连续性随机变量及其概率密度.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,4,连续,型随机变量及其概率密度,一 连续型随机变量的概念与性质,在线段上随机投点的位置、温度、气压、电压、,电流等物理量等等，理论上可以取到某个区间,的任何实数值。,对这种类型的随机变量，不能象离散型随机变,量那样，以指定它取每个值概率的方式给出其,概率分布，而是通过给出所谓,“,概率密度函数,”,的方式，从而得到,连续型随机变量,的概念。,定义,如果对于,随机变量,X,的分布函数,F,(,x,),，,存在非负函数,f,(,x,),使对于任意实数,x,有,则称,X,为,连续型随机变量,，其中函数,f,(,x,),称为,X,的,概率密度函数,，简称,概率密度,或,密度,。,连续型随机变量的概念,x,f,(,x,),x,F,(,x,),分布函数,F,(,x,),与密度函数,f,(,x,),的几何意义,-10,-5,5,0.02,0.04,0.06,0.08,由定义知道，概率密度,f,(,x,),具有以下性质,f,(,x,),0,x,1,概率密度的性质,这两条性质是判定一个,函数,f,(,x,),是否为某,X,的,概率密度函数的充要条件,这是因为,注,由上述性质可知，对于连续型随机变量，,我们关心它在某一点取值的问题没有太大的,意义，我们所关心的是它在某一区间上取值,的问题。,对数集,A严格意义下要求可测性,),（,1,）,设,X,是连续型随机变量,有概率密度,f,(,x,),，则,（,2,）,在,f,(,x,),的连续点处，有,6,密度函数与分布函数的关系,注,1,、,对于连续型的随机变量,密度函数,唯一决定分布函数。,2,、,连续型随机变量的分布函数一定是,连续的；分布函数如果不连续就不,是连续型随机变量,(,除了连续型,分布和离散型分布以外还存在其它,类型的分布,),。,例,1,设,X,是连续型随机变量，其密度函数为,解,由密度函数的性质,求：,常数,c,；,例,2,某电子元件的寿命,X,（单位：小时）是以,为密度函数的连续型随机变量。求,5,个同类型,的元件在使用的前,150,小时内恰有,2,个需要更,换,的概率。,解,设,A,=,某元件在使用的前,150,小时内需要更换,检验,5,个元件的使用寿命可以看作是在做一个,5,重伯努利试验,B,=5,个元件中恰有,2,个的使用寿命不超过,150,小时,例,3,设,随机变量,X,具有概率密度,确定,常数,k,；,(2),求,X,的分布函数,；,(3),求,解,(1),由 得,故，,X,的概率函数,为,(2),由 得,(3),当然，还可以用,概率,密度求,概率。,例,4,设连续型,随机变量,X,的分布函数为,确定,A,、,B,的值,；,(2),求,X,的概率密度,；,(3),求,故有,解,(1),因为,X,是连续型随机变量，,所以,F,(,x,),连续,即,因此,(3),(2),由 得,当然，还可以用,概率,密度求,概率。,注,在,F,(,x,),导数不存在的点处，根据改变被积,函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，,可以在,没意义的点处，任意规定,的值。,二 几种,常用的,连续型随机变量,1,、,均匀分布,则称,X,在区间（,a,b,）上服从,均匀分布,，,若连续型随机变量,X,的概率密度为,记作,均匀分布密度函数,的图形,其分布函数为,均匀分布的特性,如果,随机变量,X,在区间（,a,b,）上服从均匀分布，,则,X,落在区间（,a,b,）中的任意一个子区间上的,概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的,位置无关。,即,随机变量,X,落在区间（,a,b,）中任意等长度的,子区间内的可能性是相同的,。,X,a,b,x,l,l,0,即,X,例,5,设公共汽车站从上午,7,时起每隔,15,分钟来一班,车，如果某乘客到达此站的时间是,7:00,到,7:30,之间的均匀随机变量，试求,该乘客候车时间不,超过,5,分钟,的概率。