高中数学全程复习方略2.2.2.2 双曲线方程及性质的应用(共73张PPT).ppt

第,2,课时 双曲线方程及性质的应用,1.,进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质，能解决与双曲线有关的综合问题,.,2.,掌握直线和双曲线的位置关系的判断方法，能利用直线和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知识的综合应用能力,.,1.,本节的重点是直线和双曲线的位置关系中的弦长、中点弦问题,.,2.,本节的难点是与双曲线有关的综合问题,.,直线与双曲线的位置关系及判定,直线：,Ax+By+C=0,，,双曲线：,两方程联立消去,y,，得,mx,2,+nx+q=0.,位置关系,公共点个数,判定方法,相交,相切,相离,2,个或,1,个,m=0,或,1,个,m0,且,=0,0,个,m0且,0,1.,研究直线和双曲线位置关系时，联立直线和双曲线的方程消元后得到的方程一定是二次方程吗？,提示：,不一定，可能是一次的，也可能是二次的,.,当得到一次方程时，直线一定和双曲线的渐近线平行,.,2.,直线和双曲线有一个公共点，能否判断直线和双曲线一定相切？,提示：,不能，当直线和双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相交,.,3.,直线,2x-y-10=0,与双曲线 的交点是,_.,【,解析,】,由 得,3x,2,-32x+84=0,解得,x=6,或,将其分别代入直线方程得 即交点坐标为,（,6,2,）和,答案,:,（,6,，,2,）和,正确理解直线与双曲线位置关系及判定,一般地，设直线,l,：,y=kx+m,（,m0,）,双曲线,C,：,把代入得,（,b,2,-a,2,k,2,）,x,2,-2a,2,mkx-a,2,m,2,-a,2,b,2,=0.,（,1,）当,b,2,-a,2,k,2,=0,，即 时，直线,l,与双曲线的渐近线平,行，直线与双曲线,C,相交于一点,.,（,2,）当,b,2,-a,2,k,2,0,，即 时，,=(-2a,2,mk),2,-4(b,2,-a,2,k,2,)(-a,2,m,2,-a,2,b,2,).,0,直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；,=0,直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；,0,直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离,.,直线和双曲线位置关系的判定,【,技法点拨,】,直线与双曲线位置关系的判定方法及应注意的问题,直线与双曲线的位置关系的判定，通常是利用方程的观点，即把直线与双曲线的方程联立，讨论方程组解的个数，方程组有几个解，那么直线与双曲线就有几个公共点但判定直线与双曲线是否相交、相切、相离时应注意：,（,1,）直线与双曲线相交时，有一个交点或两个交点之分；,（,2,）直线与双曲线有一个公共点时，有相交或相切之分,故直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件,【,典例训练,】,1.,已知双曲线 过点,P(1,1),的直线,l,与双曲线只有一个,公共点，则这样的直线,l,有,_,条,.,2.,已知直线,y,kx,1,与双曲线,x,2,y,2,4.,(1),若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求,k,的取值范,围；,(2),若直线与双曲线没有公共点，求,k,的取值范围,【,解析,】,1.,（,1,）当直线,l,的斜率不存在时，,l,：,x,1,与双曲线相切，符合题意；,（,2,）当直线,l,的斜率存在时，设,l,的方程为,y,k(x,1),1,，,代入双曲线方程得,(4,k,2,)x,2,(2k,2k,2,)x,k,2,2k,5,0.,当,4,k,2,0,，即,k,2,时，,l,与双曲线的渐近线平行，,l,与双曲线只有一个公共点；,当,4,k,2,0,时，令,0,，所以,综上所述，当 或,k,2,或斜率不存在时满足题意，,所以这样的直线一共有,4,条,.,答案,:,4,2.