理论力学 chap16.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,考试时间地点：,12,月,31,日,9,：,00,YF303,碰 撞,碰撞的应用,两球的碰撞 恢复系数,碰撞过程的基本定理,碰撞的力学特征和模型,碰 撞,碰撞,碰撞过程的特点及分类,一、碰撞过程的特点,1）碰撞接触的时间很短，但相互作用力很大；,2）,由于碰撞接触时间很短，故碰撞过程结束后还没有产生位移，但会产生有限的速度变化；,应用积分形式的动力学方程；,常规作用往往可以忽略不计；,二、碰撞的分类,第十五章 碰撞,碰撞过程的特点及分类,1）对心碰撞与非对心碰撞；,2）正碰撞与斜碰撞；,3）光滑碰撞与非光滑碰撞；,碰撞力,是否在两物体质心的连线上,两物体,质心的速度,是否在接触面的公法线上,接触点公切线方向是否有摩擦约束,1).,准刚体模型,:,物体仍看成刚体，但在碰撞处的极小范围内可以变形。,碰撞过程的基本假设,2).碰撞过程分为两个阶段：,变形阶段,与,恢复阶段,。,3).碰撞力很大，作用时间很短，是瞬时力。在碰撞过程中，,重力等常规力可以忽略不计,。,4).碰撞过程非常短促，因此物体的位移可以忽略不计；即,碰撞前后物体的位置不变,。,研究碰撞就不得不考虑到接触点附近一小部分的局部变形。称为有局部变形的刚体模型。在理论力学中有两个地方必须谈到变形，请问另一个是什么问题？,碰撞过程的基本定理,1)质点系动量定理的积分形式：,微分形式：,积分:,2)质点系动量矩定理的积分形式：,微分形式：,积分:,若刚体作平面运动：,若刚体定轴转动：,（1）碰撞过程中一般不便于应用动能定理；但在某些特殊情况下，也能导出动能损失的公式。,（2）碰撞过程除受动力学规律支配外，还与材料的变形恢复性能密切相关。,两球的碰撞 恢复系数,两球的速度在两球连心线的碰撞,。,一 两球的正碰撞,恢复系数,：,恢复阶段与变形阶段的冲量之比,e=0,时材料变形完全不能恢复，称为,塑性碰撞,。,e=1,时材料变形完全恢复，称为,完全的弹性碰撞,。,e,如何,获得？,恢复系数实验测定,恢复系数：,碰撞后相对分离的速度与碰撞前相对接近的速度比。,塑性碰撞,:,e=0,完全的弹性碰撞,:,e=1,二 碰撞中的能量损失,完全塑性碰撞:,若第二个物体初始速度为零,，,即有,v,2,=0:,碰撞前动能：,碰撞后动能：,完全弹性碰撞:,小锤大砧,大锤小桩,实例解释：,表演者躺在地板上，身上压一块重石板。另一表演者用重锤猛击石板，石板碎裂，但石下的表演者却毫无损伤。,将石板变小或干脆去掉行吗？,将石板变成木板？,碰撞前后两球速度矢不在两球接触面的公法线上。,一 两球的斜碰撞,碰撞刚体,接触点,在,公法线方向,的,相对分离速度,与,相对接近速度,。,二 刚体的斜碰撞,两球的斜碰撞,斜碰撞恢复系数：两球沿,公法线方向,碰撞后,相对分离的速度,与碰撞前,相对接近的速度比,例,1,质量为,m,的刚体绕,O,作定轴转动，对,O,轴的转动惯量为,J,o,，,角速度为,。在某瞬时受已知冲量,I,作用，求碰撞后的角速度,和,碰撞过程中轴承,O,的约束碰撞冲量,I,o,。,I,0y,I,0 x,I,0y,I,0 x,由质心运动定理：,质量为,m,的刚体绕,O,作定轴转动，对,O,轴的转动惯量为,J,o,，,角速度为,。在某瞬时受已知冲量,I,作用，求碰撞后的角速度,和,碰撞过程中轴承,O,的约束碰撞冲量,I,o,。,解：由定轴转动动力学方程：,轴承的约束,碰撞冲量为零？,v,C,I,0y,I,0 x,当作用,冲量垂直于轴,O,与质心C,连线,时，,如其,作用点的位置还满足,:,撞击中心(,center of percussion),一长2,a,的均质杆，由水平位置绕转轴,O,下落并撞在固定支座上弹回。为使轴承,O,处不发生约束碰撞冲量，支座应装在杆的撞击中心的位置上：,讨论：,例题,2,台球棍打击台球，使台球不借助摩擦而能作纯滚动。假设棍对球只施加水平力，试求满足上述运动的球棍位置高度,h,。