,解,设该乘客于,7,时,X,分到达此站,则,X,服从区间,0,30,上的均匀分布,令,B,=,候车时间不超过,5,分钟,则,2,、,指数分布,其中,0,为常数，则称,X,服从参数为,的,指数分布,。,若连续型随机变量,X,的概率密度为,指数分布密度函数的图形,则其分布函数为,指数分布的应用,指数分布具有,“无记忆性”。,所以，又把指数分布称为,“永远年轻”,的分布。,对任意,s,t,0,有,“,无记忆性”：,若,X,服从参数为,的指数分布，则,指数分布常作为各种“寿命”分布的近似。,例,设某日光灯的使用寿命服从参数,=,2000,的指数分布（单位：,h,）,（,1,）任取一根这种灯管，求能正常使用,1000h,以上的概率。,（,2,）某灯管已近正常使用了,1000,小时，求还能使用,1000,小时以上的概率。,其中,，,（,0,）,为常数，,则称,X,服从,参数为,，,的,正态分布,或,高斯分布。,记作,若连续型随机变量,X,的概率密度为,3,、,正态分布,正态分布密度函数的图形,其分布函数为,正态分布的,应用,若随机变量,X,受到众多相互独立的随机因素,的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，,且这些影响可以叠加，则,X,服从正态分布。,正态分布是应用最广泛、最重要的一种分布。,例如,各种测量的误差；人的生理特征；,工厂产品的尺寸；农作物的收获量；,海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；,热噪声电流强度；学生们的考试成绩；,都服从或近似服从正态分布,。,正态分布密度函数的几何特性,（,1,）曲线关于直线,x=,对称,：,f,(,+,x,)=,f,(,-,x,),；,（,2,）,在,x=,时，,f,(,x,),取得,最大值,（,3,）在,x=,时曲线,y,=,f,(,x,),在对应的点处,有,拐点,；,（,4,）,曲线,y,=,f,(,x,),以,x,轴为,渐近线,；,（,5,）,曲线,y,=,f,(,x,),的图形呈,单峰对称,状；,（,1,）,位置参数,即固定,，改变,的值，则,f,(,x,),的,形状不变,，,只是,位置不同,，,沿着,x,轴作平移变换。,正态分布密度函数,f,(,x,),的两个参数：,（,2,）,形状参数,即固定,，改变,的值，则,f,(,x,),图,形的,对称轴不变,，,而,形状在改变,。,越小，图形越高越瘦；,越大，图形越矮越胖。,当,=,0,，,=,1,时，称随机变量,X,服从,标准正态分布。,其概率密度和分布函数分别为,标准,正态分布,标准正态分布密度函数,的图形,标准正态分布分布函数,的图形,重要结论,若,，,则,1,、,3,、,2,、,证明,1,、,的分布函数为,故,2,、,由,1,得,3,、,由,2,得,标准正态分布的重要性在于，,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,。,根据上述结论，只要将标准正态分布的分布,函数制成表，就可以通过查表解决一般正态,分布的概率计算问题。,说明,例,5,设随机变量,X,N,(0,1),，试求,（,1,）；,解,（,1,）,（,2,）,（,2,）,解,（,1,）,例,6,设随机变量,X,N,(2,9),，试求,（,1,）；,（,2,）,；,（,3,）,（,2,）,（,3,）,若,X,N,(,),，则,3,准则,可以看到，,X,的取值几乎全部集中在,区间内，这在统计学上,称作,3,准则,。,这说明，,X,的取值几乎全部集中在,-,3,3,区间内,。,若,X,N,(0,1),，则,这一节我们介绍了随机变量的,分布函数,分布函数,分布函数,的性质,离散型,随机变量,的分布函数,概率函数,与分布函数,的关系,连续型,随机变量,的分布函数,概率密度,与分布函数,的关系,作业,19,20,，,21,，,24,，,25,26,