(1),联立方程组 消去,y,得方程,(1,k,2,)x,2,2kx,5,0,，,由题意得，此方程有两个不等的正根,(2),由 得,(1,k,2,)x,2,2kx,5,0,由题意知此方程无解,则,k,的取值范围为,【,互动探究,】,第,2,题中若直线与双曲线只有一个公共点，试求,k,的值,.,【,解析,】,联立方程组 得方程,(1,k,2,)x,2,2kx,5,0,，,由直线与双曲线只有一个公共点知方程,(1,k,2,)x,2,2kx,5,0,只有一个解,当,1-k,2,=0,即,k=,1,时，方程只有一解；,当,1-k,2,0,时，需满足,=4k,2,+20(1-k,2,)=0,解得,综上可知,k,的值为,1,或,【,思考,】,求解第,1,题时容易忽略哪种情形？“直线与双曲线有两相异交点”和“直线与双曲线的右支有相异两交点”有何区别？,提示：,(1),求解第,1,题时容易忽略直线,l,的斜率不存在的情形而出错；,(2),直线与双曲线的右支有相异两交点是直线与双曲线有两相异交点的一种情形，消,y,之后的方程有两正根,.,【,变式训练,】,已知直线,kx-y+1=0,与双曲线 相交于两,个不同点,A,、,B.,（,1,）求,k,的取值范围；,（,2,）若,x,轴上的点,M,（,3,，,0,）到,A,、,B,两点的距离相等，求,k,的,值,【,解题指南,】,由于直线与双曲线相交于两个不同的点，所以可直接利用判别式,求得,k,的范围，但注意一元二次方程的二次项系数不能为,0,；解答,(2),的关键是建立关于,k,的方程，可以从,“,点,M,（,3,，,0,）到,A,、,B,两点的距离相等,”,上突破，利用中点坐标公式和直线的斜率间关系解答,【,解析,】,（,1,）由,得（,1-2k,2,）,x,2,-4kx-4=0.,解得：,-1,k,1,且,（,2,）设,A,（,x,1,y,1,），,B(x,2,y,2,),则,设,P,为,AB,中点，则,即,M(3,0),到,A,、,B,两点的距离相等，,MPAB,，,k,MP,k,AB,=-1,即,解得 或,k=-1,（舍去），,直线与双曲线的相交弦问题,【,技法点拨,】,1.,直线和双曲线相交所得弦长的两种求法,方法一：利用距离公式,求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长,.,方法二：利用弦长公式,设斜率为,k(k0),的直线,l,与双曲线相交于,A(x,1,，,y,1,),，,B(x,2,，,y,2,),，则,2.,解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法,（,1,）根与系数的关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方,程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以,及中点坐标公式解决；,（,2,）点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐,标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的,关系，可求斜率 这是解决与中点有关问题的简便而,有效的方法求弦中点轨迹问题，此方法依然有效,【,典例训练,】,1.,已知双曲线,E,的中心为原点，,F(3,0),是,E,的焦点，过,F,的直线,l,与,E,相交于,A,，,B,两点，且,AB,的中点为,N(,12,，,15),，则,E,的方程,为,(),(A)(B),(C)(D),2.(2012,武威高二检测,),经过点,M(2,2),作直线,l,交双曲线,x,2,-,于,A,B,两点，且,M,为,AB,中点,.,（,1,）求直线,l,的方程；,（,2,）求线段,AB,的长,.,【,解析,】,1.,选,B.,由,c,3,，设双曲线方程为,设,A(x,1,，,y,1,),，,B(x,2,，,y,2,),，,则,，得,又,N(,12,，,15),为,AB,中点，,x,1,x,2,24,，,y,1,y,2,30.,a,2,4.,双曲线方程为,2.,（,1,）设,A,（,x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),代入双曲线方程得,两式相减得,M,为,AB,的中点，,x,1,+x,2,=4,y,1,+y,2,=4,l,的方程为,y-2=4(x-2),，即,y=4x-6.,(2),将,y=4x6,代入到 