性，这是,随机现象所呈现的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。,这正是概率论所研究的对象,。,第一章 概率论的基本概念,随机试验,我们把对随机现象进行一次试验或观察，统称为随机试验，记为,E,。,叙述试验，我们要注意到：,1,、“在一定条件下，进行一次试验”包括内容：,试验条件；,观察特性（要观察的目的）,2,、结果的描述,随机试验有什么特点？下面举例看一看！,随机试验,E,，样本空间 ，基本事件，事件，概率的定义,序号,试验条件,观察特性,可能结果,E,1,将一枚硬币抛掷一次,出现正面,H,反面,T,的情况,H,T,E,2,将一枚硬币抛掷二次,同上,E,3,从六张卡片每张标有,1,，,2,，,，,6,一个数字,（,4,张红色，,2,张白色）任取一张,观察抽取卡片上的号码数,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,E,4,同上,观察卡片上的颜色,“红色”，“兰色”,上面所列举的试验，其共同的特点是：,1,、可以在相同的条件下重复进行（可重复性）,2,、试验的可能结果不止一个，并能事先明确试验的所有可能的结果 （预知性）,3,、一次试验之前不能确定预言中哪一个结果会出现（随机性）,具有上述三个特点的试验称为随机试验，简称为试验，记为,E,。,我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。,（二）随机试验,E,的每一个可能出现的结果叫做基本事件，,记为 或,e,所有基本事件组成的集合叫样本空间，记为,样本点 满足两点：,1,完备性：样本点是,E,的所有可能结果,2,互斥性：任何两个基本事件都不会在一次试验中同时发生。,（三）一个或多个基本事件组成的集合叫随机事件。,记为,A,，,B,，,C.,集合论,全集（集合）,点,子集,概率论,样本空间,S,样本点 （基本事件）,事件,A,关系：,如,（出现正面）,（第二次出现正面）,（取到卡片上号码大于,3,）,=,C,=,（,4,，,5,，,6,）,（四）频率与概率,频率：在相同条件下，独立重复进行,n,次试验，在这,n,次试验中，,事件,A,发生的次数,n,A,叫事件发生的频数，比值,n,A,/n,称为事,件,A,发生的频率，记为,f,n,(A,),。,特点：（,1,）频率在一定程度上可以反映事件,A,发生的可能性大小。,（,2,）具有波动性的弱点。,频率具有“稳定性”的特性，即当试验次数,n,逐渐增大时。,频率,f,n,(A,),逐渐稳定某一,定数,。,实验者,试验次数,正面向上次数,正面向上频率,德,.,摸根,2048,1061,0.5181,蒲丰,4040,2048,0.5069,K.,皮尔逊,12000,6019,0.5016,例：掷一枚均匀硬币，记录前,400,次掷硬币试验中，正面出现频率,f,n,(,H,),的趋势，如图,0.5,1,由上面演示可看出：,在多次试验中，事件的频率总是在一个”定值“附近摆动，而且当试验次数,n,越大，这个摆动的振幅越小。这个特性叫频率的稳定性。这是大量实践中得到的随机现象的统计规律性。,我们将频率稳定于某一定数定义为,A,发生的概率，记,P,(,A,),。,用它表示事件,A,发生的可能性大小。,概率的频率定义,在一组不变的条件下，重复作,n,次试验，记,m,是,n,次试验中事件,A,发生的次数。当试验次数,n,很大时，如果频率,m,/,n,稳定地在某数值,p,附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，称数值,p,为事件,A,在这一组不变的条件下发生的概率，记作,P,(,A,)=,p,.,概率的定义：设,S,是试验,E,的样本空间，对于,E,的每一事件,A,赋予,一个实数,P(A),，,如果,P(A),满足：,公理（,1,）对于任何事件,A,，,有,公理（,2,）对于,S,，有,P,(,S,)=1,公理（,3,）对于对于两两互斥的事件,A,1,A,2,A,m,则称,P(A),为事件,A,的概率,概率的公理化定义,二,.,概率的计算,（一）直接计算,古典概型,:,1.,E,的样本空间,S,只含有限个样本点（基本事件）记,n,2,.,E,的每个基本事件发生的可能性相同,古典概型中,:,其中,n,是,S,中 的个数,k,是,A,中包含的 个数,（,1,）,计算,n,，,k,要用到两个基本原理和排列、组合,1.,乘法原理,如果完成某件事需经,k,个步骤,第一个 第二个,第,k,个,步骤有 步骤有 步骤有,n,1,种方法,n,2,种方法,n,k,种方法,必须经过每一步骤才能完成此事。