第四章 图形变换--图形几何变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,山东科技大学信息学院,主要内容：,1,、数学基础：矢量、矩阵及运算,2,、窗口视图变换,3,、图形的几何变换,4,、投影变换,第四章 图形变换,山东科技大学信息学院,第一节、变换的数学基础,矢量,矢量和,山东科技大学信息学院,变换的数学基础,矢量的数乘,矢量的点积,性质,山东科技大学信息学院,变换的数学基础,矢量的长度,单位矢量,矢量的夹角,矢量的叉积,山东科技大学信息学院,变换的数学基础,矩阵,阶矩阵,n,阶方阵,零矩阵,行向量与列向量,单位矩阵,矩阵的加法,矩阵的数乘,矩阵的乘法,矩阵的转置,矩阵的逆,山东科技大学信息学院,矩阵的含义,矩阵：由,mn,个数按一定位置排列的一个,整体，简称,mn,矩阵。,A=,其中，,a,ij,称为矩阵,A,的第,i,行第,j,列元素,变换的数学基础,山东科技大学信息学院,矩阵运算,加法,设,A，B,为两个具有相同行和列元素的矩阵,A+B=,数乘,kA=k*,a,ij,|,i=1.m,j=1,.n,变换的数学基础,山东科技大学信息学院,乘法,设,A,为32,矩阵，,B,为23,矩阵,C=A B=,C=C,mp,=A,m n,B,n,p,c,ij,=,a,ik,*,b,kj,单位矩阵,在一矩阵中，其主对角线各元素,a,ii,=1,其余皆为,0,的矩阵称为单位矩阵。,n,阶单位矩阵通常记作,I,n,。A,m n,=A,m n,I,n,k=1,n,变换的数学基础,山东科技大学信息学院,逆矩阵,若矩阵,A,存在,AA,-1,=A,-1,A=I，,则称,A,-1,为,A,的逆矩阵,矩阵的转置,把矩阵,A=(,a,ij,),mn,的行和列互换而得到的,nm,矩阵称为,A,的转置矩阵,记作,A,T,。,(A,T,),T,=A,(A+B),T,=A,T,+B,T,(,aA,),T,=,aA,T,(AB),T,=B,T,A,T,当,A,为,n,阶矩阵，且,A=A,T,，,则,A,是对称矩阵。,变换的数学基础,山东科技大学信息学院,矩阵运算的基本性质,交换律与结合律师,AB=B+A;,A+(B+C)=(A+B)+C,数乘的分配律及结合律,a(A+B)=,aA,+,aB,;,a(A B)=(,aA,)B=A(,aB,),(a+b)A=,aA,+,bA,a(,bA,)=(,ab,)A,变换的数学基础,山东科技大学信息学院,矩阵乘法的结合律及分配律,A(B C)=(A B)C,(A+B)C=A C+B C,C(A+B)=C A+C B,矩阵的乘法不适合交换律,变换的数学基础,山东科技大学信息学院,第二节 窗口视图变换,用户域和窗口区,1,用户域：程序员用来定义草图的整个自然空间,(,WD,),a,人们所要描述的图形均在用户域中定义。,b,用户域是一个实数域，理论上是连续无限的。,2,窗口区：用户指定的任一区域,(,W,),a,窗口区,W,小于或等于用户域,WD,b,小于用户域的窗口区,W,叫做用户域的子域。,c,窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形窗口等等,d,窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗口，在第,I,层窗口中可再定义第,I+1,层窗口等等。,山东科技大学信息学院,窗口视图变换,1,屏幕域,(,DC,)：,设备输出图形的最大区域，是有限的整数域。如图形显示器分辨率为,1024,768,DC,0.1023,0.767,2,视图区：任何小于或等于屏幕域的区域,a,视图区用设备坐标定义在屏幕域中,b,窗口区显示在视图区，需做窗口区到视图区的坐标转换。,c,视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边形等。,d,视图区也可以嵌套。,山东科技大学信息学院,窗口区和视图区的坐标变换,设窗口的四条边界,WXL,WXR,WYB,WYT,视图的四条边界,VXL,VXR,VYB,VYT,则用户坐标系下的点（即窗口内的一点）,(,Xw,Yw,),对应屏幕视图区中的点（,Xs,Ys,），,其变换公式为,山东科技大学信息学院,窗口区和视图区的坐标变换,简化为：,1),当,a,c,时，即,x,方向的变化,与,y,方向的变化不同时，视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。,2),当,a,=,c,=1,，,b,=,d,=0,则,Xs,=,Xw,Ys,=,Yw,图形完全相同。,思考：前面讲的窗口,视图变换时，假设窗口的边和坐标轴平行，如果窗口的边不和坐标轴平行呢？,山东科技大学信息学院,窗口区和视图区的坐标变换,A.,先让窗口,FGHI,转-,角，使它和,FG,H,I,重合。