中得,3x,2,-12x+10=0,故,x,1,+x,2,=4,【,思考,】,双曲线弦的中点坐标（,x,0,y,0,),与弦所在直线斜率,k,的关,系,.,提示：,利用点差法可得双曲线中弦的中点坐标与弦所在直线的,斜率关系是：,（,1,）当双曲线的焦点在,x,轴上时,（,2,）当双曲线的焦点在,y,轴上时,【,变式训练,】,已知双曲线,3x,2,y,2,3,，直线,l,过右焦点,F,2,，且倾斜角为,45,，与双曲线交于,A,，,B,两点，试问,A,，,B,两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦,AB,的长,【,解析,】,a,1,，,又直线,l,过点,F,2,(2,0),，且斜率,k,tan45,1,，,l,的方程为,y,x,2,，,由 消去,y,并整理得,2x,2,4x,7,0.,设,A(x,1,，,y,1,),，,B(x,2,，,y,2,),，,x,1,x,2,A,，,B,两点分别位于双曲线的左、右两支上,x,1,x,2,2,，,x,1,x,2,与双曲线有关的综合问题,【,技法点拨,】,与双曲线有关的综合问题的几点认识,（,1,）双曲线的综合问题往往涉及双曲线的离心率、渐近线、范围等性质的综合应用，需要综合上述性质解决问题,.,（,2,）双曲线的综合问题往往与向量、三角、不等式等知识结合，考查综合运用数学知识的能力,.,（,3,）双曲线的综合问题多以直线与双曲线相交的形式出现,.,因此常常需联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程根与系数的关系构造相关数量关系,.,【,典例训练,】,1.(2011,山东高考,),已知双曲线 的两条,渐近线均和圆,C,：,x,2,y,2,6x,5,0,相切，且双曲线的右焦点为,圆,C,的圆心，则该双曲线的方程为,(),(A)(B),(D),2.,设双曲线,C,：与直线,l,:x+y=1,相交于两个不同,点,A,，,B.,（,1,）求双曲线,C,的离心率,e,的取值范围；,（,2,）设直线,l,与,y,轴的交点为,P,，若 求,a,的值,.,【,解析,】,1.,选,A.,双曲线 的渐近线方程为,圆,C,的标准方程为,(x,3),2,y,2,4,，,圆心为,C(3,0),又渐近线方程与圆,C,相切，即直线,bx,ay,0,与圆,C,相切，,又 的右焦点 为圆心,C(3,0),，,a,2,b,2,9.,由得,a,2,5,，,b,2,4.,双曲线的标准方程为,2.,（,1,）将,y=-x+1,代入双曲线方程 得（,1-a,2,）,x,2,+,2a,2,x-2a,2,=0.,所以,解得,又双曲线的离心率,所以,（,2,）设,A,（,x,1,y,1,），,B,（,x,2,y,2,）,P(0,1),因为,所以,所以,由于,x,1,x,2,是方程,(1-a,2,)x,2,+2a,2,x-2a,2,=0,的两根，,且,1-a,2,0,所以,消去,x,2,得,【,总结,】,由,2,题中问题的解答你学会了哪些分析和解决问题的方法？,提示：,将题干中已知的向量关系转化为几何条件，通过几何条件进一步转化为方程研究问题，这是解决本题的主导思想和方法，也是我们研究与椭圆、双曲线有关的综合问题的主要思路,.,【,变式训练,】,已知双曲线 的离心率,e,直线,l,过,A(a,0),，,B(0,，,b),两点，原点,O,到直线,l,的距离是,(1),求双曲线的方程；,(2),过点,B,作直线,m,交双曲线于,M,、,N,两点，若 求直,线,m,的方程,【,解析,】,(1),依题意，直线,l,方程为 即,bx,ay,ab,0,，由原点,O,到,l,的距离为,故所求双曲线方程为,(2),显然直线,m,不与,x,轴垂直，设直线,m,方程为,y,kx,1,，,点,M,、,N,坐标分别为,(x,1,，,y,1,),，,(x,2,，,y,2,),联立方程组,消去,y,，得,(1,3k,2,)x,2,6kx,6,0.,依题意，,1,3k,2,0,，由根与系数的关系，,知,又,当 时，方程有两个不相等的实数根，,方程为,【,规范解答,】,利用根与系数的关系判断直线和双曲线,位置关系,【,典例,】,（,12,分）（,2012,赣州高二检测）已知双曲线,C,：,2x,2,-y,2,=2,与点,P,（,1,，,2,）,.,（,1,）求过点P,（,1,，,2,）的直线,l,的斜率的取值范围，使,l,与,C,有两个交点,.,（,2,）若,Q,（,1,，,1,），试判断以,Q,为中点的弦是否存在,.,【,解题指导,】,【,规范解答,】,（,1,）,当直线,l,的斜率不存在时,，,l,的方程为,x=1,，与双曲线,C,只有一个交点,.,1,分,当,l,的斜率存在时，设直线,l,的方程为,y-2=k(x-1),，代入,C,的方,程，并整理得,（,2-k,2,)x,2,+2(k,2,-2k)x-k,2,+4k-6=0.,3,分,（,）当,2-k,2,=0,即 