,则完成这件事共有 种不同方法,如,火车,3,列 火车,2,列,北京 飞机,2,班 济南 飞机,3,班 上海汽车,4,趟 汽车,2,趟,北京到上海的走法共有,2.,加法原理 设完成某件事有,k,种方式：,第一种 第二种,第,k,种,方式有 方式有 方式有,n,1,种方法,n,2,种方法,n,k,种方法,无论通过哪种方式都可以完成此事。,则完成这件事总共有,n,1,+n,2,+,n,k,种方法。,如,火车,5,列,北京 飞机,3,班 天津,汽车,6,趟,北京到天津的共有,3+5+6=11,种方法,排列公式,如：,该公式可视为以下模型：,m,个球放在,n,个盒子中，每个盒子最多,有一个球（或说,m,个球都不在同一盒子中）,第一个球任意放在,n,个盒中之一，有,n,种方法可放,第二个球任意放在剩下,n-1,个盒中之一，有,n-1,种方法,第,m,个球任意放在剩下,n-m+1,个盒中之一，有,n-m+1,种方法,把,m,个球全放完共有方法：,种,特别：,可重复排列，如：,m,个球任意放入,n,个盒子中，盒中,球的个数不限，共有方法 种。,如：从,0,，,1,，,2.9,个数字中任取,7,个数字为某城市的电话,号码，该城市最多可安装电话的部数是,组合公式：,（,2,）,抽样方法,1,0,无放回抽样（抽取）即是第一次从中任取一个，不放回再,取一个，又不放回，再取下一个,.,2,0,有放回抽样（抽取）即是第一次从中任取一个，放回再,取一个，又放回，再取下一个,.,例,1,：从,1,，,3,，,5,三个数字中任取一个数字，求取的数字大,于等于,3,的概率？,解：设,A,表示事件“任取一个数字大于等于,3”,。,S,=1,3,5,n,=3,k,=2,例,2,：从,1,，,3,，,5,三个数字中任取一个数字，不放回的再从中,任取一个数字。求下列事件的概率。,（,1,）“第一次取的是,3,，第二次取的是,5”=,A,（,2,）“取的两个数字是,3,和,5”=,B,分析,第一次取球的情况,不放回，第二次抽取,1 3 5,3 5 1 5 3 1,可知,S,=(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3),解：,n,=6,(1),k,=1,(2),k,=2,此问题，能否用如下方法计算是否对？,例,3.,如果例,2,中的抽样方法为有放回抽样，求,P,(,A,),P,(,B,),第一次取球的情况,有放回，第二次抽取,1 3 5,1 3 5 1 3 5 1 3 5,S,=(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),n,=9,分析,解：,例,4,：从分别标号为,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，,7,，,8,，,9,的,9,件同型产,品中，有放回的任取,3,件，求“取得,3,件的号码都是偶数”的概率？,分析：由于是有放回的抽取，每取一件产品都有,9,种不同的取法。,有放回的抽取,3,件，便有 种不同的结果,而要求取得的号码是偶数，所以只能从标号为偶数的,4,个中取得，,有放回的取,3,件，便有 种不同的结果。,解：,设,D=“,取得,3,件产品的标号都是偶数”,思考：如果是无放回的抽取，结果如何呢？,例,5.,在,100,件同型产品中有,5,件废品，其余都是正品。今从,100,件中无放回的任取,10,件，求取的产品正好有三件废品的概率,分析：正好取得,3,件废品实际上是“正好取得,3,件废品，,7,件正品,从,100,件中无放回的取,10,件，共有 种不同的取法。,正好取得,3,件废品，只能从,5,件废品中任取,3,件，共有 不同的取法,而另外,7,件必须从,95,件正品中取得，其不同的取法有 种。