,B.,用,(1),式进行计算。,山东科技大学信息学院,第三节 图形的几何变换,3.1,二维图形的几何变换,一、一般表示,1,、平移变换,平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状,山东科技大学信息学院,2,、比例变换,以坐标原点为放缩参照点,当,Sx,=,Sy,=1,时：恒等比例变换,当,Sx,=,Sy,1,时：沿,x,y,方向等比例放大。,当,Sx,=,Sy,1,时：沿,x,y,方向等比例放大。,当,Sx,=,Sy,0：,图形沿,+,x,方向作错切位移。,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,当,b,0：,图形沿,+,y,方向作错切位移。,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,当,d,0,，,大拇指指向轴的方向，其它手指指的方向为旋转方向。,山东科技大学信息学院,（2,）绕,Y,轴旋转,此时，,Y,坐标不变，,X，Z,坐标相应变化,。,x,=sin(+)=x*,cos,+z*sin,y,=y,z,=,cos,(+)=z*,cos,-x*sin,X,Y,Z,(x,z),(x,z,),X,Z,O,O,Z,山东科技大学信息学院,矩阵表示为,山东科技大学信息学院,（3,）绕,Z,轴旋转,此时，,Z,坐标不变，,X，Y,坐标相应变化,。,x,=,cos,(+)=x*,cos,-y*sin,y,=sin(+)=x*sin+y*,cos,z,=z,X,Y,Z,(x,y),(x,y,),X,Y,O,O,山东科技大学信息学院,矩阵表示为：,山东科技大学信息学院,（4,）绕任意轴的旋转变换,-,方法,1,a),绕过原点的任意轴的旋转变换,空间点,P,(,x,y,z,),绕过原点的任意轴,ON,逆时针旋转,角的旋转变换。,基本思想,：因,ON,轴不是坐标轴，应设法旋转该轴，使之与某一坐标轴重合，然后进行旋转,角的变换，最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。,山东科技大学信息学院,解：令,ON,为单位长度，其方向余弦为：,、,、,为,ON,轴与各坐标轴的夹角。,变换过程如下：,1),让,ON,轴绕,z,轴旋转,-,，,使之在,XOZ,平面上。其中,山东科技大学信息学院,因此,2,）,让,在,XOZ,平面上的,ON,绕,y,轴旋转,-,使之与,z,轴重合。其中,因此,山东科技大学信息学院,绕任意轴的旋转变换,-,方法,1,3）,P,点绕,ON,轴（即,z,轴）逆时针旋转,角,4）,ON,轴绕,y,轴旋转,5）,ON,轴绕,z,轴旋转,因此,b),绕任意轴的旋转变换,上面的,ON,轴若不过原点，而是过任意点,(,x,0,y,0,z,0,)，,变换如何呢山东科技大学信息学院,绕任意轴的旋转变换,-,方法,2,组合变换：空间一点绕空间任一轴线的旋转变换。要通过将几个基本的变换组合在一起，得到该组合变换。,假定空间任一直线的方向矢量分别为：,(,l,m,n),并经过原点,(l,m,n),(x,y,z),(x,y,z,),X,Y,Z,O,N,山东科技大学信息学院,绕任意轴的旋转变换,-,方法,2,能否转换成绕,X、Y,或,Z,轴旋转的变换？,ON,绕,Z,轴旋转,2,到,XOZ,平面上，然后再绕,Y,轴旋转,1,，,即可与,Z,轴重合。,O,N,2,1,Y,Z,X,山东科技大学信息学院,绕任意轴的旋转变换,-,方法,2,这样，可得空间上任一点绕ON,轴旋转的变换过程如下：,1,）首先通过两次旋转，使,ON,轴与,Z,轴重合；,2,）然后使点绕,Z,轴旋转,角；,3,）最后通过与,1,）相反的旋转，使,ON,轴回,到原来的位置。,假设，绕,Z,轴的旋转,-,2,矩阵为,T,1,绕,Y,轴的旋转,-,1,矩阵为,T,2,绕,Z,轴的旋转,矩阵为,T,3,绕,Y,轴的旋转,1,矩阵为,T,4,绕,Z,轴的旋转,2,矩阵为,T,5,山东科技大学信息学院,绕任意轴的旋转变换,-,方法,2,则总体变换矩阵为：,T=T,1,T,2,T,3,T,4,T,5,由上推导可看出，只要能求出,1,、,2,的值，即可通过上式获得绕,ON,轴的变换矩阵。,由于矢量（,0 0 1,）绕,Y,轴旋转,1,，,再绕,Z,轴旋转,2,即可与,ON,轴重合。即：,山东科技大学信息学院,l m n 1=sin,1,cos,2,，sin,1,sin,2,，cos,1,，1,l =sin,1,cos,2,m=sin,1,sin,2,n=cos,1,从而通过上式即可得到,1、,2,的值。,问题：当任一轴线的端点不在原点时，此时应如,何计算变换矩阵？,绕任意轴的旋转变换,-,方法,2,山东科技大学信息学院,