时，方程有一个根，,l,与,C,只有一,个交点,.,4,分,（,）当,2-k,2,0,即,=,2,（,k,2,-2k,）,2,-4(2-k,2,)(-k,2,+4k-6)=16(3-2k),，,6,分,当,0,，即 时，又 故当,时，方程有两不等实根，,l,与,C,有两个交点,.,8,分,（,2,）假设以,Q,为中点的弦存在，设为,AB,，且,A,（,x,1,y,1,）,B(x,2,y,2,),，则,9,分,两式相减得：,2(x,1,-x,2,)(x,1,+x,2,)=(y,1,-y,2,)(y,1,+y,2,),又,x,1,+x,2,=2,y,1,+y,2,=2,2(x,1,-x,2,)=y,1,-y,2,即才,10,分,由（,1,）可知直线,AB,与双曲线,C,无交点,，,所以假设不正确，即以,Q,为中点的弦不存在,.,12,分,【,阅卷人点拨,】,通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的见规范解答过程）,失,分,警,示,解题过程中假设掉去对处,当直线,l,的斜率不存在时,的讨论，会使解题过程变得不完整，出现这种情况,会酌情作适当的扣分处理,.,解题中若掉去处,(),当,2-k,2,0,即 时,这,个前提，就会得出 的错误结论，出现这种情况,最多会得到,5,分,.,失,分,警,示,解题时假设利用点差法求出,k,的值而求出直线的方程，不进行处,由（,1,）可知直线,AB,与双曲线,C,无交点,的检验，会出现,“,直线存在,”,的错误结论,出现这种情况会得到,10,分,.,解,题,启,示,解决与双曲线有关的位置关系时，要注意两个方面：（,1,）在直线方程与双曲线方程联立所得的一元二次方程中,若二次项系数中含有参数时,应讨论其是否为,0,只有二次项系数不为,0,时,才能利用,及根与系数的关系解题,.,（,2,）求出参数的值（或范围）要注意检验,.,【,规范训练,】,（,12,分）已知双曲线 上存在关于直线,l,：,y,kx,4,的对称点，求实数,k,的取值范围,【,解题设问,】,双曲线上两对称点的中点是否在直线,l,上？,_,.,是,【,规范答题,】,(1),当,k,0,时，显然不成立,1,分,(2),当,k0,时，在双曲线上任意取两点,A,，,B,，设,AB,的中点,M,的坐,标为,M(x,0,，,y,0,),，由,l,AB,可设直线,AB,的方程为,将其代入,3x,2,y,2,3,中，,得,(3k,2,1)x,2,2kbx,(b,2,3)k,2,0.,4,分,显然,3k,2,10,，,0,即,k,2,b,2,3k,2,10.,由根与系数的关系得,AB,的中点,M,的坐标为,6,分,因为,M,平分,AB,，所以,M(x,0,，,y,0,),在直线,l,上，,从而有,8,分,即,k,2,b,3k,2,1,，,将代入得,k,2,b,2,k,2,b0,，,b0,或,b0,，则,A,中曲线错误，,B,中曲线不存在,若,ab0,，则,D,中曲线错误，故选,C.,2.,已知双曲线 的两条渐近线的夹角是,60,，,则其离心率是,(),(A)(B)(C)(D)2,【,解析,】,选,A.,双曲线中 渐近线的倾斜角,的正切,值满足：,0,tan,1,，,0,又两渐近线的夹角是,60,，故,=30,，由,tan30,=,可求得答案,.,3.,过双曲线 的一个焦点,F,作一条渐近线的,垂线，若垂足恰在线段,OF,（,O,为原点）的垂直平分线上，则双,曲线的离心率为,(),（,A,）（,B,）（,C,）（,D,）,【,解析,】,选,B.,如图，不妨设,F,为右焦点，,向渐近线 所作垂线的垂足为,P,，,则由题知,|PO|PF|,，,POF=45,，,即,双曲线的离心率,故选,B.,4.,直线,y=x+1,与双曲线 相交于,A,，,B,两点，则,|AB|=,_.,【,解析,】,联立方程得,得,x,2,-4x-8=0,有,x,1,+x,2,=4,x,1,x,2,=-8,所以,答案,:,5.,已知双曲线 过,P(2,1),点作一直线交双曲线于,A,，,B,两点若,P,为,AB,的中点，,(1),求直线,AB,的方程；,(2),求弦,AB,的长,【,解析,】,(1),易知直线,AB,的斜率存在,设,A(x,1,，,y,1,),、,B(x,2,，,y,2,),，代入双曲线方程,3x,2,y,2,3,，得,两式相减得：,3(x,1,x,2,)(x,1,x,2,),(y,1,y,2,)(y,1,y,2,),，,即,所以直线,AB,的斜率,所以直线,AB,的方程为,6x,y,11,0.,(2),将,y,6x,11,代入,3x,2,y,2,3,，得,33x,2,132x,124,0.,由弦长公式,得,所以,