,所以正好取得,3,件废品共有 种不同的取法,解：,设,A,=“,正好取得,3,件废品”,“,A,、,B,中至少有一个发生时”，,“,A,发生或,B,发生”与“事件,A,B,发生”,是等价的。,（二）用概率性质,（,1,）集合运算：和、交（积）、差，自己复习,“,事件,A,和,B,同时发生”，,“,A,发生且,B,发生,”,，,“,A,和,B,都发生”与“事件,A,B,发生”,是等价的。,A,发生且,B,不,发生时，事件,A,B,发生,。,A,与,B,互斥（互不相容）即,A,与,B,没有共同元素,A,B,A,与,B,对立（互逆）,满足条件：,且,A,S-A,也称为,A,的逆事件，记为,（,2,）概率的性质。要熟记,1,0,若,则,2,0,一般加法公式,A,B,A,B,3,0,两两互斥，则,如：产品的次品率是,5%,（次品）,=A,（正品）,=,4,0,B,A,A,B,例,5,：甲、乙二人独立破译密码，甲、乙能译出的概率依次,为,0.5,，,0.6,，又知甲乙能同时译出的概率是,0.4,，求密码能,译出的概率？,解：（甲能译出）,=A,（乙能译出）,=B,（甲乙能同时译出）,=AB,由条件知,P,(,A,)=0.5,P,(,B,)=0.6,P(AB,)=0.4,P(,密码能译出,)=,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),=0.5+0.6-0.4=0.7,例,6,已知事件,A,的概率,P(A)=,0.6,，,求,法一：条件扩大,法二：,B,A,例,7,：在同型产品中，有,8,件次品，其余为正品，今从这,100,件产品中，任取,10,件。求至少取得,1,件次品的概率。,解：记,A=“,至少取得一件次品,”,.,法一：用古典概率知：,法二：先计算,=“,不取得次品”,三、条件概率与乘法公式,例：甲、乙两厂生产同一种零件，它们的产品情况如下表：,产品混放在一起，从中任取一件产品，,（,1,）“取得的一件产品是甲厂生产的”,=A,。,求,P(A),（,2,）“取得的一件产品是次品”,=B,。求,P(B),（,3,）“取得的一件产品是甲厂生产的次品”,=AB,求,P(AB),（,4,）已知取得的一件是甲厂的产品，求它是次品的概率,，,正品,次品,小计,甲厂,50,20,70,乙厂,25,5,30,75,25,100,解：,注意：以上四个问题的不同之处，什么叫“条件”。,定义：若,P(A)0,A,发生的条件下,B,发生的条件概率为,若,P(B)0,B,发生的条件下,A,发生的条件概率为,计算方法（一）公式法 *（二）直接计算 *,注：,条件概率具有概率的性质。,请自己总结,（,2,）,乘法公式,若,P(A,)0,有,P(B,)0,有,注意：,如何把实际问题表述成事件的关系运算来求解。,区分,如：一批产品是甲、乙二厂生产的，从中任取一件产品。,“,任取一件是甲厂的产品,”,=A,，,“任取一件是次品”,=B,，,求甲厂的生产的次品,的概率。如何表达？,甲厂产品的次品率。,如何表达？,例,8:,盒中有,10,件同型产品，其中,8,件正品，,2,件次品。现从,盒中无放回的连取,2,件，求第一次、第二次都取得正品的概率。,解：记,A,=“,第一次取得正品”,B,=“,第二次取得正品”,则,AB,=“,第一次取得正品，第二次也取得正品”,因为在第一次已取得正品下，第二次在取得产品时，盒中只剩,9,件产品，其中正品只有,7,件。所以,由乘法公式得：,例,9:,将,6,个球（其中,3,个红球，,3,个白球）随机放入,3,个盒子中。,求每个盒子正好都放入一个红球一个白球的概率。,解：记,A,i,=“,第,i,个盒子正好放入一个红球一个白球”，,i,=1,2,3,则“每盒正好放入一个红球一个白球”事件可表成,A,1,A,2,A,3,。,由概率的乘法公式得：,例,10:,某厂产品的次品率是,0.04,，正品中一等品占,90%,，,求从这批产品中任取一件是一等品的概率,?,解：设“正品”,=,A,，“一等品”,=,B,已知,P(A,)=0.96,P(,任取一件产品是一等品,)=P(B,),(4),事件的独立性,如果,说明,B,的发生对,A,发生的概率无影响,说明,A,的发生对,B,发生的概率无影响,称,A,与,B,互相独立。