,h,C,I,d,w,r,v,解：,动量定理：,对质心动量矩定理：,运动学关系：纯滚动时,冲量分析（图）、运动分析,I,N,I,s,h,C,I,d,例,3,质量为,m,长为,l,的均质细杆与光滑地面成,角，并以速度,v,平行于杆自身而撞击地面；设碰撞是完全弹性的，求碰撞后杆的运动。,补充恢复系数方程：,例,3,质量为,m,长为,l,的均质细杆与光滑地面成,角，并以速度,v,平行于杆自身而撞击地面；设碰撞是完全弹性的，求碰撞后杆的运动。,l,/2,解：,杆作平面运动，由积分形式的刚体平面运动微分方程有：,例,4,边长为,l,的正方形物块，以匀速,v,运动，突然与一小凸台相撞，如图示。设碰撞为塑性的，求（1）物块翻转瞬时的角速度；（2）凸台对物块的碰撞冲量；（3）物体动能的损失。,解：,（1）碰撞过程物块的冲量图,对,O,点用动量矩定理,（2）由质心运动定理,塑性碰撞,:,v,o,=0,，物块的运动由平动突变为,定轴转动,y,x,（3）动能的损失,解决碰撞问题的步骤为：,1）分析碰撞前后物体的动量，画出动量图或速度分析图；,2）分析碰撞过程的碰撞冲量，画出冲量图；,3）应用有限形式的动量和动量矩定理，建立碰撞过程的动力学方程；,4）列写其他补充方程，如恢复系数关系式、运动学补充方程等；,5）求解以上方程并讨论其结果。,P279,习题,9-19,边长为,a,的方形木箱在无摩擦的地板上滑动，并与一小障碍,A,相碰撞。碰撞后绕,A,翻转。试求木箱能完成上述运动的最小初速,v,o,；木箱碰撞后其质心的瞬时速度,v,c,与瞬时角速度,。,若箱刚能完成翻转，则转到最高点时 ，,碰撞前后箱对,A,点的动量矩守恒,从碰后到最高点机械能守恒：,势能零点：,例,5,质量,m,=2kg,的均质圆盘无初速度地从高度,h,=1m,自由下落，碰到一个固定尖角,O,上。若圆盘半径,r,=20cm，,距离,a,=8cm，,碰撞时的恢复系数,e,=0.8，,假设接触时没有滑动，求碰撞后圆盘的角速度和质心的速度，以及碰撞前后动能的损失。,解,：,（1）碰撞前后圆盘的运动分析图及略去非碰撞力后的冲量图,（2）由动能定理决定碰撞前质心的速度,平面运动刚体碰撞动力学方程,运动学方程,恢复系数,O,C,I,n,I,t,v,c,v,cn,v,ct,t,n,碰撞前的动能,碰撞后的动能,碰撞过程能量的损失,例,5,质量,m,=2kg,的均质圆盘无初速度地从高度,h,=1m,自由下落，碰到一个固定尖角,O,上。若圆盘半径,r,=20cm，,距离,a,=8cm，,碰撞时的恢复系数,e,=0.8，,假设接触时没有滑动，求碰撞后圆盘的角速度和质心的速度，以及碰撞前后动能的损失。,O,C,I,n,I,t,v,c,v,cn,v,ct,t,n,例,6,两均质杆的质量均为,m,，,长度均为,l,，,用光滑铰链连接，求在冲量,I,作用下两杆获得的角速度及各铰处的约束碰撞冲量。,AB,杆为平面运动：,两均质杆的质量均为,m,，,长度均为,l,，,用光滑铰链连接，求在冲量,I,作用下两杆获得的角速度及各铰处的约束碰撞冲量。,解：,将两杆拆开并作受力图:,OA,杆为定轴转动：,补充运动学关系：,由,OA,杆的质心运动方程求轴,O,处的碰撞冲量：,两均质杆的质量均为,m,，,长度均为,l,，,用光滑铰链连接，求在冲量,I,作用下两杆获得的角速度及各铰处的约束碰撞冲量。,由,AB,杆的质心运动方程求,A,处的碰撞冲量：,例,7,三根长均为,l,的均质杆,AB,，,BC,，,CD,铰接成正方形三边置于水平面上，如图所示，,D,铰固定。今在,A,点作用一沿,DA,方向的冲量,I,。,试求碰撞后三杆的角速度。,解,：作,AB,，,BC,，,CD,三杆的冲量图,运动分析图,分别列写三杆碰撞过程的动力学方程,AB,杆：,E,为质心,BC,杆：,F,为质心,CD,杆：,运动学方程,以上11个方程联立求解可得到全部未知量,可整体分析，避免内约束冲量出现（例如用拉氏方程，见刘延柱等理论力学，高教出版社，1991，,p380385）,作业：,解决碰撞问题应注意以下几点：,1）分清碰撞与非碰撞过程，碰撞过程不计重力等有限力的影响。,2）碰撞过程用动量和动量矩定理的积分形式或冲量和冲量矩定理列写物体的动力学方程。,3）碰撞过程除列写物体动力学方程外还需补充写出恢复系数的表达式及运动学关系式。,