,定义：若事件,A,B,满足,则称,A,和,B,互相独立。（反之也成立）,若,互相独立，则,注意：,互相独立的定义应是：,两两独立,必须满足以上所有等式都成立。,有,小结：（,1,）,A,和,B,独立,一般情况,（,2,）如果已知,A,与,B,相互独立，则可知：,（,3,）如果,A,与,B,相互独立，则,如甲、乙二人的射击问题。,例,11:,已知事件,A,与,B,相互独立,且知,则,解：,例,12:,已知,（,1,）若,A,与,B,互斥。,求：,（,2,）若,A,与,B,互相独立,求：,解：,（,1,）若,A,与,B,互斥。,（,2,）若,A,与,B,互相独立,注意：,A,与,B,对立（互逆），,A,与,B,互斥（互不相容），,A,与,B,独立的概念区别，用处。,A,与,B,对立,A,与,B,互斥,A,与,B,互相独立,？,？,A,B,A,B,若,则,即,A,B,例,12:,甲、乙两名稳健射手各对目标射出一发子弹，记：,A=“,甲命中目标”，,B,=“,乙命中目标”，已知,求：（,1,）甲、乙都命中目标的概率。,（,2,）甲乙至少有一人命中目标的概率。,解：因为甲、乙二人都稳健，可认为其中一人命中与否，,不影响另一人命中与否的概率，即,A,与,B,互相独立。,（,2,）法一：,法二：,且易知 与 独立,例,13:,袋中有,4,个红球，,3,个白球，每次从中任取一个不放回的,取二次，求下列事件的概率。,（,1,）第二次才取到红球。（,2,）第二次取到红球。,解：设 表示第,i,次取到的是红球。,i=1,2,(1),P,第二次才取到红球,（,2,）,四、全概率公式与贝叶斯公式,设,S,为试验,E,的样本空间，,B,1,，,B,2,，,，,B,n,为,E,的一组事件，且,即,则,（全概率公式）,（贝叶斯公式）,小结：用全概率公式求解问题一般应具有三个条件。,（,1,）问题是求一个事件（如设为,A,）的概率,P(A),；,（,2,）,A,的发生可能有“多种原因”或“多种条件”或“多种情况,下发生”的诸事件记为：,B,1,，,B,2,，,，,B,n,，,满足,和,（,3,）由题中条件易求出,注意,（,4k=1,2,.n,例,14,某库内有同型产品,1000,件，其中,500,件是甲厂生产的,300,件是乙厂生产的，,200,件是丙厂生产的。已知甲厂产品,次品率为,1%,，乙厂产品次品率为,2%,，丙厂产品次品率为,4%,，,今从库内任取一件产品，求：,（,1,）求取得一件次品的概率。,（,2,）若已知取得一件次品，求取得的产品属于甲厂的产品,的概率。,解,（,1,）记,“取得的产品属于甲厂产品”,“取得的产品属于乙厂产品”,“取得的产品属于丙厂产品”,“取得一件次品”,易知以下结论：,且,两两互斥,（,2,）,贝努里试验,每次试验有二个结果,A,（成功）与 （失败），叫贝努里试验,在相同的条件下，独立进行,n,次试验叫,n,重贝努里试验,E,n,即,每次试验只有两个结果,A,和 且,P(A)=p,都相同。,各次试验独立,E,n,的,n,次试验中，事件,A,发生,k,次的概率为：,如,表示第,i,次试验,A,发生,P(n,次独立试验中恰好有,2,次,A,发生,),例,15.,设每台机床在一天内需要修理的概率为,0.02,，某车间有,50,台这种机床，试求在一天内需要修理的机床不多于,2,台的概率。,每台,修理,A,不修理,P(A)=,0.2,因此每台机床在一天内修理与否可看成是一次贝努里试验，,50,台机床，可看成是,50,次独立重复试验,E,50,P,(,一,天内需要修理的机床不多于,2,台,),=P(,一天内有,0,台需要修理,)+P(,一天内有,1,台需要修理,),+P,(,一天内有,2,台需要修理,),例,16.,袋中有,8,个红球，,3,个白球，每次从中任取一个观察颜色后,放回袋中，并往袋中加入,3,个与所取得球同色的球，若在袋中连,续抽取两次，试求：,（,1,）第二次才取到白球的概率。,（,2,）第二次取到白球的概率。,8,红,3,白,原袋中情况,第一次抽取,袋中情况,11,红,3,白,8,红,6,白,1,红,1,白,表示第,i,次取到一白球,设,（,1,）,（,2,）,